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B2

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  1. 1

    B2 Aufgabe 1

    Gegeben ist die in definierte Funktion f mit f(x)=127x343x. Ihr Graph Gf hat den Wendepunkt (0|0).

    1. Begründen Sie, dass Gf symmetrisch bezüglich seines Wendepunktes ist.

      Bestimmen Sie die Koordinaten der Schnittpunkte von Gf mit den Koordinatenachsen.

      (1 P + 2 P)

    2. Bestimmen Sie den Wert des Integrals bbf(x)dx,b,b>0, und erklären Sie das Ergebnis. (1 P + 2 P)

    3. Gf hat zwei Extrempunkte.

      Zeigen Sie, dass einer der beiden ein Tiefpunkt mit der x-Koordinate 12 ist. (3 P)

    4. Bestimmen Sie eine Gleichung der Tangente t an Gf im Punkt P(6|f(6)).

      [Zur Kontrolle: t:y=83x16.] (3 P)

    5. (i) Ermitteln Sie den Inhalt der Fläche, die Gf und t einschließen. (1 P + 3 P)

      (ii) Die von Gf und t eingeschlossene Fläche wird durch die y-Achse in zwei Teilflächen unterteilt.

      Ermitteln Sie den Anteil der linken Teilfläche an der von Gf und t eingeschlossenen Gesamtfläche. (2 P)

  2. 2

    B2 Aufgabe 2

    Gegeben ist die in definierte Funktion f mit f(x)=127x343x. Ihr Graph ist Gf.

    Aus Gf werden in drei Schritten neue Graphen erzeugt. Die drei Schritte sind:

    • Spiegeln an der x-Achse.

    • Verschieben um 6 in positive x-Richtung.

    • Verschieben um 14 in positive y-Richtung.

    Jeder Schritt wird genau einmal ausgeführt, nur die Reihenfolge kann verändert werden. Es wird jeweils nur der neue Graph nach Ausführung aller drei Schritte betrachtet.

    1. Geben Sie an, wie viele verschiedene neue Graphen aus Gf auf diese Art erzeugt werden können.

      Begründen Sie Ihre Angabe.

  3. 3

    B2 Aufgabe 3

    Gegeben ist die in definierte Funktion fmit f(x)=127x343x. Ihr Graph ist Gf.

    Aus Gf werden in drei Schritten neue Graphen erzeugt. Die drei Schritte sind:

    • Spiegeln an der x-Achse.

    • Verschieben um 6 in positive x-Richtung.

    • Verschieben um 14 in positive y-Richtung.

    Wird Gf den drei Schritten in der angegebenen Reihenfolge unterzogen, so entsteht der Graph der in der Aufgabe 3 betrachteten Funktion g.

    Abbildung 1 zeigt den Graphen der in definierten Funktion g mit g(x)=127x(x6)(x12)+14.

    In einem Modell, das aus langjährigen Messungen gewonnen wurde, beschreibt g für 0x<12 den Verlauf der Tagesdurchschnittstemperatur an einem bestimmten Ort. Dabei ist x die seit einem bestimmten Tag des Kalenderjahres vergangene Zeit in Monaten und g(x) die Temperatur in C.

    Graph von g

    Abbildung 1

    1. Ermitteln Sie, wie lange die Tagesdurchschnittstemperatur an dem Ort innerhalb eines Jahres über 15C liegt. (2 P)

    2. Geben Sie die Wendestelle von g an.

      Beschreiben Sie die Bedeutung dieser Wendestelle hinsichtlich des Verlaufs der Tagesdurchschnittstemperatur. (1 P + 1 P)

    3. Die folgenden Rechnungen stellen in Verbindung mit Abbildung 1 die Lösung einer Aufgabe im Sachzusammenhang dar:

      g(x)=0x=612x=6+12.g(6+12)g(612)6,2.

      Geben Sie eine passende Aufgabenstellung an und erläutern Sie den dargestellten Lösungsweg. (2 P + 2 P)

    4. Für einen anderen Ort ist der Verlauf der Tagesdurchschnittstemperatur ab einem bestimmten Tag des Kalenderjahres in Abbildung 2 modellhaft dargestellt.

      Abbildung 2

      Abbildung 2

      (i) Begründen Sie, dass eine ganzrationale Funktion zur Modellierung des in Abbildung 2 dargestellten Verlaufs mindestens den Grad 4 haben sollte.

      Der Verlauf soll mithilfe einer ganzrationalen Funktion h mit

      h(x)=ax4+bx3+cx2+dx+e,x,a,b,c,d,e, modelliert werden. Dabei soll x die seit dem bestimmten Tag des Kalenderjahres vergangene Zeit in Monaten und h(x) die Tagesdurchschnittstemperatur in C sein. (2 P)

      (ii) Bei der Modellierung mit der Funktion h sollen folgende Bedingungen erfüllt sein:

      Die geringste Tagesdurchschnittstemperatur liegt bei x=1 vor, die höchste Tagesdurchschnittstemperatur von 17C liegt bei x=7 vor. Bei x=10,5 nimmt die Tagesdurchschnittstemperatur mit einer Rate von 4,2C pro Monat am schnellsten ab.

      Stellen Sie aus diesen Bedingungen ein Gleichungssystem zur Berechnung von a,b,c,d und e auf.

      [Eine Berechnung der Werte muss nicht durchgeführt werden.] (3 P)


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