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B2 Aufgabe 3

Gegeben ist die in definierte Funktion fmit f(x)=127x343x. Ihr Graph ist Gf.

Aus Gf werden in drei Schritten neue Graphen erzeugt. Die drei Schritte sind:

  • Spiegeln an der x-Achse.

  • Verschieben um 6 in positive x-Richtung.

  • Verschieben um 14 in positive y-Richtung.

Wird Gf den drei Schritten in der angegebenen Reihenfolge unterzogen, so entsteht der Graph der in der Aufgabe 3 betrachteten Funktion g.

Abbildung 1 zeigt den Graphen der in definierten Funktion g mit g(x)=127x(x6)(x12)+14.

In einem Modell, das aus langjährigen Messungen gewonnen wurde, beschreibt g für 0x<12 den Verlauf der Tagesdurchschnittstemperatur an einem bestimmten Ort. Dabei ist x die seit einem bestimmten Tag des Kalenderjahres vergangene Zeit in Monaten und g(x) die Temperatur in C.

Graph von g

Abbildung 1

  1. Ermitteln Sie, wie lange die Tagesdurchschnittstemperatur an dem Ort innerhalb eines Jahres über 15C liegt. (2 P)

  2. Geben Sie die Wendestelle von g an.

    Beschreiben Sie die Bedeutung dieser Wendestelle hinsichtlich des Verlaufs der Tagesdurchschnittstemperatur. (1 P + 1 P)

  3. Die folgenden Rechnungen stellen in Verbindung mit Abbildung 1 die Lösung einer Aufgabe im Sachzusammenhang dar:

    g(x)=0x=612x=6+12.g(6+12)g(612)6,2.

    Geben Sie eine passende Aufgabenstellung an und erläutern Sie den dargestellten Lösungsweg. (2 P + 2 P)

  4. Für einen anderen Ort ist der Verlauf der Tagesdurchschnittstemperatur ab einem bestimmten Tag des Kalenderjahres in Abbildung 2 modellhaft dargestellt.

    Abbildung 2

    Abbildung 2

    (i) Begründen Sie, dass eine ganzrationale Funktion zur Modellierung des in Abbildung 2 dargestellten Verlaufs mindestens den Grad 4 haben sollte.

    Der Verlauf soll mithilfe einer ganzrationalen Funktion h mit

    h(x)=ax4+bx3+cx2+dx+e,x,a,b,c,d,e, modelliert werden. Dabei soll x die seit dem bestimmten Tag des Kalenderjahres vergangene Zeit in Monaten und h(x) die Tagesdurchschnittstemperatur in C sein. (2 P)

    (ii) Bei der Modellierung mit der Funktion h sollen folgende Bedingungen erfüllt sein:

    Die geringste Tagesdurchschnittstemperatur liegt bei x=1 vor, die höchste Tagesdurchschnittstemperatur von 17C liegt bei x=7 vor. Bei x=10,5 nimmt die Tagesdurchschnittstemperatur mit einer Rate von 4,2C pro Monat am schnellsten ab.

    Stellen Sie aus diesen Bedingungen ein Gleichungssystem zur Berechnung von a,b,c,d und e auf.

    [Eine Berechnung der Werte muss nicht durchgeführt werden.] (3 P)