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B2 Aufgabe 3

Gegeben ist die in R\mathbb{R} definierte Funktion ffmit f(x)=127x343xf(x)=\frac{1}{27} x^{3}-\frac{4}{3} x. Ihr Graph ist GfG_f.

Aus GfG_f werden in drei Schritten neue Graphen erzeugt. Die drei Schritte sind:

  • Spiegeln an der x-Achse.

  • Verschieben um 6 in positive x-Richtung.

  • Verschieben um 14 in positive y-Richtung.

Wird GfG_{f} den drei Schritten in der angegebenen Reihenfolge unterzogen, so entsteht der Graph der in der Aufgabe 3 betrachteten Funktion gg.

Abbildung 1 zeigt den Graphen der in R\mathbb{R} definierten Funktion gg mit g(x)=127x(x6)(x12)+14g(x)=-\frac{1}{27} x \cdot(x-6) \cdot(x-12)+14.

In einem Modell, das aus langjährigen Messungen gewonnen wurde, beschreibt gg für 0x<120 \leq x<12 den Verlauf der Tagesdurchschnittstemperatur an einem bestimmten Ort. Dabei ist xx die seit einem bestimmten Tag des Kalenderjahres vergangene Zeit in Monaten und g(x)g(x) die Temperatur in C{ }^{\circ} \mathrm{C}.

Graph von g

Abbildung 1

  1. Ermitteln Sie, wie lange die Tagesdurchschnittstemperatur an dem Ort innerhalb eines Jahres über 15C15^{\circ} \mathrm{C} liegt. (2 P)

  2. Geben Sie die Wendestelle von gg an.

    Beschreiben Sie die Bedeutung dieser Wendestelle hinsichtlich des Verlaufs der Tagesdurchschnittstemperatur. (1 P + 1 P)

  3. Die folgenden Rechnungen stellen in Verbindung mit Abbildung 1 die Lösung einer Aufgabe im Sachzusammenhang dar:

    g(x)=0x=612x=6+12.g(6+12)g(612)6,2.\def\arraystretch{1.25} \begin{aligned}& g^{\prime}(x)=0 \Leftrightarrow x=6-\sqrt{12} \vee x=6+\sqrt{12} . \\& g(6+\sqrt{12})-g(6-\sqrt{12}) \approx 6{,}2 .\end{aligned}

    Geben Sie eine passende Aufgabenstellung an und erläutern Sie den dargestellten Lösungsweg. (2 P + 2 P)

  4. Für einen anderen Ort ist der Verlauf der Tagesdurchschnittstemperatur ab einem bestimmten Tag des Kalenderjahres in Abbildung 2 modellhaft dargestellt.

    Abbildung 2

    Abbildung 2

    (i) Begründen Sie, dass eine ganzrationale Funktion zur Modellierung des in Abbildung 2 dargestellten Verlaufs mindestens den Grad 44 haben sollte.

    Der Verlauf soll mithilfe einer ganzrationalen Funktion hh mit

    h(x)=ax4+bx3+cx2+dx+e,xR,a,b,c,d,eRh(x)=a \cdot x^{4}+b \cdot x^{3}+c \cdot x^{2}+d \cdot x+e, x \in \mathbb{R}, a, b, c, d, e \in \mathbb{R}, modelliert werden. Dabei soll xx die seit dem bestimmten Tag des Kalenderjahres vergangene Zeit in Monaten und h(x)h(x) die Tagesdurchschnittstemperatur in C{ }^{\circ} \mathrm{C} sein. (2 P)

    (ii) Bei der Modellierung mit der Funktion hh sollen folgende Bedingungen erfüllt sein:

    Die geringste Tagesdurchschnittstemperatur liegt bei x=1x=1 vor, die höchste Tagesdurchschnittstemperatur von 17C17^{\circ} \mathrm{C} liegt bei x=7x=7 vor. Bei x=10,5x=10{,}5 nimmt die Tagesdurchschnittstemperatur mit einer Rate von 4,2C-4{,}2^{\circ} \mathrm{C} pro Monat am schnellsten ab.

    Stellen Sie aus diesen Bedingungen ein Gleichungssystem zur Berechnung von a,b,c,da, b, c, d und ee auf.

    [Eine Berechnung der Werte muss nicht durchgeführt werden.] (3 P)