Geometrie, Teil B, Aufgabengruppe 1

Gegeben sind die Punkte $A (30 | - 5 | - 12), B (30 | 13 | 0), C (- 30 | 13 | 0)$ und $D (- 30 | - 5 | - 12)$ , die in der Ebene $E$ liegen.

Begründen Sie, dass das Viereck $A B C D$ ein Rechteck ist. (3 BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Rechteck
Begründe, dass das Viereck $A B C D$ ein Rechteck ist
Berechne die Vektoren:
$\vec{A B} = \vec{O B} - \vec{O A} = (\begin{array}{c} 30 \\ 13 \\ 0 \end{array}) - (\begin{array}{c} 30 \\ - 5 \\ - 12 \end{array}) = (\begin{array}{c} 0 \\ 18 \\ 12 \end{array})$
$\vec{D C} = \vec{O C} - \vec{O D} = (\begin{array}{c} - 30 \\ 13 \\ 0 \end{array}) - (\begin{array}{c} - 30 \\ - 5 \\ - 12 \end{array}) = (\begin{array}{c} 0 \\ 18 \\ 12 \end{array})$
1. $\Rightarrow \vec{A B} = \vec{D C} \Rightarrow \vec{A B} ∥ \vec{D C}$
$\vec{A D} = \vec{O D} - \vec{O A} = (\begin{array}{c} - 30 \\ - 5 \\ - 12 \end{array}) - (\begin{array}{c} 30 \\ - 5 \\ - 12 \end{array}) = (\begin{array}{c} - 60 \\ 0 \\ 0 \end{array})$
$\vec{B C} = \vec{O C} - \vec{O B} = (\begin{array}{c} - 30 \\ 13 \\ 0 \end{array}) - (\begin{array}{c} 30 \\ 13 \\ 0 \end{array}) = (\begin{array}{c} - 60 \\ 0 \\ 0 \end{array})$
2. $\Rightarrow \vec{A D} = \vec{B C} \Rightarrow \vec{A D} ∥ \vec{B C}$
3. Weiterhin gilt: $| \vec{A B} | \neq | \vec{A D} |$ (d.h. es kann kein Quadrat sein.)
4. Außerdem ist $\vec{A B} \circ \vec{A D} = (\begin{array}{c} 0 \\ 18 \\ 12 \end{array}) \circ (\begin{array}{c} - 60 \\ 0 \\ 0 \end{array}) = 0 + 0 + 0 = 0$
$\Rightarrow$ Die beiden Vektoren stehen senkrecht aufeinander, d.h. der eingeschlossene Winkel ist $90^{°}$ .
Die 4 nachgewiesenen Eigenschaften zeigen, dass es sich um ein Rechteck handelt.
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Berechne die Vektoren $\vec{A B}$ und $\vec{D C}$ , sowie $\vec{A D}$ und $\vec{B C}$ und vergleiche.
Betrachte außerdem die Beträge der berechneten Vektoren.
Zeige, dass $2$ Vektoren senkrecht aufeinander stehen.
Bestimmen Sie eine Gleichung von $E$ in Koordinatenform und geben Sie die
besondere Lage von $E$ im Koordinatensystem an.
(zur Kontrolle: $E : 2 x_{2} - 3 x_{3} - 26 = 0$ ) (4 BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ebene von Parameterform in Koordinatenform umwandeln
Bestimme eine Gleichung von $E$ in Koordinatenform
Berechne zunächst den Vektor $\vec{A C} = \vec{O C} - \vec{O A} = (\begin{array}{c} - 30 \\ 13 \\ 0 \end{array}) - (\begin{array}{c} 30 \\ - 5 \\ - 12 \end{array}) = (\begin{array}{c} - 60 \\ 18 \\ 12 \end{array})$
$E_{A B C} : \vec{x} = \vec{O A} + r \cdot \vec{A B} + s \cdot \vec{A C} = (\begin{array}{c} 30 \\ - 5 \\ - 12 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 0 \\ 18 \\ 12 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{c} - 60 \\ 18 \\ 12 \end{array})$
Wandle die Parameterform in die Koordinatenform um.
Berechne den Normalenvektor $\vec{n} = (\begin{array}{c} 0 \\ 18 \\ 12 \end{array}) \times (\begin{array}{c} - 60 \\ 18 \\ 12 \end{array}) = (\begin{array}{c} 0 \\ - 720 \\ 1080 \end{array})$
