Begründe, dass $G_{f}G\_\{f\}$ symmetrisch bezüglich seines Wendepunktes ist

Die Funktion $ff$ ist ganzrational und hat nur ungerade Exponenten, deshalb ist $G_{f}G\_\{f\}$ symmetrisch bezüglich seines Wendepunktes $(0\mid 0)(0\; \backslash mid\; 0)$.

Bestimme die Koordinaten der Schnittpunkte von $G_{f}G\_\{f\}$ mit den Koordinatenachsen

Löse die Gleichung $f(x)=0\Rightarrow x=-6\vee x=0\vee x=6f(x)=0\backslash ;\backslash Rightarrow\backslash ;x=-6\; \backslash vee\; x=0\; \backslash vee\; x=6$

Damit ergeben sich die Schnittpunkte $(-6\mid 0),(0\mid 0)(-6\; \backslash mid\; 0),(0\; \backslash mid\; 0)$ und $(6\mid 0)(6\; \backslash mid\; 0)$ mit den Koordinatenachsen.

Bestimme den Wert des Integrals ${\displaystyle {\int }_{-b}^{b}f(x)\mathrm{d}x,b\in \mathbb{R},b>0}\backslash displaystyle\backslash int\_\{-b\}^\{b\}\; f(x)\; \backslash ;\backslash mathrm\{d\}\; x,\; b\; \backslash in\; \backslash mathbb\{R\},\; b>0$, und erkläre das Ergebnis

Es ist ${\displaystyle {\int }_{-b}^{b}f(x)\mathrm{d}x=0}\backslash displaystyle\backslash int\_\{-b\}^\{b\}\; f(x)\; \backslash ;\backslash mathrm\{d\}\; x=0$.

Aufgrund der Punktsymmetrie von $G_{f}G\_\{f\}$ zum Ursprung existiert zu jedem Flächenstück, das im Intervall $[-b;0][-b\; ;\; 0]$ zwischen $G_{f}G\_\{f\}$ und der $xx$-Achse liegt, ein gleich großes Flächenstück, das im Intervall $[0;b][0\; ;\; b]$ zwischen $G_{f}G\_\{f\}$ und der $xx$-Achse liegt und sich auf der entgegengesetzten Seite der $xx$-Achse befindet. Diese orientierten Flächeninhalte heben sich gegeneinander auf.

Zeige, dass einer der beiden ein Tiefpunkt mit der $xx$-Koordinate $\sqrt{12}\backslash sqrt\{12\}$ ist

Bekannt ist, dass $G_{f}G\_\{f\}$ zwei Extrempunkte hat.

Wenn der Tiefpunkt die $xx$-Koordinate $\sqrt{12}\backslash sqrt\{12\}$ hat, dann muss $f^{\mathrm{\prime }}(\sqrt{12})=0f\text{'}(\backslash sqrt\{12\})=0$ und $f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(\sqrt{12})>0f\text{'}\text{'}(\backslash sqrt\{12\})>0$ sein.

Berechne $f^{\mathrm{\prime }}(x)={\displaystyle \frac{1}{9}}{x}^2-{\displaystyle \frac{4}{3}}f^\{\backslash prime\}(x)=\backslash dfrac\{1\}\{9\}\; x^\{2\}-\backslash dfrac\{4\}\{3\}$ und $f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)={\displaystyle \frac{2}{9}}xf^\{\backslash prime\; \backslash prime\}(x)=\backslash dfrac\{2\}\{9\}\; x$.

Dann gilt:

$f^{\mathrm{\prime }}(\sqrt{12})={\displaystyle \frac{1}{9}}{\left(\sqrt{12}\right)}^2-{\displaystyle \frac{4}{3}}={\displaystyle \frac{12}{9}}-{\displaystyle \frac{4}{3}}=0f\text{'}(\backslash sqrt\{12\})=\backslash dfrac\{1\}\{9\}\; \backslash left(\backslash sqrt\{12\}\backslash right)^\{2\}-\backslash dfrac\{4\}\{3\}=\backslash dfrac\{12\}\{9\}-\backslash dfrac\{4\}\{3\}=0$ und $f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(\sqrt{12})={\displaystyle \frac{2}{9}}\cdot \sqrt{12}>0f\text{'}\text{'}(\backslash sqrt\{12\})=\backslash dfrac\{2\}\{9\}\; \backslash cdot\backslash sqrt\{12\}>0$

Folglich ist bestätigt, dass ein Tiefpunkt mit der $xx$-Koordinate $\sqrt{12}\backslash sqrt\{12\}$ existiert.

Bestimme eine Gleichung der Tangente t an $G_{f}G\_\{f\}$ im Punkt $P(6\mid f(6))P(6\; \backslash mid\; f(6))$

Die allgemeine Tangentengleichung lautet $t:y=m\cdot x+bt:\; y=m\backslash cdot\; x+b$.

