1 Ăbersicht
Inhalt des Kurses
Du weiĂt bereits, was Vektoren sind. In diesem Kurs lernst du nun, wie man mit ihnen rechnet. Es werden wichtige Begriffe wie Vektorkette oder Skalarmultiplikation eines Vektors eingefĂŒhrt. AuĂerdem lernst du, wie du Vektoren addierst oder subtrahierst.
Vorkenntnisse
Du solltest wissen, was ein Vektor ist. Dies wird im Kurs Vektoren in der Ebene I erklÀrt.
Kursdauer
weniger als eine Stunde
2 Addition (1/2)
Addition auf der Schatzkarte
Gibt es einen Vektor, der den direkten Weg vom Felsen zum Baum beschreibt? Also eine Möglichkeit, ohne den Umweg ĂŒber den Wegweiser, der auf der Schatzkarte eingezeichnet wurde, zu dem Baum zu gelangen?
Ja, denn: Du kannst einfach vom Felsen direkt zum Baum gehen. Wenn du beim Felsen beginnst, ist es egal, ob du erst zum Wegweiser und dann zum Baum oder gleich zum Baum gehst. Beide Wege fĂŒhren zu dem Baum.
Das Ziel, an dem du ankommst, bleibt gleich.

HĂ€ngt man also die Vektoren und aneinander, fĂŒhrt das zu demselben Punkt wie auch der Vektor .
Man kann zwei Vektoren aneinanderhÀngen, indem man sie addiert:
3 Addition (2/2)
Die Addition von zwei Vektoren erfolgt komponentenweise, das heiĂt man zĂ€hlt und zusammen, indem man ihre Koordinaten addiert.
Allgemein
Gegeben:
Gesucht:
Lösung:
Veranschaulichung:
Beispiel
Gegeben:
Gesucht:
Lösung:
Veranschaulichung:
4 KommutativitÀt der Addition
Bei der Addition von Zahlen darf man laut dem Kommutativgesetz die Summanden vertauschen. Dies wendet man nun auf die Lösung der letzten Kursseite an. In der rechten Spalte werden weiterhin dieselben Rechenschritte am Beispiel durchgefĂŒhrt.
Löst man dies nun wieder nach und auf, sieht man, dass man auch bei der Vektoraddition die beiden Summanden vertauschen darf.
Es gilt also auch hier das Kommutativgesetz:
5 Aufgaben zur Addition
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6 Subtraktion (1/2)
Jetzt hast du schon gelernt, wie man Vektoren miteinander addiert. Die Subtraktion funktioniert im Grunde Àhnlich.
Die Subtraktion von zwei Vektoren erfolgt komponentenweise, das heiĂt man zieht von ab, indem man ihre Koordinaten subtrahiert.
Man schreibt:
Komponentenweise, mit und :

Anschaulich kann man sich diese Subtraktion so vorstellen, dass man den Gegenvektor addiert.

7 Subtraktion (2/2)
Beispiel
Man hat die Vektoren
und gegeben.
Du sollst nun die Vektorsubtraktion von und bestimmen. Bilde also die Differenz:
Wie das geometrisch aussieht, siehst du im Bild rechts.

8 Aufgaben zur Subtraktion
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9 Skalarmultiplikation
Man kann Vektoren nicht nur addieren und subtrahieren, sondern auch strecken oder stauchen, d.h. "lĂ€nger oder kĂŒrzer machen". Dies versteht man unter einer Skalarmultiplikation, also der Multiplikation von einem Vektor und einer beliebigen reellen Zahl.
Mathematisch schreibt man das folgendermaĂen:
, wobei .
Die Richtung des Vektors verÀndert sich bis auf das Vorzeichen dabei nicht.
Beispiel
Du hast den Vektor gegeben und möchtest ihn um strecken, also:
Der gestreckte Vektor ist nun also .
Nun kann man andersrum aber auch nachrechnen, ob ein Vektor aus hervorgeht. D.h., wenn man den Vektor gegeben hat und der Vektor aus der Multiplikation von mit hervorgeht. Dazu untersucht man, ob der Vektor aus der Multiplikation von und hervorgeht:
Dann muss man fĂŒr sowohl fĂŒr die - als auch fĂŒr die -Komponente den Wert fĂŒr nachrechnen:
Wenn man fĂŒr beide Gleichungen denselben Wert fĂŒr bekommt, so geht aus hervor.
Falls man jedoch unterschiedliche Werte ausrechnet, so geht keiner der beiden Vektoren aus dem anderen hervor.
Beispiel
PrĂŒfe nach, ob sich der Vektor durch Streckung des Vektors darstellen lĂ€sst.
Du musst also untersuchen, ob sich als schreiben lÀsst.
Du musst nun also den Wert von sowohl fĂŒr die -als auch fĂŒr die -Koordinate bestimmen
FĂŒr die -Komponente gilt:
FĂŒr die -Komponente gilt:
FĂŒr beide Komponenten bekommst du also das gleiche Ergebnis heraus.
Damit lÀsst sich der Vektor durch Streckung von mit dem Faktor erzeugen!
Unten kannst du in dem Applet sehen, wie sich die Darstellung von Vektoren im Koordinatensystem Àndert, wenn man die Vektoren streckt oder staucht.
Bewege den blauen Punkt an der Spitze des Vektors , um verschiedene Vektoren zu betrachten. Verschiebe den roten Punkt k auf dem Schieberegler, um den Vektor um den Faktor k zu strecken oder zu stauchen. Der rote Vektor stellt dann den gestreckten bzw. gestauchten Vektor dar.
10 Aufgaben zur Skalarmultiplikation
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11 Vektorkette
Durch Kombination der Operationen Addition, Subtraktion und Skalarmultiplikation können neue Vektoren gebildet werden. Man spricht dabei von einer sog. Vektorkette bzw. Linearkombination.
Beispiel
Der Vektor lÀsst sich als Vektorkette der Vektoren und darstellen:

Ein Spezialfall davon ist die geschlossene Vektorkette, bei der die Spitze des letzten Vektors wieder auf den FuĂ des ersten trifft; insgesamt ergibt sie somit egal, welche Vektoren darin vorkommen den Nullvektor.
Im obigen Beispiel können die drei Vektoren , und folgendermaĂen als geschlossene Vektorkette geschreiben werden:
12 Aufgaben zur Vektorkette
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13 Zusammenfassung
Mit Vektoren kann man (Ă€hnlich wie mit normalen Zahlen) bestimmte Rechenoperationen durchfĂŒhren:
Addition
Zwei Vektoren werden addiert, indem man ihre Koordinaten addiert:

Subtraktion
Zwei Vektoren werden subtrahiert, indem man ihre Koordinaten subtrahiert:

Skalarmultiplikation
Man multipliziert einen Vektor mit einer Zahl (="Skalar"), indem man seine Koordinaten mit der Zahl multipliziert:

Vektorkette
Durch Kombination der obigen drei Operationen können neue Vektoren gebildet werden.
Bsp.:
14 Zeige, was du kannst!
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