B2
- 1
B2 Aufgabe 1
Gegeben ist die in definierte Funktion mit . Ihr Graph hat den Wendepunkt .
BegrĂŒnden Sie, dass symmetrisch bezĂŒglich seines Wendepunktes ist.
Bestimmen Sie die Koordinaten der Schnittpunkte von mit den Koordinatenachsen.
(1 P + 2 P)
Bestimmen Sie den Wert des Integrals , und erklÀren Sie das Ergebnis. (1 P + 2 P)
hat zwei Extrempunkte.
Zeigen Sie, dass einer der beiden ein Tiefpunkt mit der -Koordinate ist. (3 P)
Bestimmen Sie eine Gleichung der Tangente t an im Punkt .
[Zur Kontrolle: (3 P)
(i) Ermitteln Sie den Inhalt der FlĂ€che, die und einschlieĂen. (1 P + 3 P)
(ii) Die von und eingeschlossene FlÀche wird durch die -Achse in zwei TeilflÀchen unterteilt.
Ermitteln Sie den Anteil der linken TeilflÀche an der von und eingeschlossenen GesamtflÀche. (2 P)
- 2
B2 Aufgabe 2
Gegeben ist die in definierte Funktion mit . Ihr Graph ist .
Aus werden in drei Schritten neue Graphen erzeugt. Die drei Schritte sind:
Spiegeln an der -Achse.
Verschieben um in positive -Richtung.
Verschieben um in positive -Richtung.
Jeder Schritt wird genau einmal ausgefĂŒhrt, nur die Reihenfolge kann verĂ€ndert werden. Es wird jeweils nur der neue Graph nach AusfĂŒhrung aller drei Schritte betrachtet.
Geben Sie an, wie viele verschiedene neue Graphen aus auf diese Art erzeugt werden können.
BegrĂŒnden Sie Ihre Angabe.
- 3
B2 Aufgabe 3
Gegeben ist die in definierte Funktion mit . Ihr Graph ist .
Aus werden in drei Schritten neue Graphen erzeugt. Die drei Schritte sind:
Spiegeln an der x-Achse.
Verschieben um 6 in positive x-Richtung.
Verschieben um 14 in positive y-Richtung.
Wird den drei Schritten in der angegebenen Reihenfolge unterzogen, so entsteht der Graph der in der Aufgabe 3 betrachteten Funktion .
Abbildung 1 zeigt den Graphen der in definierten Funktion mit .
In einem Modell, das aus langjĂ€hrigen Messungen gewonnen wurde, beschreibt fĂŒr den Verlauf der Tagesdurchschnittstemperatur an einem bestimmten Ort. Dabei ist die seit einem bestimmten Tag des Kalenderjahres vergangene Zeit in Monaten und die Temperatur in .
Abbildung 1
Ermitteln Sie, wie lange die Tagesdurchschnittstemperatur an dem Ort innerhalb eines Jahres ĂŒber liegt. (2 P)
Geben Sie die Wendestelle von an.
Beschreiben Sie die Bedeutung dieser Wendestelle hinsichtlich des Verlaufs der Tagesdurchschnittstemperatur. (1 P + 1 P)
Die folgenden Rechnungen stellen in Verbindung mit Abbildung 1 die Lösung einer Aufgabe im Sachzusammenhang dar:
Geben Sie eine passende Aufgabenstellung an und erlÀutern Sie den dargestellten Lösungsweg. (2 P + 2 P)
FĂŒr einen anderen Ort ist der Verlauf der Tagesdurchschnittstemperatur ab einem bestimmten Tag des Kalenderjahres in Abbildung 2 modellhaft dargestellt.
Abbildung 2
(i) BegrĂŒnden Sie, dass eine ganzrationale Funktion zur Modellierung des in Abbildung 2 dargestellten Verlaufs mindestens den Grad haben sollte.
Der Verlauf soll mithilfe einer ganzrationalen Funktion mit
, modelliert werden. Dabei soll die seit dem bestimmten Tag des Kalenderjahres vergangene Zeit in Monaten und die Tagesdurchschnittstemperatur in sein. (2 P)
(ii) Bei der Modellierung mit der Funktion sollen folgende Bedingungen erfĂŒllt sein:
Die geringste Tagesdurchschnittstemperatur liegt bei vor, die höchste Tagesdurchschnittstemperatur von liegt bei vor. Bei nimmt die Tagesdurchschnittstemperatur mit einer Rate von pro Monat am schnellsten ab.
Stellen Sie aus diesen Bedingungen ein Gleichungssystem zur Berechnung von und auf.
[Eine Berechnung der Werte muss nicht durchgefĂŒhrt werden.] (3 P)
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