$m=f^{\mathrm{\prime }}(6)=f^{\mathrm{\prime }}(6)={\displaystyle \frac{1}{9}}\cdot 6^2-{\displaystyle \frac{4}{3}}={\displaystyle \frac{8}{3}}m=f\text{'}(6)=f^\{\backslash prime\}(6)=\backslash dfrac\{1\}\{9\}\backslash cdot\; 6^\{2\}-\backslash dfrac\{4\}\{3\}=\backslash dfrac\{8\}\{3\}$

Dann folgt:

$y={\displaystyle \frac{8}{3}}\cdot x+by=\backslash dfrac\{8\}\{3\}\backslash cdot\; x+b$

$x=6x=6$ ist Nullstelle von $f\Rightarrow f\backslash ;\backslash Rightarrow\backslash ;$ $f(6)=0f(6)=0$

Mit $P(6\mid 0)P(6\; \backslash mid\; 0)$ folgt dann: $0={\displaystyle \frac{8}{3}}\cdot 6+b\Rightarrow b=-160=\backslash dfrac\{8\}\{3\}\backslash cdot\; 6+b\backslash ;\backslash Rightarrow\backslash ;b=-16$

Die Gleichung der Tangente t an $G_{f}G\_\{f\}$ im Punkt $P(6\mid f(6))P(6\; \backslash mid\; f(6))$ lautet:

(i) Ermittele den Inhalt der Fläche, die $G_{f}G\_\{f\}$ und $tt$ einschließen

Berechne die Schnittpunkte der beiden Graphen $G_{f}G\_f$ und $G_{t}G\_t$:

$\frac{1}{27}{x}^3-\frac{4}{3}x=\frac{8}{3}x-16\backslash frac\{1\}\{27\}\; x^\{3\}-\backslash frac\{4\}\{3\}\; x=\backslash frac\{8\}\{3\}\; x-16$

Die Gleichung hat also die beiden Lösungen $x=-12x=-12$ und $x=6x=6$.

Berechne das Integral $A_{\text{gesamt}}={\displaystyle {\int }_{-12}^6(f(x)-t(x))\mathrm{d}x=324}A\_\{\backslash text\{gesamt\}\}=\backslash displaystyle\backslash int\_\{-12\}^\{6\}\backslash left(f(x)-t(x)\backslash right)\backslash ;\backslash mathrm\{d\}\; x=324$.

Der Inhalt der Fläche, die $G_{f}G\_\{f\}$ und $tt$ einschließen, beträgt $324\mathrm{F}\mathrm{E}324\; \backslash ;\backslash mathrm\{FE\}$.

(ii) Ermittele den Anteil der linken Teilfläche an der von $G_{f}G\_\{f\}$ und $tt$ eingeschlossenen Gesamtfläche

Bekannt ist, dass die von $G_{f}G\_\{f\}$ und $tt$ eingeschlossene Fläche durch die $yy$-Achse in zwei Teilflächen unterteilt wird.

Die linke Teilfläche verläuft von $x=-12x=-12$ bis $x=0x=0$.

$\Rightarrow A_{\text{links}}={\displaystyle {\int }_{-12}^0(f(x)-t(x))\mathrm{d}x=288}\backslash Rightarrow\backslash ;A\_\{\backslash text\{links\}\}=\backslash displaystyle\backslash int\_\{-12\}^\{0\}\backslash left(f(x)-t(x)\backslash right)\backslash ;\backslash mathrm\{d\}\; x=288$

Der Inhalt der linken Teilfläche, die $G_{f}G\_\{f\}$ und $tt$ einschließen, beträgt $288\mathrm{F}\mathrm{E}288\; \backslash ;\backslash mathrm\{FE\}$.

Gesucht ist nun das Verhältnis der beiden Flächen:

${\displaystyle \frac{A_{\text{links}}}{A_{\text{gesamt}}}}={\displaystyle \frac{{\displaystyle {\int }_{-12}^0(f(x)-t(x))\mathrm{d}x}}{{\displaystyle {\int }_{-12}^6(f(x)-t(x))\mathrm{d}x}}}={\displaystyle \frac{288}{324}}={\displaystyle \frac{8}{9}}\backslash dfrac\{A\_\{\backslash text\{links\}\}\}\{A\_\{\backslash text\{gesamt\}\}\}=\backslash dfrac\{\backslash displaystyle\backslash int\_\{-12\}^\{0\}\backslash left(f(x)-t(x)\backslash right)\backslash ;\backslash mathrm\{d\}\; x\}\{\backslash displaystyle\backslash int\_\{-12\}^\{6\}\backslash left(f(x)-t(x)\backslash right)\backslash ;\backslash mathrm\{d\}\; x\}=\backslash dfrac\{288\}\{324\}=\backslash dfrac\{8\}\{9\}$

${\displaystyle \frac{8}{9}}\approx \mathrm{0,889}=\mathrm{88,9}\mathrm{\%}\backslash dfrac\{8\}\{9\}\backslash approx\; 0\{,\}889=88\{,\}9\; \backslash ;\backslash \%$

Der Anteil der linken Teilfläche an der von $G_{f}G\_\{f\}$ und $tt$ eingeschlossenen Gesamtfläche beträgt rund $\mathrm{88,9}\mathrm{\%}88\{,\}9\; \backslash ;\backslash \%$.