Gemischte Aufgaben

Grafische Veranschaulichung

Grafische Veranschaulichung

Grafische Veranschaulichung

• Der Punkt B(-3|0|0) ist gegeben und kann direkt eingezeichnet werden.

• Da A auf der positiven $x_1$-Achse liegen soll und einen Abstand von 6 LE zu B haben soll, ist A(3|0|0).

• Da ABS gleichschenklig ist und S ebenfalls in der $x_1x_2$-Ebene liegen muss, mit einem Abstand von $4 LE$, ist S(0|4|0) (auch S(0|-4|0) ist möglich).

• Durch D(3|0|4) wissen wir, dass das Rechteck eine Breite von 4 LE haben muss. Somit ist C(-3|0|4).

Für das Volumen einer Pyramide gilt:

$V=\frac 1 3\cdot G\cdot h$

Mit der rechteckigen Grundfläche also:

$V=\frac 1 3\cdot l\cdot b\cdot h$

In dieser Pyramide ist die Höhe die Strecke $\overline{OS}$, wobei O(0|0|0) der Ursprung ist. Die rechteckige Grundfläche ist durch $\overline{AB}$ und $\overline {AD}$ festgelegt.

Dadurch, dass alle relevanten Seitenlängen parallel zu den Koordinatenachsen sind, können die Werte direkt abgelesen werden:

$V=\frac 1 3\cdot \overline {AB}\cdot \overline{AD}\cdot \overline{OS}=\frac 1 3\cdot 6\cdot 4\cdot 4=32$ (VE)

Gleichseitiges Dreieck

Wäre das Dreieck gleichseitig, so wäre z.B. $\overline{AS}=\overline{AB}=6$ (LE).

Bestimme die Länge des Vektors $\overrightarrow{AS}$:

$|\overrightarrow{AS}|=\left |\begin{pmatrix}0-3\\4-0\\0-0\end{pmatrix}\right|=\left |\begin{pmatrix}-3\\4\\0\end{pmatrix}\right|=\sqrt{(-3)^2+4^2+0^2}=5$ (LE)

Somit sind nicht alle Seiten des Dreiecks gleich lang und es ist nicht gleichseitig.

Flächeninhalt

Die relevanten Angaben hast du bereits: Die Grundseite $\overline{AB}=6$ LE und $\overline{OS}=4$ LE.

Somit ist der Flächeninhalt des Dreiecks:

$A_{ABS}=\frac 1 2\cdot g\cdot h=\frac 1 2 \cdot \overline{AB}\cdot \overline{OS}=\frac 1 2 \cdot 6\cdot 4=12$ (FE)

Allgemein erfüllt jeder Punkt Q, der zwischen A und S auf der Strecke $\overline{AS}$ liegt diese Bedingung. Mit einer Vektorkette kann man für $0<r<1$ die Ortsvektoren von Q bestimmen durch:

$\overrightarrow Q=\overrightarrow A+r\cdot \overrightarrow{AS}$

Für $r=0{,}5$ ergibt sich zum Beispiel:

$\overrightarrow Q=\begin{pmatrix}3\\0\\0\end{pmatrix}+0{,}5\cdot \begin{pmatrix}-3\\4\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1{,}5\\2\\0\end{pmatrix}$

und somit Q(1,5|2|0)

Da der Gegenvektor von $\overrightarrow{SB}$ verwendet wird, geht man aus dem Dreieck heraus. Somit muss der Punkt außerhalb des Dreiecks liegen.

Alternativ:

Bestimme die Koordinaten von P:

$\vec P=\begin{pmatrix}3\\0\\0\end{pmatrix}+\frac 1 2\begin{pmatrix}-3\\4\\0\end{pmatrix}-0{,}8\cdot \begin{pmatrix}-3\\-4\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3{,}9\\5{,}2\\0\end{pmatrix}$

und somit P(3,9|5,2|0)

Der "Blick von oben" zeigt, dass der Punkt P in $x_1$-Richtung bereits außerhalb des Dreiecks liegt (größter $x_1$-Wert ist bei A der Wert 3) und ebenso in $x_2$-Richtung (größter $x_2$ -Wert ist bei S der Wert 4)