Gemischte Aufgaben - lernen mit Serlo!

Gegeben sind die Vektoren $\vec a = \begin{pmatrix}2\\-2\end{pmatrix}$ , $\vec b = \begin{pmatrix}-5\\-3\end{pmatrix}$ und $\vec c = \begin{pmatrix}3\\9\end{pmatrix}$ . Berechne jeweils den angegebenen Vektor und veranschauliche in den Teilaufgaben a) bis c) durch eine Zeichnung!

$\displaystyle \vec d = \vec a + \vec b$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Addition von Vektoren
geg.: $\vec a = \begin{pmatrix}2\\-2\end{pmatrix}$ , $\vec b = \begin{pmatrix}-5\\-3\end{pmatrix}$
ges.: $\vec d = \vec a + \vec b$
Addiere die beiden Vektoren, indem du ihre Koordinaten addierst!
$\displaystyle \vec d = \vec a + \vec b = \begin{pmatrix}2\\-2\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}-5\\-3\end{pmatrix} =$
$\displaystyle =\begin{pmatrix}2+(-5)\\-2+(-3)\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-3\\-5\end{pmatrix}$
Grafische Veranschaulichung
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$\displaystyle \vec e = \vec a - \vec b$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Subtraktion von Vektoren
geg.: $\vec a = \begin{pmatrix}2\\-2\end{pmatrix}$ , $\vec b = \begin{pmatrix}-5\\-3\end{pmatrix}$
ges.: $\vec e = \vec a - \vec b$
Subtrahiere die beiden Vektoren, indem du ihre Koordinaten subtrahierst!
$\displaystyle \vec e = \vec a - \vec b = \begin{pmatrix}2\\-2\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}-5\\-3\end{pmatrix} =$
$\displaystyle =\begin{pmatrix}2-(-5)\\-2-(-3)\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}7\\1\end{pmatrix}$
Grafische Veranschaulichung
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$\displaystyle \vec f = -2\cdot\vec a$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Skalarmultiplikation von Vektoren
geg.: $\vec a = \begin{pmatrix}2\\-2\end{pmatrix}$
ges.: $\vec f = -2\cdot\vec a$
Multipliziere den Vektor mit $- 2$ , indem du seine Koordinaten mit $- 2$ multiplizierst!
$\displaystyle \vec f = -2\cdot\vec a = -2\cdot\begin{pmatrix}2\\-2\end{pmatrix} =$
$\displaystyle =\begin{pmatrix}-2\cdot2\\-2\cdot(-2)\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-4\\4\end{pmatrix}$
Grafische Veranschaulichung
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$\displaystyle \vec g = \vec a - 4\vec b + \frac{2}{3}\vec c$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Vektorkette
geg.: $\vec a = \begin{pmatrix}2\\-2\end{pmatrix}$ , $\vec b = \begin{pmatrix}-5\\-3\end{pmatrix}$ , $\vec c = \begin{pmatrix}3\\9\end{pmatrix}$
ges.: $\vec g = \vec a - 4\vec b + \frac{2}{3}\vec c$
Um die Vektorkette zu berechnen, setze zunächst die Koordinaten der Vektoren ein!
$\vec g = \begin{pmatrix}2\\-2\end{pmatrix} - 4\cdot\begin{pmatrix}-5\\-3\end{pmatrix} + \frac{2}{3}\cdot\begin{pmatrix}3\\9\end{pmatrix}$
Führe nun die Rechenoperationen komponentenweise durch und vereinfache anschließend!
$\displaystyle \vec g = \begin{pmatrix}2\\-2\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}4\cdot(-5)\\4\cdot(-3)\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}\frac{2}{3}\cdot3\\\frac{2}{3}\cdot9\end{pmatrix} =$
$\displaystyle = \begin{pmatrix}2-(-20)+2\\-2-(-12)+6\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}24\\16\end{pmatrix}$
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