$\Rightarrow {\vec{n}}_{E} = \frac{1}{360} \cdot (\begin{array}{c} 0 \\ - 720 \\ 1080 \end{array}) = (\begin{array}{c} 0 \\ - 2 \\ 3 \end{array})$
$\Rightarrow E_{A B C} : (\begin{array}{c} 0 \\ - 2 \\ 3 \end{array}) \circ [(\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{array}) - (\begin{array}{c} 30 \\ - 5 \\ - 12 \end{array})] = 0$
Multipliziere das Skalarprodukt aus:
$E : - 2 x_{1} + 3 x_{2} - (0 + 10 - 36) = 0 \Rightarrow E : - 2 x_{2} + 3 x_{3} + 26 = 0$
Mit $(- 1)$ multipliziert folgt: $E : 2 x_{2} - 3 x_{3} - 26 = 0 ✓$
Gib die besondere Lage von $E$ im Koordinatensystem an
Die Ebene $E$ verläuft parallel zur $x_{1} -$ Achse.
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Teil 1
Erstelle eine Ebenengleichung in Parameterform $E_{A B C} : \vec{x} = \vec{O A} + r \cdot \vec{A B} + s \cdot \vec{A C}$ und wandle sie dann in die Koordinatenform um.
Teil 2
Eine Ebene ist parallel zu einer Koordinatenachse, wenn die Koordinate dieser Achse in der Ebenengleichung fehlt.
Bestimmen Sie die Größe $φ$ des Winkels, den $E$ mit der $x_{1} x_{2}$ $-$ Ebene einschließt.
(zur Kontrolle: $φ \approx 33,7 °$ ⁣) (3 BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Schnittwinkel in der analytischen Geometrie
Bestimme die Größe $φ$ des Winkels, den $E$ mit der $x_{1} x_{2}$ $-$ Ebene einschließt
Für den Winkel gilt:
$\cos φ = \frac{| \vec{n} \circ \vec{m} |}{| \vec{n} | \cdot | \vec{m} |}$
Dabei ist $\vec{n} = (\begin{array}{c} 0 \\ - 2 \\ 3 \end{array})$ der Normalenvektor der Ebene $E$ und $\vec{m} = (\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array})$ der Normalenvektor der $x_{1} x_{2} -$ Ebene.
$| \vec{n} | = \sqrt{0^{2} + (- 2)^{2} + 3^{2}} = \sqrt{13}$ und $| \vec{n} | = \sqrt{0^{2} + 0^{2} + 1^{2}} = \sqrt{1} = 1$
$\Rightarrow \cos φ = \frac{| \vec{𝐧} \circ \vec{𝐦} |}{| \vec{𝐧} | \cdot | \vec{𝐦} |} = \frac{| 0 + 0 + 3 |}{\sqrt{13} \cdot 1} = \frac{3}{\sqrt{13}}$
$φ = \cos^{- 1} (\frac{3}{\sqrt{13}}) \approx {33,7}^{°} ✓$
Die Größe $φ$ des Winkels, den $E$ mit der $x_{1} x_{2}$ $-$ Ebene einschließt, beträgt rund ${33,7}^{°}$ .
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Für den Winkel gilt: $\cos φ = \frac{| \vec{𝐧} \circ \vec{𝐦} |}{| \vec{𝐧} | \cdot | \vec{𝐦} |}$ .
Dabei ist $\vec{n}$ der Normalenvektor der Ebene $E$ und $\vec{m} = (\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array})$ der Normalenvektor der $x_{1} x_{2} -$ Ebene.
Im Folgenden wird ein Sperrwerk an einem Fluss betrachtet, das dem Schutz
vor Überflutungen bei Sturmfluten dient. Ein Teil dieses Sperrwerks besteht aus zwei kreisförmigen Metallscheiben, an denen ein Sperrtor befestigt ist.
Durch Drehung der Metallscheiben wird das Sperrtor in verschiedene Stellungen gebracht.
In einem Koordinatensystem werden die beiden Metallscheiben durch die Grund- und Deckfläche eines geraden Zylinders dargestellt. Die $x_{1}$ -Achse verläuft durch die Mittelpunkte dieser beiden Kreisflächen und entspricht der Drehachse der Metallscheiben.
