B1 - lernen mit Serlo!

Aufgabe 4

Die Aufgabe 4 ist eine Fortsetzung der Aufgabe 1.

Die Funktion $f$ ist gegeben durch die Gleichung $f (x) = 10 \cdot (x - 1) \cdot e^{- x}$ .

Die 1. Ableitung ist $f^{'} (x) = 10 \cdot (2 - x) \cdot e^{- x}$ .

Die Gerade mit der Gleichung $y = x$ wird als "1. Winkelhalbierende" bezeichnet. Es gibt genau einen Punkt $R$ auf dem Graphen von $f$ , in dem die Tangente $t_{R}$ an den Graphen von $f$ parallel zur 1. Winkelhalbierenden ist.

Ermitteln Sie rechnerisch eine Gleichung für die Tangente $t_{R}$ .
$[$ Mögliche Lösung: Falls man auf vier Stellen nach dem Komma rundet, ergibt sich für die Tangente $t_{R}$ als Gleichung $y = x - 0,3823$ . $]$ (4 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Tangente an Graph
Ermittle rechnerisch eine Gleichung für die Tangente $t_{R}$
Bekannt ist, dass die Tangente $t_{R}$ an den Graphen von $f$ parallel zur 1. Winkelhalbierenden ist $\Rightarrow m_{t} = 1 \Rightarrow t_{R} : y = 1 \cdot x + b$ .
Gesucht ist nun eine Stelle $x_{t}$ an der $f^{'} (x_{t}) = 1$ ist:
Löse die Gleichung $10 \cdot (2 - x_{t}) \cdot e^{- x_{t}} = 1$ .
Der CAS-Rechner liefert als Lösung $x_{t} \approx 1,5355924...$ .
Berechne $f (x_{t}) = f (1,5356) \approx 1,1532885... \Rightarrow R (1,5356 | 1,1533)$ .
Setze die Koordinaten von $R$ in $t_{R} : y = x + b$ ein:
$t_{R} : 1,1533 = 1,5356 + b \Rightarrow b = 1,1533 - 1,5356 = - 0,3823$
Die Tangentengleichung lautet $t_{R} : y = x - 0,3823$ .
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Bekannt ist, dass die Tangente $t_{R}$ an den Graphen von $f$ parallel zur 1. Winkelhalbierenden ist. Welche Steigung hat dann die Tangente? $\Rightarrow m_{t}$
Gesucht ist eine Stelle $x_{t}$ an der $f^{'} (x_{t}) = m_{t}$ ist.
Der CAS-Rechner liefert als Lösung dieser Gleichung einen Wert $x_{t}$ .
Berechne $f (x_{t}) = y_{t} \Rightarrow R (x_{t} | y_{t})$ .
Setze die Koordinaten von $R$ in $t_{R} : y = m_{t} \cdot x + b$ ein und löse nach $b$ auf.
Die Gerade mit der Gleichung $y = - x$ wird als "2. Winkelhalbierende" bezeichnet.
Bestimmen Sie den Schnittpunkt der Tangente $t_{R}$ mit der 2. Winkelhalbierenden.
(2 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Berechnung des Schnittpunkts zweier Geraden
Bestimme den Schnittpunkt der Tangente $t_{R}$ mit der 2. Winkelhalbierenden
Gegeben sind $t_{R} : y = x - 0,3823$ und $y = - x$ .
Für die Berechnung des Schnittpunktes löse die Gleichung $x - 0,3823 = - x$ nach $x$ auf $\Rightarrow 2 x = 0,3823 \Rightarrow x \approx 0,1912$ .
Setze $x = 0,1912$ in $t_{R} (x)$ ein $\Rightarrow y = 0,1912 - 0,3823 \approx - 0,1912$
Der Schnittpunkt $S$ der Tangente $t_{R}$ mit der 2. Winkelhalbierenden hat die Koordinaten $S (0,1912 | - 0,1912)$ .
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Gegeben sind die Tangentengleichung $t_{R}$ und die Gleichung der 2. Winkelhalbierenden $y = - x$ .
Für die Berechnung des Schnittpunktes löse die Gleichung $t_{R} = y \Rightarrow x_{1}$
Setze $x_{1}$ in $t_{R} (x)$ ein $\Rightarrow y_{1} \Rightarrow S (x_{1} | y_{1})$ .
Ermitteln Sie rechnerisch den Abstand, den die Tangente $t_{R}$ von der 1. Winkelhalbierenden hat. (2 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Abstand zweier Punkte berechnen
Ermittle rechnerisch den Abstand, den die Tangente $t_{R}$ von der 1. Winkelhalbierenden hat
Die 1. Winkelhalbierende verläuft durch den Koordinatenursprung.
Die 2. Winkelhalbierende steht im Koordinatenursprung senkrecht auf der 1. Winkelhalbierenden.
Der Schnittpunkt $S$ der Tangente $t_{R}$ mit der 2. Winkelhalbierenden hat die Koordinaten $S (0,1912 | - 0,1912)$ .
Gesucht ist also der Abstand von $S$ zum Koordinatenursprung:
$d = | \vec{O S} | = \sqrt{(0,1912 - 0)^{2} + (- 0,1912 - 0)^{2}} \approx 0,2704$
Der Abstand, den die Tangente $t_{R}$ von der 1. Winkelhalbierenden hat, beträgt rund $0,2704 LE$ .
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Bekannt ist der Schnittpunkt $S (x_{1} | y_{1})$ .
Bestimme den Abstand des Schnittpunktes vom Koordinatenursprung, d.h. den Betrag des Vektors $\vec{O S}$ .

Diese Aufgabe stammt vom Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen → Was bedeutet das?

Aufgabe 4

Ermittle rechnerisch eine Gleichung für die Tangente tR

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Bestimme den Schnittpunkt der Tangente tR mit der 2. Winkelhalbierenden

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Ermittle rechnerisch den Abstand, den die Tangente tR von der 1. Winkelhalbierenden hat

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Ermittle rechnerisch eine Gleichung für die Tangente $t_{R}$

Bestimme den Schnittpunkt der Tangente $t_{R}$ mit der 2. Winkelhalbierenden

Ermittle rechnerisch den Abstand, den die Tangente $t_{R}$ von der 1. Winkelhalbierenden hat