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B2

  1. 1

    B2 Aufgabe 1

    Gegeben ist die in R\mathbb{R} definierte Funktion ff mit f(x)=127x3−43xf(x)=\frac{1}{27} x^{3}-\frac{4}{3} x. Ihr Graph GfG_{f} hat den Wendepunkt (0∣0)(0 \mid 0).

    1. BegrĂŒnden Sie, dass GfG_{f} symmetrisch bezĂŒglich seines Wendepunktes ist.

      Bestimmen Sie die Koordinaten der Schnittpunkte von GfG_{f} mit den Koordinatenachsen.

      (1 P + 2 P)

    2. Bestimmen Sie den Wert des Integrals ∫−bbf(x)  dx,b∈R,b>0\displaystyle\int_{-b}^{b} f(x)\;\mathrm{d} x, b \in \mathbb{R}, b>0, und erklĂ€ren Sie das Ergebnis. (1 P + 2 P)

    3. GfG_{f} hat zwei Extrempunkte.

      Zeigen Sie, dass einer der beiden ein Tiefpunkt mit der xx-Koordinate 12\sqrt{12} ist. (3 P)

    4. Bestimmen Sie eine Gleichung der Tangente t an GfG_{f} im Punkt P(6∣f(6))P(6 \mid f(6)).

      [Zur Kontrolle: t:y=83x−16.]\left.t: y=\frac{8}{3} x-16.\right] (3 P)

    5. (i) Ermitteln Sie den Inhalt der FlĂ€che, die GfG_{f} und tt einschließen. (1 P + 3 P)

      (ii) Die von GfG_{f} und tt eingeschlossene FlÀche wird durch die yy-Achse in zwei TeilflÀchen unterteilt.

      Ermitteln Sie den Anteil der linken TeilflÀche an der von GfG_{f} und tt eingeschlossenen GesamtflÀche. (2 P)

  2. 2

    B2 Aufgabe 2

    Gegeben ist die in R\mathbb{R} definierte Funktion ff mit f(x)=127x3−43xf(x)=\frac{1}{27} x^{3}-\frac{4}{3} x. Ihr Graph ist GfG_{f}.

    Aus GfG_{f} werden in drei Schritten neue Graphen erzeugt. Die drei Schritte sind:

    • Spiegeln an der xx-Achse.

    • Verschieben um 66 in positive xx-Richtung.

    • Verschieben um 1414 in positive yy-Richtung.

    Jeder Schritt wird genau einmal ausgefĂŒhrt, nur die Reihenfolge kann verĂ€ndert werden. Es wird jeweils nur der neue Graph nach AusfĂŒhrung aller drei Schritte betrachtet.

    1. Geben Sie an, wie viele verschiedene neue Graphen aus GfG_{f} auf diese Art erzeugt werden können.

      BegrĂŒnden Sie Ihre Angabe.

  3. 3

    B2 Aufgabe 3

    Gegeben ist die in R\mathbb{R} definierte Funktion ffmit f(x)=127x3−43xf(x)=\frac{1}{27} x^{3}-\frac{4}{3} x. Ihr Graph ist GfG_f.

    Aus GfG_f werden in drei Schritten neue Graphen erzeugt. Die drei Schritte sind:

    • Spiegeln an der x-Achse.

    • Verschieben um 6 in positive x-Richtung.

    • Verschieben um 14 in positive y-Richtung.

    Wird GfG_{f} den drei Schritten in der angegebenen Reihenfolge unterzogen, so entsteht der Graph der in der Aufgabe 3 betrachteten Funktion gg.

    Abbildung 1 zeigt den Graphen der in R\mathbb{R} definierten Funktion gg mit g(x)=−127x⋅(x−6)⋅(x−12)+14g(x)=-\frac{1}{27} x \cdot(x-6) \cdot(x-12)+14.

    In einem Modell, das aus langjĂ€hrigen Messungen gewonnen wurde, beschreibt gg fĂŒr 0≀x<120 \leq x<12 den Verlauf der Tagesdurchschnittstemperatur an einem bestimmten Ort. Dabei ist xx die seit einem bestimmten Tag des Kalenderjahres vergangene Zeit in Monaten und g(x)g(x) die Temperatur in ∘C{ }^{\circ} \mathrm{C}.

    Graph von g

    Abbildung 1

    1. Ermitteln Sie, wie lange die Tagesdurchschnittstemperatur an dem Ort innerhalb eines Jahres ĂŒber 15∘C15^{\circ} \mathrm{C} liegt. (2 P)

    2. Geben Sie die Wendestelle von gg an.

      Beschreiben Sie die Bedeutung dieser Wendestelle hinsichtlich des Verlaufs der Tagesdurchschnittstemperatur. (1 P + 1 P)

    3. Die folgenden Rechnungen stellen in Verbindung mit Abbildung 1 die Lösung einer Aufgabe im Sachzusammenhang dar:

      gâ€Č(x)=0⇔x=6−12√x=6+12.g(6+12)−g(6−12)≈6,2.\def\arraystretch{1.25} \begin{aligned}& g^{\prime}(x)=0 \Leftrightarrow x=6-\sqrt{12} \vee x=6+\sqrt{12} . \\& g(6+\sqrt{12})-g(6-\sqrt{12}) \approx 6{,}2 .\end{aligned}

      Geben Sie eine passende Aufgabenstellung an und erlÀutern Sie den dargestellten Lösungsweg. (2 P + 2 P)

    4. FĂŒr einen anderen Ort ist der Verlauf der Tagesdurchschnittstemperatur ab einem bestimmten Tag des Kalenderjahres in Abbildung 2 modellhaft dargestellt.

      Abbildung 2

      Abbildung 2

      (i) BegrĂŒnden Sie, dass eine ganzrationale Funktion zur Modellierung des in Abbildung 2 dargestellten Verlaufs mindestens den Grad 44 haben sollte.

      Der Verlauf soll mithilfe einer ganzrationalen Funktion hh mit

      h(x)=a⋅x4+b⋅x3+c⋅x2+d⋅x+e,x∈R,a,b,c,d,e∈Rh(x)=a \cdot x^{4}+b \cdot x^{3}+c \cdot x^{2}+d \cdot x+e, x \in \mathbb{R}, a, b, c, d, e \in \mathbb{R}, modelliert werden. Dabei soll xx die seit dem bestimmten Tag des Kalenderjahres vergangene Zeit in Monaten und h(x)h(x) die Tagesdurchschnittstemperatur in ∘C{ }^{\circ} \mathrm{C} sein. (2 P)

      (ii) Bei der Modellierung mit der Funktion hh sollen folgende Bedingungen erfĂŒllt sein:

      Die geringste Tagesdurchschnittstemperatur liegt bei x=1x=1 vor, die höchste Tagesdurchschnittstemperatur von 17∘C17^{\circ} \mathrm{C} liegt bei x=7x=7 vor. Bei x=10,5x=10{,}5 nimmt die Tagesdurchschnittstemperatur mit einer Rate von −4,2∘C-4{,}2^{\circ} \mathrm{C} pro Monat am schnellsten ab.

      Stellen Sie aus diesen Bedingungen ein Gleichungssystem zur Berechnung von a,b,c,da, b, c, d und ee auf.

      [Eine Berechnung der Werte muss nicht durchgefĂŒhrt werden.] (3 P)


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