Die Ebene E schneidet den Zylinder im Rechteck $A B C D$ und zerlegt diesen in zwei Teilkörper. Der kleinere Teilkörper entspricht dem Sperrtor in einer speziellen Stellung (vgl. Abbildung 1). Eine Längeneinheit entspricht einem Meter in der Realität.
Es wird vereinfachend ausschließlich ein Wasserstand betrachtet, bei dem die
Wasseroberfläche im Modell in der $x_{1} x_{2}$ -Ebene liegt.
Geben Sie den Durchmesser einer Metallscheibe und den Abstand der
beiden Metallscheiben jeweils in Metern an. (2 BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Vektor
Gib den Durchmesser einer Metallscheibe in Metern an
Der Radius der Metallscheibe ist der Abstand des Punktes $C$ zur $x_{1} -$ Achse, d.h. die $x_{2} -$ Koordinate von $C \Rightarrow r = 13$ und $d = 2 \cdot r = 30$ .
Der Durchmesser einer Metallscheibe beträgt $30 m$ .
Gib den Abstand der beiden Metallscheiben in Metern an
Der Abstand ist der Betrag des Vektors $\vec{B C}$ : $| (\begin{array}{c} - 60 \\ 0 \\ 0 \end{array}) | = 60$
Der Abstand der beiden Metallscheiben beträgt $60 m$ .
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Teil 1
Der Radius der Metallscheibe ist der Abstand des Punktes $C$ zur $x_{1} -$ Achse, d.h. die $x_{2} -$ Koordinate von $C$ $\Rightarrow d = 2 \cdot r$ .
Teil 2
Der Abstand ist der Betrag des Vektors $\vec{B C}$ .
Ist das Sperrtor geöffnet, so liegt dessen rechteckige Seitenfläche unterhalb der Wasseroberfläche und ist parallel zu ihr (vgl. Abbildung 2a). Ist das Sperrtor geschlossen, so steht die Seitenfläche senkrecht zur Wasseroberfläche (vgl. Abbildung 2b).
Bei einem Schließvorgang wird das geöffnete Sperrtor durch eine Vierteldrehung der Metallscheiben mit konstanter Geschwindigkeit innerhalb von $15$ Minuten geschlossen.
Zu einem bestimmten Zeitpunkt während des Schließvorgangs befinden sich erstmals Teile des Sperrtors an der Wasseroberfläche. Bestimmen Sie mithilfe des Ergebnisses von Aufgabe $c$ die Zeit, die ab diesem Zeitpunkt bis zum Ende des Schließvorgangs vergeht. (3 BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Dreisatz
Bestimme mithilfe des Ergebnisses von Aufgabe c die Zeit, die ab diesem Zeitpunkt bis zum Ende des Schließvorgangs vergeht
Aus Aufgabe c) folgt: Die Größe $φ$ des Winkels, den $E$ mit der $x_{1} x_{2}$ $-$ Ebene einschließt, beträgt rund ${33,7}^{°}$ .
Wird das geöffnete Sperrtor (d.h. die Ebene $E$ ) um den Winkel $φ$ nach links gedreht, kommt man wieder zur Ausgangslage der Ebene $E$ zurück. Die Kante $B C$ des Sperrtores erreicht dann gerade die Wasseroberfläche.
Da eine Vierteldrehung der Metallscheiben mit konstanter Geschwindigkeit innerhalb von $15$ Minuten erfolgt, wird für die Drehung um $φ$ folgende Zeit benötigt:
$90^{°} \hat{=} 15 \min$
$1^{°} \hat{=} \frac{15}{90} = \frac{1}{6} \min = 10 s$
${33,7}^{°} \hat{=} 33,7 \cdot 10 = 337 s$
Bis zum Ende des Schließvorgangs vergehen dann $900 s - 337 s = 563 s = 9 \min + 23 s$ .
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Aus Aufgabe c) folgt: Die Größe $φ$ des Winkels, den $E$ mit der $x_{1} x_{2}$ $-$ Ebene einschließt, beträgt rund ${33,7}^{°}$ .
