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B2 Aufgabe 3

Gegeben ist die in $ℝ$ definierte Funktion $f$ mit $f (x) = \frac{1}{27} x^{3} - \frac{4}{3} x$ . Ihr Graph ist $G_{f}$ .

Aus $G_{f}$ werden in drei Schritten neue Graphen erzeugt. Die drei Schritte sind:

Spiegeln an der x-Achse.
Verschieben um 6 in positive x-Richtung.
Verschieben um 14 in positive y-Richtung.

Wird $G_{f}$ den drei Schritten in der angegebenen Reihenfolge unterzogen, so entsteht der Graph der in der Aufgabe 3 betrachteten Funktion $g$ .

Abbildung 1 zeigt den Graphen der in $ℝ$ definierten Funktion $g$ mit $g (x) = - \frac{1}{27} x \cdot (x - 6) \cdot (x - 12) + 14$ .

In einem Modell, das aus langjährigen Messungen gewonnen wurde, beschreibt $g$ für $0 \leq x < 12$ den Verlauf der Tagesdurchschnittstemperatur an einem bestimmten Ort. Dabei ist $x$ die seit einem bestimmten Tag des Kalenderjahres vergangene Zeit in Monaten und $g (x)$ die Temperatur in $^{\circ} C$ .

Ermitteln Sie, wie lange die Tagesdurchschnittstemperatur an dem Ort innerhalb eines Jahres über $15^{\circ} C$ liegt. (2 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Funktionswert
Ermittele, wie lange die Tagesdurchschnittstemperatur an dem Ort innerhalb eines Jahres über $15^{\circ} C$ liegt
Löse die Gleichung $g (x) = 15$ .
Die Gleichung hat drei Lösungen $x_{1}, x_{2}$ und $x_{3}$ mit $x_{1} \approx - 0,345$ , $x_{2} \approx 6,762$ und $x_{3} \approx 11,582$ . $x_{1}$ liegt außerhalb des Modellierungsbereichs.
Unter Verwendung von Abbildung 1 gilt damit:
Zwischen $x_{2}$ und $x_{3}$ und damit über einen Zeitraum von etwa fünf Monaten liegt die Tagesdurchschnittstemperatur über $15^{\circ} C$ .
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Löse die Gleichung $g (x) = 15$ .
Geben Sie die Wendestelle von $g$ an.
Beschreiben Sie die Bedeutung dieser Wendestelle hinsichtlich des Verlaufs der Tagesdurchschnittstemperatur. (1 P + 1 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Wendepunkte und Terrassenpunkte
Gib die Wendestelle von $g$ an
Betrachte den Graphen von $g$ .
Wegen der Punktsymmetrie des Graphens zum Wendepunkt $(6 | 14)$ liegt die Wendestelle bei $x = 6$ .
Beschreibe die Bedeutung dieser Wendestelle hinsichtlich des Verlaufs der Tagesdurchschnittstemperatur
Die Wendestelle gibt an, wann die Tagesdurchschnittstemperatur im Modell am stärksten zunimmt.
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Betrachte den Graphen von $g$ und lies den Wendepunkt ab.
Die folgenden Rechnungen stellen in Verbindung mit Abbildung 1 die Lösung einer Aufgabe im Sachzusammenhang dar:
$\begin{aligned} g^{'} (x) = 0 \Leftrightarrow x = 6 - \sqrt{12} \lor x = 6 + \sqrt{12} . \\ g (6 + \sqrt{12}) - g (6 - \sqrt{12}) \approx 6,2. \end{aligned}$
Geben Sie eine passende Aufgabenstellung an und erläutern Sie den dargestellten Lösungsweg. (2 P + 2 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Extrema berechnen
Gib eine passende Aufgabenstellung an und erläutere den dargestellten Lösungsweg
Eine mögliche Aufgabenstellung könnte lauten:
Ermitteln Sie die Differenz zwischen der höchsten und der niedrigsten Tagesdurchschnittstemperatur.
Erläuterung: In der ersten Zeile werden die möglichen Extremstellen von $g$ bestimmt. Anhand von Abbildung 1 wird ersichtlich, dass diese Stellen tatsächlich absolute Extremstellen im Modellierungsbereich sind. In der zweiten Zeile wird die Differenz zwischen den zugehörigen Funktionswerten berechnet.
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Was wird in der ersten Zeile berechnet?
Was stellt dann die Differenz $g (x_{2}) - g (x_{1})$ dar?
Für einen anderen Ort ist der Verlauf der Tagesdurchschnittstemperatur ab einem bestimmten Tag des Kalenderjahres in Abbildung 2 modellhaft dargestellt.
Abbildung 2
(i) Begründen Sie, dass eine ganzrationale Funktion zur Modellierung des in Abbildung 2 dargestellten Verlaufs mindestens den Grad $4$ haben sollte.
Der Verlauf soll mithilfe einer ganzrationalen Funktion $h$ mit
$h (x) = a \cdot x^{4} + b \cdot x^{3} + c \cdot x^{2} + d \cdot x + e, x \in ℝ, a, b, c, d, e \in ℝ$ , modelliert werden. Dabei soll $x$ die seit dem bestimmten Tag des Kalenderjahres vergangene Zeit in Monaten und $h (x)$ die Tagesdurchschnittstemperatur in $^{\circ} C$ sein. (2 P)
(ii) Bei der Modellierung mit der Funktion $h$ sollen folgende Bedingungen erfüllt sein:
Die geringste Tagesdurchschnittstemperatur liegt bei $x = 1$ vor, die höchste Tagesdurchschnittstemperatur von $17^{\circ} C$ liegt bei $x = 7$ vor. Bei $x = 10,5$ nimmt die Tagesdurchschnittstemperatur mit einer Rate von $- {4,2}^{\circ} C$ pro Monat am schnellsten ab.
Stellen Sie aus diesen Bedingungen ein Gleichungssystem zur Berechnung von $a, b, c, d$ und $e$ auf.
[Eine Berechnung der Werte muss nicht durchgeführt werden.] (3 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Steckbriefaufgaben
(i) Begründe, dass eine ganzrationale Funktion zur Modellierung des in Abbildung 2 dargestellten Verlaufs mindestens den Grad $4$ haben sollte
In Abbildung 2 sind zwei Wendestellen zu erkennen, was bei einer ganzrationalen Funktion mindestens den Grad $4$ erfordert.
(ii) Stelle aus diesen Bedingungen ein Gleichungssystem zur Berechnung von $a, b, c, d$ und $e$ auf
Ansatz: $h (x) = a \cdot x^{4} + b \cdot x^{3} + c \cdot x^{2} + d \cdot x + e$
Für die $5$ unbekannten Parameter werden $5$ Gleichungen benötigt.
Gegeben:
1. Die geringste Tagesdurchschnittstemperatur liegt bei $x = 1$ vor $\Rightarrow$ Tiefpunkt bei $x = 1 \Rightarrow h^{'} (1) = 0$ .
2. Die höchste Tagesdurchschnittstemperatur von $17^{\circ} C$ liegt bei $x = 7$ vor.
$\Rightarrow$ $h (7) = 17$ und $h^{'} (7) = 0$ .
3. Bei $x = 10,5$ nimmt die Tagesdurchschnittstemperatur mit einer Rate von $- {4,2}^{\circ} C$ pro Monat am schnellsten ab. $\Rightarrow h^{'} (10,5) = - 4,2$ und $h^{''} (10,5) = 0$ .
Damit ergibt sich folgendes Gleichungssystem:
$| \begin{array}{l} h^{'} (1) = 0 \\ h (7) = 17 \\ h^{'} (7) = 0 \\ h^{'} (10,5) = - 4,2 \\ h^{''} (10,5) = 0 \end{array} |$
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(i)
Wie viele Wendestellen sind in Abbildung 2 zu erkennen. Was folgt daraus?
(ii)
Für die $5$ unbekannten Parameter werden $5$ Gleichungen benötigt.
1. Die geringste Tagesdurchschnittstemperatur liegt bei $x = 1$ vor. Was bedeutet das für $h^{'} (1)$ ?
2. Die höchste Tagesdurchschnittstemperatur von $17^{\circ} C$ liegt bei $x = 7$ vor. $\Rightarrow$ dazu gehört der Punkt $(7 | 17)$ und was bedeutet das für $h^{'} (7)$ ?
3. Bei $x = 10,5$ nimmt die Tagesdurchschnittstemperatur mit einer Rate von $- {4,2}^{\circ} C$ pro Monat am schnellsten ab. Was bedeutet das für $h^{'} (10,5)$ ? Bei $x = 10,5$ gibt es einen Wendepunkt. Was bedeutet das für $h^{''} (10,5)$ ?

