Teil 2

Die Summe der Wahrscheinlichkeiten bei einem Schuss ist gleich .

Die Wahrscheinlichkeit , dass der Torwart den Ball hält, ist damit:

$P(H)=1-({\displaystyle \frac{3}{4}}+{\displaystyle \frac{1}{20}})P(H)=1-\backslash left(\backslash dfrac\{3\}\{4\}+\backslash dfrac\{1\}\{20\}\backslash right)$

$P(H)={\displaystyle \frac{20}{20}}-({\displaystyle \frac{15}{20}}+{\displaystyle \frac{1}{20}})P(H)=\backslash dfrac\{20\}\{20\}-\backslash left(\backslash dfrac\{15\}\{20\}+\backslash dfrac\{1\}\{20\}\backslash right)$

$P(H)={\displaystyle \frac{16}{20}}={\displaystyle \frac{1}{5}}P(H)=\backslash dfrac\{16\}\{20\}=\backslash dfrac\{1\}\{5\}$

Die Wahrscheinlichkeit, dass der Torwart den Schuss hält, beträgt ${\displaystyle \frac{1}{5}}\backslash dfrac\{1\}\{5\}$.

Es werden zwei Elfmeter nacheinander geschossen. Unabhängig vom Ergebnis des ersten Schusses können beim zweiten Schuss wieder alle drei möglichen Ereignisse eintreten.

Die Ergebnisse der beiden Torschüsse sind zwei unabhängige Ereignisse.

Nach der Multiplikationsregel für unabhängige Ereignisse müssen die beiden Wahrscheinlichkeiten multipliziert werden.

$P(\text{zweimal Tor})={\displaystyle \frac{3}{4}}\cdot {\displaystyle \frac{3}{4}}={\displaystyle \frac{9}{16}}P(\backslash text\{zweimal\; Tor\})=\backslash dfrac\{3\}\{4\}\backslash cdot\backslash dfrac\{3\}\{4\}=\backslash dfrac\{9\}\{16\}$

Die Wahrscheinlichkeit, bei beiden Elfmetern ein Tor zu schießen, beträgt ${\displaystyle \frac{9}{16}}\backslash dfrac\{9\}\{16\}$.

Anteil der Elektroautos an der Gesamtzahl der Autos wird anhand folgender Formel berechnet:

$p={\displaystyle \frac{\text{Pozentwert}}{\text{Grundwert}}}p=\backslash dfrac\{\backslash text\{Pozentwert\}\}\{\backslash text\{Grundwert\}\}$

$p={\displaystyle \frac{26000}{45100000}}\approx \mathrm{0,00058}p=\backslash dfrac\{26\backslash ,000\}\{45\backslash ,100\backslash ,000\}\backslash approx\; 0\{,\}00058$

2016 waren etwa $\mathrm{0,058}\mathrm{\%}0\{,\}058\backslash \%$ aller Autos Elektroautos.

Berechnung des Prozentsatzes $pp$ mit der Formel

$p={\displaystyle \frac{\text{Pozentwert}}{\text{Grundwert}}}p=\backslash dfrac\{\backslash text\{Pozentwert\}\}\{\backslash text\{Grundwert\}\}$

Grundwert ist die Anzahl der Elektroautos im Jahr 2018.

Prozentwert ist die Anzahl der Elektroautos im Jahr 2019.

$p={\displaystyle \frac{83000}{54000}}\approx \mathrm{1,537}p=\backslash dfrac\{83\backslash ,000\}\{54\backslash ,000\}\backslash approx\; 1\{,\}537$

Die Anzahl der Elektroautos im Jahr 2018 entsprechen $100\mathrm{\%}100\backslash \%$. Im Vergleich zu 2019 ist diese Anzahl um etwa $\mathrm{53,7}\mathrm{\%}53\{,\}7\backslash \%$ gestiegen.

Der Prozentwert $WW$ gibt an, wie viele Elektroautos es im Jahr 2022 gab. Er berechnet sich mit der Formel

$W=\text{Prozentsatz}\cdot \text{Grundwert}W=\backslash text\{Prozentsatz\}\backslash cdot\backslash text\{Grundwert\}$

$W=\mathrm{0,013}\cdot 48500000=630500W=0\{,\}013\backslash cdot\; 48\backslash ,500\backslash ,000=630\backslash ,500$

Im Jahr 2022 gab es $630500630\backslash ,500$ Elektroautos.

Da $630500<1000000630\backslash ,500\backslash lt\; 1\backslash ,000\backslash ,000$ ist das Ziel der Bundesregierung nicht erfüllt..

Berechnung der Werte durch Einsetzen in die Funktionsgleichung

Zeichne die Werte aus der Tabelle in ein Koordinatensystem und zeichne den Graphen.

Berechnung der Nullstellen

Zur Berechnung der Nullstellen der Funktion muss man die $xx$-Werte finden, für die $f(x)=0f(x)=0$ ist.

Da hier eine quadratische Gleichung vorliegt, kann man die Nullstellen mit der Mitternachtsformel bestimmen.

Die gesamte Breite des Fensters von der Spitze der linken Scheibe bis zur Spitze der rechten Scheibe beträgt $160\text{ cm}160\backslash cm$.

Der Holm zwischen den Scheiben misst $8\text{ cm}8\backslash cm$.

Beide Scheiben sind gleich groß.

Die Breite einer Scheibe kann damit berechnet werden.

${\displaystyle \frac{160-8}{2}}=76\backslash dfrac\{160-8\}\{2\}=76$

Die Breite einer Scheibe beträgt $76\text{ cm}76\backslash cm$.