Um diesen Winkel muss das Sperrtor wieder zurückgedreht werden.
Wende den Dreisatz an.
Die tiefste Stelle eines Schiffs bewegt sich im Modell auf der Geraden
$g : \vec{x} = (\begin{array}{c} 0 \\ - 17 \\ - 8 \end{array}) + λ \cdot (\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 0 \end{array}), λ \in ℝ$ . Beurteilen Sie anhand einer Rechnung, ob das Schiff das Sperrwerk passieren kann, wenn das Sperrtor geöffnet ist. (5 BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lagebeziehungen von Geraden und Ebenen
Beurteile anhand einer Rechnung, ob das Schiff das Sperrwerk passieren kann, wenn das Sperrtor geöffnet ist
Gegeben ist $E : 2 x_{2} - 3 x_{3} - 26 = 0$ .
Berechne den Abstand der Ebene $E$ zum Koordinatenursprung $O$ mithilfe der Hesseschen Normalenform:
$E_{H N F} : \frac{2 y - 3 z - 26}{\sqrt{2^{2} + 3^{2}}} = 0$
Setze $O (0,0,0)$ in $E_{H N F}$ ein $\Rightarrow d (E, O) = | \frac{0 - 0 - 26}{\sqrt{2^{2} + 3^{2}}} | = \frac{26}{\sqrt{13}} = 2 \cdot \sqrt{13} \approx 7,21$
Wenn das Sperrtor geöffnet ist, dann beträgt der Abstand der Ebene $E$ zum Koordinatenursprung $d \approx 7,21 m$ .
Die Gerade g verläuft parallel zur $x_{2}$ -Achse im Abstand $8 m$ . (Die $x_{3} -$ Koordinate der Geraden $g$ ist $x_{3} = - 8$ .)
Da $7,21 < 8$ ist, kann das Schiff das Sperrwerk nicht passieren, wenn das Sperrtor geöffnet ist.
Die folgende Abbildung ist nicht in der Aufgabenstellung gefordert. Sie dient nur zur Veranschaulichung.
Abstand der Ebene $E$ zum Ursprung
Die Gerade $g$ liegt unterhalb der Ebene $E^{'}$ (orange). Die Ebene $E$ (grün) wurde um den Winkel $33,7 °$ um den Ursprung gedreht, sodass die Ebene $E^{'}$ entstanden ist.
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Wo schneidet die Ebene E die $x_{3} -$ Achse?
Vergleiche mit der $x_{3} -$ Koordinate der Geraden $g$ .

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CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?

Begründe, dass das Viereck ABCD ein Rechteck ist

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Bestimme eine Gleichung von E in Koordinatenform

Gib die besondere Lage von E im Koordinatensystem an

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Bestimme die Größe φ des Winkels, den E mit der x1x2 −Ebene einschließt

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Gib den Durchmesser einer Metallscheibe in Metern an

Gib den Abstand der beiden Metallscheiben in Metern an

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Bestimme mithilfe des Ergebnisses von Aufgabe c die Zeit, die ab diesem Zeitpunkt bis zum Ende des Schließvorgangs vergeht

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Beurteile anhand einer Rechnung, ob das Schiff das Sperrwerk passieren kann, wenn das Sperrtor geöffnet ist

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Begründe, dass das Viereck $A B C D$ ein Rechteck ist

Bestimme eine Gleichung von $E$ in Koordinatenform

Gib die besondere Lage von $E$ im Koordinatensystem an

Bestimme die Größe $φ$ des Winkels, den $E$ mit der $x_{1} x_{2}$ $-$ Ebene einschließt