B1 - lernen mit Serlo!

Aufgabe 4

Die Aufgabe 4 ist eine Fortsetzung der Aufgabe 1.

Die Funktion $f$ ist gegeben durch die Gleichung $f(x)=10\cdot(x−1)\cdot \mathrm{e}^{−x}$ .

Die 1. Ableitung ist $f'(x)=10\cdot(2−x)\cdot \mathrm{e}^{−x}$ .

Die Gerade mit der Gleichung $y = x$ wird als "1. Winkelhalbierende" bezeichnet. Es gibt genau einen Punkt $R$ auf dem Graphen von $f$ , in dem die Tangente $t_{R}$ an den Graphen von $f$ parallel zur 1. Winkelhalbierenden ist.

Ermitteln Sie rechnerisch eine Gleichung für die Tangente $t_{R}$ .
$[$ Mögliche Lösung: Falls man auf vier Stellen nach dem Komma rundet, ergibt sich für die Tangente $t_{R}$ als Gleichung $y = x - 0,3823$ . $]$ (4 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Tangente an Graph
Ermittle rechnerisch eine Gleichung für die Tangente $t_{R}$
Bekannt ist, dass die Tangente $t_{R}$ an den Graphen von $f$ parallel zur 1. Winkelhalbierenden ist $\;\Rightarrow\;m_t=1\;\Rightarrow\;t_R: y=1\cdot x+b$ .
Gesucht ist nun eine Stelle $x_{t}$ an der $f^{'} (x_{t}) = 1$ ist:
Löse die Gleichung $10\cdot(2−x_t)\cdot \mathrm{e}^{−x_t}=1$ .
Der CAS-Rechner liefert als Lösung $x_t\approx1{,}5355924...$ .
Berechne $f(x_t)=f(1{,}5356)\approx1{,}1532885...\;\Rightarrow\;R(1{,}5356\mid 1{,}1533)$ .
Setze die Koordinaten von $R$ in $t_{R} : y = x + b$ ein:
$t_R: 1{,}1533= 1{,}5356+b\;\Rightarrow\;b=1{,}1533-1{,}5356=-0{,}3823$
Die Tangentengleichung lautet $t_R: y= x-0{,}3823$ .
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Bekannt ist, dass die Tangente $t_{R}$ an den Graphen von $f$ parallel zur 1. Winkelhalbierenden ist. Welche Steigung hat dann die Tangente? $\;\Rightarrow\;m_t$
Gesucht ist eine Stelle $x_{t}$ an der $f^{'} (x_{t}) = m_{t}$ ist.
Der CAS-Rechner liefert als Lösung dieser Gleichung einen Wert $x_{t}$ .
Berechne $f(x_t)=y_t\;\Rightarrow\;R(x_t\mid y_t)$ .
Setze die Koordinaten von $R$ in $t_R: y= m_t\cdot x+b$ ein und löse nach $b$ auf.
Die Gerade mit der Gleichung $y = - x$ wird als "2. Winkelhalbierende" bezeichnet.
Bestimmen Sie den Schnittpunkt der Tangente $t_{R}$ mit der 2. Winkelhalbierenden.
(2 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Berechnung des Schnittpunkts zweier Geraden
Bestimme den Schnittpunkt der Tangente $t_{R}$ mit der 2. Winkelhalbierenden
Gegeben sind $t_R: y= x-0{,}3823$ und $y = - x$ .
Für die Berechnung des Schnittpunktes löse die Gleichung $x - 0,3823 = - x$ nach $x$ auf $\Rightarrow\;2x=0{,}3823\;\Rightarrow\;x\approx0{,}1912$ .
Setze $x = 0,1912$ in $t_{R} (x)$ ein $\;\Rightarrow\;y=0{,}1912-0{,}3823\approx-0{,}1912$
Der Schnittpunkt $S$ der Tangente $t_{R}$ mit der 2. Winkelhalbierenden hat die Koordinaten $S(0{,}1912\mid -0{,}1912)$ .
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Gegeben sind die Tangentengleichung $t_{R}$ und die Gleichung der 2. Winkelhalbierenden $y = - x$ .
Für die Berechnung des Schnittpunktes löse die Gleichung $t_R=y\;\Rightarrow\;x_1$
Setze $x_{1}$ in $t_{R} (x)$ ein $\;\Rightarrow\;y_1\;\Rightarrow\;S(x_1\mid y_1)$ .
Ermitteln Sie rechnerisch den Abstand, den die Tangente $t_{R}$ von der 1. Winkelhalbierenden hat. (2 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Abstand zweier Punkte berechnen
Ermittle rechnerisch den Abstand, den die Tangente $t_{R}$ von der 1. Winkelhalbierenden hat
Die 1. Winkelhalbierende verläuft durch den Koordinatenursprung.
Die 2. Winkelhalbierende steht im Koordinatenursprung senkrecht auf der 1. Winkelhalbierenden.
Der Schnittpunkt $S$ der Tangente $t_{R}$ mit der 2. Winkelhalbierenden hat die Koordinaten $S(0{,}1912\mid -0{,}1912)$ .
Gesucht ist also der Abstand von $S$ zum Koordinatenursprung:
$d=|\overrightarrow{OS}|=\sqrt{(0{,}1912-0)^2+(-0{,}1912-0)^2}\approx0{,}2704$
Der Abstand, den die Tangente $t_{R}$ von der 1. Winkelhalbierenden hat, beträgt rund $0{,}2704\;\mathrm{LE}$ .
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Bekannt ist der Schnittpunkt $S(x_1\mid y_1)$ .
Bestimme den Abstand des Schnittpunktes vom Koordinatenursprung, d.h. den Betrag des Vektors $\overrightarrow{OS}$ .

Diese Aufgabe stammt vom Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen → Was bedeutet das?

Aufgabe 4

Ermittle rechnerisch eine Gleichung für die Tangente tRt_{R}tR​

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Bestimme den Schnittpunkt der Tangente tRt_{R}tR​ mit der 2. Winkelhalbierenden

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Ermittle rechnerisch den Abstand, den die Tangente tRt_{R}tR​ von der 1. Winkelhalbierenden hat

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Ermittle rechnerisch eine Gleichung für die Tangente $t_{R}$

Bestimme den Schnittpunkt der Tangente $t_{R}$ mit der 2. Winkelhalbierenden

Ermittle rechnerisch den Abstand, den die Tangente $t_{R}$ von der 1. Winkelhalbierenden hat