Begründe, dass $x=1$ die einzige Nullstelle von $f$ ist

Gegeben ist $f(x)=10\cdot (x-1)\cdot {\mathrm{e}}^{-x}$.

Für die Nullstellen löse die Gleichung $f(x)=0$.

$0=10\cdot (x-1)\cdot {\mathrm{e}}^{-x}$

Weil ${\mathrm{e}}^{-x}\ne 0$ für alle $x\in ℝ$ folgt mit dem Satz vom Nullprodukt:

$\Rightarrow x-1=0\Rightarrow x=1$

Demnach ist $x=1$ die einzige Nullstelle.

Zeige: $f^{\prime }(x)=10\cdot (2-x)\cdot {\mathrm{e}}^{-x}$

Bilde mithilfe der Produkt- und Kettenregel die 1. Ableitung:

$f^{\prime }(x)=10\cdot (1\cdot e^{-x}+(x-1)\cdot e^{-x}\cdot (-1))=10\cdot (2-x)\cdot e^{-x}$

Die erste Ableitung ist $f^{\prime }(x)=10\cdot (2-x)\cdot e^{-x}$.

Untersuche $f$ rechnerisch auf lokale Extremstellen

Die erste Ableitung ist $f^{\prime }(x)=10\cdot (2-x)\cdot e^{-x}$.

Die notwendige Bedingung für ein Extremum ist $f^{\prime }(x)=0$.

$f^{\prime }(x)=0\Rightarrow 0=10\cdot (2-x)\cdot e^{-x}$

Weil ${\mathrm{e}}^{-x}\ne 0$ für alle $x\in ℝ$ folgt mit dem Satz vom Nullprodukt:

$2-x=0\Rightarrow x=2$

Die hinreichende Bedingung für ein Extremum ist $f^{\prime \prime }(x)\ne 0$.

Bilde mithilfe der Produkt- und Kettenregel die 2. Ableitung:

$f^{\prime \prime }(x)=10\cdot ((-1)\cdot e^{-x}+(2-x)\cdot e^{-x}\cdot (-1))=10\cdot (x-3)\cdot e^{-x}$

$f^{\prime \prime }(2)=10\cdot (2-3)\cdot e^{-2}=-10\cdot e^{-2}<0$

Die Funktion $f$ hat genau eine lokale Extremstelle.

Der Graph von $f$ hat bei $x=2$ ein lokales Maximum.