Der obere Rand der Schultüte bildet einen Kreis.

Der Kreisumfang $UU$ beträgt:

$U=2\cdot \pi \cdot rU=2\backslash cdot\backslash pi\backslash cdot\; r$

Der Radius des Kreises ist in der Aufgabe gegeben mit $r=12r=12$

$U=2\cdot \pi \cdot 12\approx \mathrm{75,4}U=2\backslash cdot\backslash pi\backslash cdot\; 12\backslash approx\; 75\{,\}4$

Die Länge des Bandes beträgt $\approx \mathrm{75,40}\text{ cm}\backslash approx\; 75\{,\}40\backslash cm$

Volumen des Kegels mit Grundfläche $GG$

$V_{\text{Kegel}}={\displaystyle \frac{1}{3}}\cdot G\cdot h={\displaystyle \frac{1}{3}}\cdot r^2\cdot \pi \cdot hV\_\{\backslash text\{Kegel\}\}=\backslash dfrac\{1\}\{3\}\backslash cdot\; G\backslash cdot\; h\; =\backslash dfrac\{1\}\{3\}\backslash cdot\; r^2\; \backslash cdot\backslash pi\backslash cdot\; h$

Berechnung der Höhe $h_{K}h\_K$

In der Aufgabe ist gegeben:

$V_{\text{Kegel}}=11310{\text{ cm}}^{3}V\_\{\backslash text\{Kegel\}\}=11\backslash ,310\backslash cm^3$

$r=12\text{ cm}r=12\backslash cm$

Die Höhe der Schultüte beträgt $75\text{ cm}75\backslash cm$.

Die Höhe $h_{K}h\_K$, der Radius $rr$ und die Seite der Schultüte bilden ein rechtwinkliges Dreieck.

Dabei ist die Seite der Schultüte die Hypotenuse $cc$ des rechtwinkligen Dreiecks.

Die Höhe $h_{K}h\_K$ ist die Ankathete.

Der Radius $rr$ ist die Kathete.

Berechnung der Hypotenuse

Mit dem Satz des Pythagoras kann jetzt die Hypotenuse berechnet werden.

$c^2=(h_K{)}^2+r^{2}c^2=(h\_K)^2+r^2$

$c^2={75}^2+{12}^2=5769c^2=75^2+12^2=5769$

$c=\sqrt{5769}\approx \mathrm{75,95}c=\backslash sqrt\{5769\}\backslash approx\; 75\{,\}95$

Berechnung des Winkels

Die Höhe $h_{K}h\_K$ teilt den Winkel $\alpha \backslash alpha$ in zwei gleich große Hälften. Mithilfe einer trigonometrischen Gleichung kann jetzt der Winkel $\frac{\alpha }{2}\backslash frac\{\backslash alpha\}\{2\}$ berechnet werden.

$\sin (\frac{\alpha }{2})={\displaystyle \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotnuse}}}\backslash sin(\backslash frac\{\backslash alpha\}\{2\})=\; \backslash dfrac\{\backslash text\{Gegenkathete\}\}\{\backslash text\{Hypotnuse\}\}$

$\sin (\frac{\alpha }{2})={\displaystyle \frac{12}{\mathrm{75,95}}}\backslash sin(\backslash frac\{\backslash alpha\}\{2\})=\; \backslash dfrac\{12\}\{75\{,\}95\}$

$\frac{\alpha }{2}={\mathrm{9,09}}^{\circ }\Rightarrow \alpha ={\mathrm{18,18}}^{\circ }\backslash frac\{\backslash alpha\}\{2\}=\; 9\{,\}09^\backslash circ\; \backslash Rightarrow\; \backslash alpha=18\{,\}18^\backslash circ$

Der Winkel $\alpha \backslash alpha$ hat eine Größe von ${\mathrm{18,18}}^{\circ }18\{,\}18^\backslash circ$