Diese Aufgabe stammt vom Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen → Was bedeutet das?

B2 Aufgabe 3

Ermittele, wie lange die Tagesdurchschnittstemperatur an dem Ort innerhalb eines Jahres über 15∘C liegt

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Gib die Wendestelle von g an

Beschreibe die Bedeutung dieser Wendestelle hinsichtlich des Verlaufs der Tagesdurchschnittstemperatur

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Gib eine passende Aufgabenstellung an und erläutere den dargestellten Lösungsweg

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(i) Begründe, dass eine ganzrationale Funktion zur Modellierung des in Abbildung 2 dargestellten Verlaufs mindestens den Grad 4 haben sollte

(ii) Stelle aus diesen Bedingungen ein Gleichungssystem zur Berechnung von a,b,c,d und e auf

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Ermittele, wie lange die Tagesdurchschnittstemperatur an dem Ort innerhalb eines Jahres über $15^{\circ} C$ liegt

Gib die Wendestelle von $g$ an

(i) Begründe, dass eine ganzrationale Funktion zur Modellierung des in Abbildung 2 dargestellten Verlaufs mindestens den Grad $4$ haben sollte

(ii) Stelle aus diesen Bedingungen ein Gleichungssystem zur Berechnung von $a, b, c, d$ und $e$ auf