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B2 Aufgabe 1

Gegeben ist die in R\mathbb{R} definierte Funktion ff mit f(x)=127x3−43xf(x)=\frac{1}{27} x^{3}-\frac{4}{3} x. Ihr Graph GfG_{f} hat den Wendepunkt (0∣0)(0 \mid 0).

  1. BegrĂŒnden Sie, dass GfG_{f} symmetrisch bezĂŒglich seines Wendepunktes ist.

    Bestimmen Sie die Koordinaten der Schnittpunkte von GfG_{f} mit den Koordinatenachsen.

    (1 P + 2 P)

  2. Bestimmen Sie den Wert des Integrals ∫−bbf(x)  dx,b∈R,b>0\displaystyle\int_{-b}^{b} f(x)\;\mathrm{d} x, b \in \mathbb{R}, b>0, und erklĂ€ren Sie das Ergebnis. (1 P + 2 P)

  3. GfG_{f} hat zwei Extrempunkte.

    Zeigen Sie, dass einer der beiden ein Tiefpunkt mit der xx-Koordinate 12\sqrt{12} ist. (3 P)

  4. Bestimmen Sie eine Gleichung der Tangente t an GfG_{f} im Punkt P(6∣f(6))P(6 \mid f(6)).

    [Zur Kontrolle: t:y=83x−16.]\left.t: y=\frac{8}{3} x-16.\right] (3 P)

  5. (i) Ermitteln Sie den Inhalt der FlĂ€che, die GfG_{f} und tt einschließen. (1 P + 3 P)

    (ii) Die von GfG_{f} und tt eingeschlossene FlÀche wird durch die yy-Achse in zwei TeilflÀchen unterteilt.

    Ermitteln Sie den Anteil der linken TeilflÀche an der von GfG_{f} und tt eingeschlossenen GesamtflÀche. (2 P)