Die Scheibe bildet ein rechtwinkliges Dreieck. Von diesem Dreieck ist die Hypotenuse und eine Kathete bekannt.

Mithilfe des Satzes von Pythagoras kann die Länge der zweiten Kathete berechnet werden.

Satz des Pythagoras

$a^2+b^2=c^{2}a^2+b^2=c^2$

Werte einsetzen

${76}^2+h^2={108}^2{h}^2={108}^2-{76}^{2}h=\sqrt{{108}^2-{76}^2}h\approx \mathrm{76,73}76^2+h^2=108^2\; \backslash \backslash \; h^2=108^2-76^2\; \backslash \backslash \; h=\backslash sqrt\{108^2-76^2\}\; \backslash \backslash \; h\backslash approx\; 76\{,\}73$

Die Höhe $hh$ der Scheibe beträgt ca. $\mathrm{76,73}\text{ cm}76\{,\}73\backslash cm$.

Da die Scheibe ein rechtwinkliges Dreieck bildet, kann der Flächeninhalt $AA$ nach folgender Formel berechnet werden.

$A={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot {\text{Kathete}}_1\cdot {\text{Kathete}}_{2}A=\backslash dfrac\{1\}\{2\}\backslash cdot\; \backslash text\{Kathete\}\_1\; \backslash cdot\; \backslash text\{Kathete\}\_2$

$A={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot 76\cdot \mathrm{76,73}A=\backslash dfrac\{1\}\{2\}\backslash cdot\; 76\; \backslash cdot\; 76\{,\}73$

$A=\mathrm{2915,74}A=2915\{,\}74$

Die Fläche der Glasscheibe beträgt $\mathrm{2915,74}{\text{ cm}}^{2}2915\{,\}74\backslash cm^2$.

Der obere Rand der Schultüte bildet einen Kreis.

Der Kreisumfang $UU$ beträgt:

$U=2\cdot \pi \cdot rU=2\backslash cdot\backslash pi\backslash cdot\; r$

Der Radius des Kreises ist in der Aufgabe gegeben mit $r=12r=12$

$U=2\cdot \pi \cdot 12\approx \mathrm{75,4}U=2\backslash cdot\backslash pi\backslash cdot\; 12\backslash approx\; 75\{,\}4$

Die Länge des Bandes beträgt $\approx \mathrm{75,40}\text{ cm}\backslash approx\; 75\{,\}40\backslash cm$

Volumen des Kegels mit Grundfläche $GG$

$V_{\text{Kegel}}={\displaystyle \frac{1}{3}}\cdot G\cdot h={\displaystyle \frac{1}{3}}\cdot r^2\cdot \pi \cdot hV\_\{\backslash text\{Kegel\}\}=\backslash dfrac\{1\}\{3\}\backslash cdot\; G\backslash cdot\; h\; =\backslash dfrac\{1\}\{3\}\backslash cdot\; r^2\; \backslash cdot\backslash pi\backslash cdot\; h$

Berechnung der Höhe $h_{K}h\_K$

In der Aufgabe ist gegeben:

$V_{\text{Kegel}}=11310{\text{ cm}}^{3}V\_\{\backslash text\{Kegel\}\}=11\backslash ,310\backslash cm^3$

$r=12\text{ cm}r=12\backslash cm$

Die Höhe der Schultüte beträgt $75\text{ cm}75\backslash cm$.

Die Höhe $h_{K}h\_K$, der Radius $rr$ und die Seite der Schultüte bilden ein rechtwinkliges Dreieck.

Dabei ist die Seite der Schultüte die Hypotenuse $cc$ des rechtwinkligen Dreiecks.

Die Höhe $h_{K}h\_K$ ist die Ankathete.

Der Radius $rr$ ist die Kathete.

Berechnung der Hypotenuse

Mit dem Satz des Pythagoras kann jetzt die Hypotenuse berechnet werden.

$c^2=(h_K{)}^2+r^{2}c^2=(h\_K)^2+r^2$

$c^2={75}^2+{12}^2=5769c^2=75^2+12^2=5769$

$c=\sqrt{5769}\approx \mathrm{75,95}c=\backslash sqrt\{5769\}\backslash approx\; 75\{,\}95$

Berechnung des Winkels

Die Höhe $h_{K}h\_K$ teilt den Winkel $\alpha \backslash alpha$ in zwei gleich große Hälften. Mithilfe einer trigonometrischen Gleichung kann jetzt der Winkel $\frac{\alpha }{2}\backslash frac\{\backslash alpha\}\{2\}$ berechnet werden.

$\sin (\frac{\alpha }{2})={\displaystyle \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotnuse}}}\backslash sin(\backslash frac\{\backslash alpha\}\{2\})=\; \backslash dfrac\{\backslash text\{Gegenkathete\}\}\{\backslash text\{Hypotnuse\}\}$

$\sin (\frac{\alpha }{2})={\displaystyle \frac{12}{\mathrm{75,95}}}\backslash sin(\backslash frac\{\backslash alpha\}\{2\})=\; \backslash dfrac\{12\}\{75\{,\}95\}$

$\frac{\alpha }{2}={\mathrm{9,09}}^{\circ }\Rightarrow \alpha ={\mathrm{18,18}}^{\circ }\backslash frac\{\backslash alpha\}\{2\}=\; 9\{,\}09^\backslash circ\; \backslash Rightarrow\; \backslash alpha=18\{,\}18^\backslash circ$

Der Winkel $\alpha \backslash alpha$ hat eine Größe von ${\mathrm{18,18}}^{\circ }18\{,\}18^\backslash circ$