B2

Begründe, dass $G_f$ symmetrisch bezüglich seines Wendepunktes ist

Die Funktion $f$ ist ganzrational und hat nur ungerade Exponenten, deshalb ist $G_f$ symmetrisch bezüglich seines Wendepunktes $(0|0)$.

Bestimme die Koordinaten der Schnittpunkte von $G_f$ mit den Koordinatenachsen

Löse die Gleichung $f(x)=0\Rightarrow x=-6\vee x=0\vee x=6$

Damit ergeben sich die Schnittpunkte $(-6|0),(0|0)$ und $(6|0)$ mit den Koordinatenachsen.

Bestimme den Wert des Integrals $${\displaystyle {\int }_{-b}^{b}f(x)\mathrm{d}x,b\in ℝ,b>0}$$, und erkläre das Ergebnis

Es ist $${\displaystyle {\int }_{-b}^{b}f(x)\mathrm{d}x=0}$$.

Aufgrund der Punktsymmetrie von $G_f$ zum Ursprung existiert zu jedem Flächenstück, das im Intervall $[-b;0]$ zwischen $G_f$ und der $x$-Achse liegt, ein gleich großes Flächenstück, das im Intervall $[0;b]$ zwischen $G_f$ und der $x$-Achse liegt und sich auf der entgegengesetzten Seite der $x$-Achse befindet. Diese orientierten Flächeninhalte heben sich gegeneinander auf.

Zeige, dass einer der beiden ein Tiefpunkt mit der $x$-Koordinate $\sqrt{12}$ ist

Bekannt ist, dass $G_f$ zwei Extrempunkte hat.

Wenn der Tiefpunkt die $x$-Koordinate $\sqrt{12}$ hat, dann muss $f^{\prime }(\sqrt{12})=0$ und $f^{\prime \prime }(\sqrt{12})>0$ sein.

Berechne $f^{\prime }(x)={\displaystyle \frac{1}{9}}{x}^2-{\displaystyle \frac{4}{3}}$ und $f^{\prime \prime }(x)={\displaystyle \frac{2}{9}}x$.

Dann gilt:

$f^{\prime }(\sqrt{12})={\displaystyle \frac{1}{9}}{\left(\sqrt{12}\right)}^2-{\displaystyle \frac{4}{3}}={\displaystyle \frac{12}{9}}-{\displaystyle \frac{4}{3}}=0$ und $f^{\prime \prime }(\sqrt{12})={\displaystyle \frac{2}{9}}\cdot \sqrt{12}>0$

Folglich ist bestätigt, dass ein Tiefpunkt mit der $x$-Koordinate $\sqrt{12}$ existiert.

Bestimme eine Gleichung der Tangente t an $G_f$ im Punkt $P(6|f(6))$

Die allgemeine Tangentengleichung lautet $t:y=m\cdot x+b$.

$m=f^{\prime }(6)=f^{\prime }(6)={\displaystyle \frac{1}{9}}\cdot 6^2-{\displaystyle \frac{4}{3}}={\displaystyle \frac{8}{3}}$

Dann folgt:

$y={\displaystyle \frac{8}{3}}\cdot x+b$

$x=6$ ist Nullstelle von $f\Rightarrow$ $f(6)=0$

Mit $P(6|0)$ folgt dann: $0={\displaystyle \frac{8}{3}}\cdot 6+b\Rightarrow b=-16$

Die Gleichung der Tangente t an $G_f$ im Punkt $P(6|f(6))$ lautet:

(i) Ermittele den Inhalt der Fläche, die $G_f$ und $t$ einschließen

Berechne die Schnittpunkte der beiden Graphen $G_f$ und $G_t$:

$\frac{1}{27}{x}^3-\frac{4}{3}x=\frac{8}{3}x-16$

Die Gleichung hat also die beiden Lösungen $x=-12$ und $x=6$.

Berechne das Integral $$A_{\text{gesamt}}={\displaystyle {\int }_{-12}^6(f(x)-t(x))\mathrm{d}x=324}$$.

Der Inhalt der Fläche, die $G_f$ und $t$ einschließen, beträgt $324\mathrm{FE}$.

(ii) Ermittele den Anteil der linken Teilfläche an der von $G_f$ und $t$ eingeschlossenen Gesamtfläche

Bekannt ist, dass die von $G_f$ und $t$ eingeschlossene Fläche durch die $y$-Achse in zwei Teilflächen unterteilt wird.

Die linke Teilfläche verläuft von $x=-12$ bis $x=0$.

$$\Rightarrow A_{\text{links}}={\displaystyle {\int }_{-12}^0(f(x)-t(x))\mathrm{d}x=288}$$

Der Inhalt der linken Teilfläche, die $G_f$ und $t$ einschließen, beträgt $288\mathrm{FE}$.

