Begründe, dass $G_f$ symmetrisch bezüglich seines Wendepunktes ist

Die Funktion $f$ ist ganzrational und hat nur ungerade Exponenten, deshalb ist $G_f$ symmetrisch bezüglich seines Wendepunktes $(0|0)$.

Bestimme die Koordinaten der Schnittpunkte von $G_f$ mit den Koordinatenachsen

Löse die Gleichung $f(x)=0\Rightarrow x=-6\vee x=0\vee x=6$

Damit ergeben sich die Schnittpunkte $(-6|0),(0|0)$ und $(6|0)$ mit den Koordinatenachsen.

Bestimme den Wert des Integrals $${\displaystyle {\int }_{-b}^{b}f(x)\mathrm{d}x,b\in ℝ,b>0}$$, und erkläre das Ergebnis

Es ist $${\displaystyle {\int }_{-b}^{b}f(x)\mathrm{d}x=0}$$.

Aufgrund der Punktsymmetrie von $G_f$ zum Ursprung existiert zu jedem Flächenstück, das im Intervall $[-b;0]$ zwischen $G_f$ und der $x$-Achse liegt, ein gleich großes Flächenstück, das im Intervall $[0;b]$ zwischen $G_f$ und der $x$-Achse liegt und sich auf der entgegengesetzten Seite der $x$-Achse befindet. Diese orientierten Flächeninhalte heben sich gegeneinander auf.

Zeige, dass einer der beiden ein Tiefpunkt mit der $x$-Koordinate $\sqrt{12}$ ist

Bekannt ist, dass $G_f$ zwei Extrempunkte hat.

Wenn der Tiefpunkt die $x$-Koordinate $\sqrt{12}$ hat, dann muss $f^{\prime }(\sqrt{12})=0$ und $f^{\prime \prime }(\sqrt{12})>0$ sein.

Berechne $f^{\prime }(x)={\displaystyle \frac{1}{9}}{x}^2-{\displaystyle \frac{4}{3}}$ und $f^{\prime \prime }(x)={\displaystyle \frac{2}{9}}x$.

Dann gilt:

$f^{\prime }(\sqrt{12})={\displaystyle \frac{1}{9}}{\left(\sqrt{12}\right)}^2-{\displaystyle \frac{4}{3}}={\displaystyle \frac{12}{9}}-{\displaystyle \frac{4}{3}}=0$ und $f^{\prime \prime }(\sqrt{12})={\displaystyle \frac{2}{9}}\cdot \sqrt{12}>0$

Folglich ist bestätigt, dass ein Tiefpunkt mit der $x$-Koordinate $\sqrt{12}$ existiert.

Bestimme eine Gleichung der Tangente t an $G_f$ im Punkt $P(6|f(6))$

Die allgemeine Tangentengleichung lautet $t:y=m\cdot x+b$.

$m=f^{\prime }(6)=f^{\prime }(6)={\displaystyle \frac{1}{9}}\cdot 6^2-{\displaystyle \frac{4}{3}}={\displaystyle \frac{8}{3}}$

Dann folgt:

$y={\displaystyle \frac{8}{3}}\cdot x+b$

$x=6$ ist Nullstelle von $f\Rightarrow$ $f(6)=0$

Mit $P(6|0)$ folgt dann: $0={\displaystyle \frac{8}{3}}\cdot 6+b\Rightarrow b=-16$

Die Gleichung der Tangente t an $G_f$ im Punkt $P(6|f(6))$ lautet:

(i) Ermittele den Inhalt der Fläche, die $G_f$ und $t$ einschließen

Berechne die Schnittpunkte der beiden Graphen $G_f$ und $G_t$:

$\frac{1}{27}{x}^3-\frac{4}{3}x=\frac{8}{3}x-16$

Die Gleichung hat also die beiden Lösungen $x=-12$ und $x=6$.

Berechne das Integral $$A_{\text{gesamt}}={\displaystyle {\int }_{-12}^6(f(x)-t(x))\mathrm{d}x=324}$$.

Der Inhalt der Fläche, die $G_f$ und $t$ einschließen, beträgt $324\mathrm{FE}$.

(ii) Ermittele den Anteil der linken Teilfläche an der von $G_f$ und $t$ eingeschlossenen Gesamtfläche

Bekannt ist, dass die von $G_f$ und $t$ eingeschlossene Fläche durch die $y$-Achse in zwei Teilflächen unterteilt wird.

Die linke Teilfläche verläuft von $x=-12$ bis $x=0$.

$$\Rightarrow A_{\text{links}}={\displaystyle {\int }_{-12}^0(f(x)-t(x))\mathrm{d}x=288}$$

Der Inhalt der linken Teilfläche, die $G_f$ und $t$ einschließen, beträgt $288\mathrm{FE}$.

Gesucht ist nun das Verhältnis der beiden Flächen:

$${\displaystyle \frac{A_{\text{links}}}{A_{\text{gesamt}}}}={\displaystyle \frac{{\displaystyle {\int }_{-12}^0(f(x)-t(x))\mathrm{d}x}}{{\displaystyle {\int }_{-12}^6(f(x)-t(x))\mathrm{d}x}}}={\displaystyle \frac{288}{324}}={\displaystyle \frac{8}{9}}$$

${\displaystyle \frac{8}{9}}\approx \mathrm{0,889}=\mathrm{88,9}\%$

Der Anteil der linken Teilfläche an der von $G_f$ und $t$ eingeschlossenen Gesamtfläche beträgt rund $\mathrm{88,9}\%$.