Bestimme den Term der Funktion $f$ in vollständig faktorisierter Form und zeige durch Rechnung, dass sich die Funktionsgleichung von $f$ auch in folgender Form darstellen lässt: $f(x)=-\mathrm{0,2}{x}^3+\mathrm{2,4}{x}^2-\mathrm{7,2}x$

Ansatz nach den abgelesenen Nullstellen $x_1=0$ und $x_2=6$: $f(x)=a\cdot (x-0)\cdot (x-6{)}^2$

Setze die Koordinaten von $P(1|-5)$ ein:

$-5=a\cdot 1\cdot (1-6{)}^2\Rightarrow -5=25a\Rightarrow a=-{\displaystyle \frac{1}{5}}$

$\Rightarrow f(x)=-{\displaystyle \frac{1}{5}}\cdot x\cdot (x-6{)}^2$

Forme den Funktionsterm mithilfe einer binomischen Formel um:

$f(x)=-{\displaystyle \frac{1}{5}}\cdot x\cdot (x-6{)}^2=-{\displaystyle \frac{1}{5}}\cdot x\cdot (x^2-12x+36)=-{\displaystyle \frac{1}{5}}\cdot x^3+{\displaystyle \frac{12}{5}}{x}^2-{\displaystyle \frac{36}{5}}x$

oder $f(x)=-\mathrm{0,2}{x}^3+\mathrm{2,4}{x}^2-\mathrm{7,2}x✓$

Bestimme die Koordinaten des Punktes, in dem $G_f$ die maximale positive Steigung besitzt

Gegeben ist $f(x)=-\mathrm{0,2}{x}^3+\mathrm{2,4}{x}^2-\mathrm{7,2}x$.

Berechne die 1. und 2. Ableitung von $f$:

$f^{\prime }(x)=-\mathrm{0,6}{x}^2+\mathrm{4,8}x-\mathrm{7,2}$

$f^{\prime \prime }(x)=-\mathrm{1,2}x+\mathrm{4,8}$

Die notwendige Bedingung für einen Wendepunkt ist $f^{\prime \prime }(x)=0$.

$\Rightarrow 0=-\mathrm{1,2}x+\mathrm{4,8}\Rightarrow \mathrm{1,2}x=\mathrm{4,8}\Rightarrow x=4$

Berechne den y-Wert: $f(4)=-\mathrm{0,2}\cdot 4^3+\mathrm{2,4}\cdot 4^2-\mathrm{7,2}\cdot 4=-\mathrm{3,2}$

Es handelt sich um eine einfache Nullstelle der 2. Ableitung$\Rightarrow WP(4|-\mathrm{3,2})$.

Betrachtest Du den Graphen von $f$, dann liegt der Wendepunkt im steigenden Teil des Graphens. Im Wendepunkt hat also $G_f$ die maximalste positive Steigung.

Begründe, weshalb es keine Stelle gibt, für die $f^{\prime }$ ein absolutes Maximum annimmt

Eine ganzrationale Funktion 3. Grades besitzt nur einen Wendepunkt.

Weiterhin gilt: $${\displaystyle \underset{x\to -\infty }{\lim }f(x)=+\infty }$$ und $${\displaystyle \underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=-\infty }$$

Demnach gibt es keine Stelle, an der $f^{\prime }(x)$ ein absolutes Minimum annimmt.

Berechne die Maßzahl seines Flächeninhalts

$${\displaystyle {\int }_0^{6}f(x)\mathrm{d}x={[-\mathrm{0,2}\cdot {\displaystyle \frac{x^4}{4}}+\mathrm{2,4}\cdot {\displaystyle \frac{x^3}{3}}-\mathrm{7,2}\cdot {\displaystyle \frac{x^2}{2}}]}_0^6={[-\mathrm{0,04}\cdot x^4+\mathrm{0,8}\cdot x^3-\mathrm{3,6}\cdot x^2]}_0^6=}$$

$(-\mathrm{0,04}\cdot 6^4+\mathrm{0,8}\cdot 6^3-\mathrm{3,6}\cdot 6^2)-0=-\mathrm{21,6}$

Die Fläche liegt unterhalb der x-Achse $\Rightarrow A=|-\mathrm{21,6}|=\mathrm{21,6}$

Der Flächeninhalt der eingeschlossenen Fläche beträgt $\mathrm{21,6}\mathrm{FE}$.