Gesucht ist nun das Verhältnis der beiden Flächen:

$${\displaystyle \frac{A_{\text{links}}}{A_{\text{gesamt}}}}={\displaystyle \frac{{\displaystyle {\int }_{-12}^0(f(x)-t(x))\mathrm{d}x}}{{\displaystyle {\int }_{-12}^6(f(x)-t(x))\mathrm{d}x}}}={\displaystyle \frac{288}{324}}={\displaystyle \frac{8}{9}}$$

${\displaystyle \frac{8}{9}}\approx \mathrm{0,889}=\mathrm{88,9}\%$

Der Anteil der linken Teilfläche an der von $G_f$ und $t$ eingeschlossenen Gesamtfläche beträgt rund $\mathrm{88,9}\%$.

Begründe Deine Angabe

Das Ergebnis der Veränderung ist unabhängig von der Position der Verschiebung in $x$-Richtung. Wesentlich ist nur die Reihenfolge der beiden anderen Schritte. Abhängig davon geht beispielsweise der Wendepunkt $(0|0)$ durch die drei Schritte entweder in $(6|14)$ oder $(6|-14)$ über.

Folglich entstehen zwei verschiedene neue Graphen.

Die folgende Angabe ist nicht in der Aufgabenstellung gefordert. Die dient nur zur Erklärung. Die zwei möglichen neuen Funktionen sind:

$f(x{)}^{\ast }=-\frac{1}{27}(x-6{)}^3+\frac{4}{3}(x-6)+14$ und

$f(x{)}^{\ast \ast }=-\frac{1}{27}(x-6{)}^3+\frac{4}{3}(x-6)-14$

Ermittele, wie lange die Tagesdurchschnittstemperatur an dem Ort innerhalb eines Jahres über ${15}^{\circ }\mathrm{C}$ liegt

Löse die Gleichung $g(x)=15$.

Die Gleichung hat drei Lösungen $x_1,x_2$ und $x_3$ mit $x_1\approx -\mathrm{0,345}$, $x_2\approx \mathrm{6,762}$ und $x_3\approx \mathrm{11,582}$. $x_1$ liegt außerhalb des Modellierungsbereichs.

Unter Verwendung von Abbildung 1 gilt damit:

Zwischen $x_2$ und $x_3$ und damit über einen Zeitraum von etwa fünf Monaten liegt die Tagesdurchschnittstemperatur über $15{}^{\circ }\mathrm{C}$.

Gib die Wendestelle von $g$ an

Betrachte den Graphen von $g$.

Wegen der Punktsymmetrie des Graphens zum Wendepunkt $(6|14)$ liegt die Wendestelle bei $x=6$.

Beschreibe die Bedeutung dieser Wendestelle hinsichtlich des Verlaufs der Tagesdurchschnittstemperatur

Die Wendestelle gibt an, wann die Tagesdurchschnittstemperatur im Modell am stärksten zunimmt.

Gib eine passende Aufgabenstellung an und erläutere den dargestellten Lösungsweg

Eine mögliche Aufgabenstellung könnte lauten:

Ermitteln Sie die Differenz zwischen der höchsten und der niedrigsten Tagesdurchschnittstemperatur.

Erläuterung: In der ersten Zeile werden die möglichen Extremstellen von $g$ bestimmt. Anhand von Abbildung 1 wird ersichtlich, dass diese Stellen tatsächlich absolute Extremstellen im Modellierungsbereich sind. In der zweiten Zeile wird die Differenz zwischen den zugehörigen Funktionswerten berechnet.

(i) Begründe, dass eine ganzrationale Funktion zur Modellierung des in Abbildung 2 dargestellten Verlaufs mindestens den Grad $4$ haben sollte

In Abbildung 2 sind zwei Wendestellen zu erkennen, was bei einer ganzrationalen Funktion mindestens den Grad $4$ erfordert.

(ii) Stelle aus diesen Bedingungen ein Gleichungssystem zur Berechnung von $a,b,c,d$ und $e$ auf

Ansatz: $h(x)=a\cdot x^4+b\cdot x^3+c\cdot x^2+d\cdot x+e$

Für die $5$ unbekannten Parameter werden $5$ Gleichungen benötigt.

Gegeben:

1. Die geringste Tagesdurchschnittstemperatur liegt bei $x=1$ vor $\Rightarrow$Tiefpunkt bei $x=1\Rightarrow h^{\prime }(1)=0$.

2. Die höchste Tagesdurchschnittstemperatur von ${17}^{\circ }\mathrm{C}$ liegt bei $x=7$ vor.

$\Rightarrow$$h(7)=17$ und $h^{\prime }(7)=0$.

3. Bei $x=\mathrm{10,5}$ nimmt die Tagesdurchschnittstemperatur mit einer Rate von $-{\mathrm{4,2}}^{\circ }\mathrm{C}$ pro Monat am schnellsten ab. $\Rightarrow h^{\prime }(\mathrm{10,5})=-\mathrm{4,2}$ und $h^{\prime \prime }(\mathrm{10,5})=0$.

Damit ergibt sich folgendes Gleichungssystem:

$\left|\begin{array}{l}{h}^{\prime }(1)=0\\ h(7)=17\\ h^{\prime }(7)=0\\ h^{\prime }(\mathrm{10,5})=-\mathrm{4,2}\\ h^{\prime \prime }(\mathrm{10,5})=0\end{array}\right|$