Begründe, dass $x=1x=1$ die einzige Nullstelle von $ff$ ist

Gegeben ist $f(x)=10\cdot (x-1)\cdot {\mathrm{e}}^{-x}f(x)=10\; \backslash cdot(x-1)\; \backslash cdot\; \backslash mathrm\{e\}^\{-x\}$.

Für die Nullstellen löse die Gleichung $f(x)=0f(x)=0$.

$0=10\cdot (x-1)\cdot {\mathrm{e}}^{-x}0=10\; \backslash cdot(x-1)\; \backslash cdot\; \backslash mathrm\{e\}^\{-x\}$

Weil ${\mathrm{e}}^{-x}\mathrm{\ne }0\backslash mathrm\{e\}^\{-x\}\backslash neq\; 0$ für alle $x\in \mathbb{R}x\; \backslash in\; \backslash mathbb\{R\}$ folgt mit dem Satz vom Nullprodukt:

$\Rightarrow x-1=0\Rightarrow x=1\backslash Rightarrow\backslash ;x-1=0\backslash ;\backslash Rightarrow\backslash ;x=1$

Demnach ist $x=1x=1$ die einzige Nullstelle.

Zeige: $f^{\mathrm{\prime }}(x)=10\cdot (2-x)\cdot {\mathrm{e}}^{-x}f^\{\backslash prime\}(x)=10\; \backslash cdot(2-x)\; \backslash cdot\; \backslash mathrm\{e\}^\{-x\}$

Bilde mithilfe der Produkt- und Kettenregel die 1. Ableitung:

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=10\cdot (1\cdot e^{-x}+(x-1)\cdot e^{-x}\cdot (-1))=10\cdot (2-x)\cdot e^{-x}f\text{'}(x)=10\backslash cdot(1\backslash cdot\; e^\{-x\}+(x-1)\backslash cdot\; e^\{-x\}\backslash cdot\; (-1))=10\backslash cdot(2-x)\backslash cdot\; e^\{-x\}$

Die erste Ableitung ist $f^{\mathrm{\prime }}(x)=10\cdot (2-x)\cdot e^{-x}f\text{'}(x)=10\backslash cdot(2-x)\backslash cdot\; e^\{-x\}$.

Untersuche $ff$ rechnerisch auf lokale Extremstellen

Die erste Ableitung ist $f^{\mathrm{\prime }}(x)=10\cdot (2-x)\cdot e^{-x}f\text{'}(x)=10\backslash cdot(2-x)\backslash cdot\; e^\{-x\}$.

Die notwendige Bedingung für ein Extremum ist $f^{\mathrm{\prime }}(x)=0f\text{'}(x)=0$.

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=0\Rightarrow 0=10\cdot (2-x)\cdot e^{-x}f\text{'}(x)=0\backslash ;\backslash Rightarrow\backslash ;0\; =10\backslash cdot(2-x)\backslash cdot\; e^\{-x\}$

Weil ${\mathrm{e}}^{-x}\mathrm{\ne }0\backslash mathrm\{e\}^\{-x\}\backslash neq\; 0$ für alle $x\in \mathbb{R}x\; \backslash in\; \backslash mathbb\{R\}$ folgt mit dem Satz vom Nullprodukt:

$2-x=0\Rightarrow x=22-x=0\backslash ;\backslash Rightarrow\backslash ;x=2$

Die hinreichende Bedingung für ein Extremum ist $f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)\mathrm{\ne }0f\text{'}\text{'}(x)\backslash neq\; 0$.

Bilde mithilfe der Produkt- und Kettenregel die 2. Ableitung:

$f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)=10\cdot ((-1)\cdot e^{-x}+(2-x)\cdot e^{-x}\cdot (-1))=10\cdot (x-3)\cdot e^{-x}f\text{'}\text{'}(x)=10\backslash cdot\backslash left((-1)\backslash cdot\; e^\{-x\}+(2-x)\backslash cdot\; e^\{-x\}\backslash cdot\; (-1)\backslash right)=10\backslash cdot(x-3)\backslash cdot\; e^\{-x\}$

Die Funktion $ff$ hat genau eine lokale Extremstelle.

Der Graph von $ff$ hat bei $x=2x=2$ ein lokales Maximum.