Gemischte Aufgaben

Teste dein Wissen zum Rechnen mit Vektoren! Übe Addition, Subtraktion, skalare Multiplikation und Vektorketten und lerne, das Ergebnis grafisch darzustellen.

1
Gegeben sind die Vektoren $\vec{a} = (\begin{array}{c} 2 \\ - 2 \end{array})$ , $\vec{b} = (\begin{array}{c} - 5 \\ - 3 \end{array})$ und $\vec{c} = (\begin{array}{c} 3 \\ 9 \end{array})$ . Berechne jeweils den angegebenen Vektor und veranschauliche in den Teilaufgaben a) bis c) durch eine Zeichnung!
1. $\vec{d} = \vec{a} + \vec{b}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Addition von Vektoren
  geg.: $\vec{a} = (\begin{array}{c} 2 \\ - 2 \end{array})$ , $\vec{b} = (\begin{array}{c} - 5 \\ - 3 \end{array})$
  ges.: $\vec{d} = \vec{a} + \vec{b}$
  Addiere die beiden Vektoren, indem du ihre Koordinaten addierst!
  $\vec{d} = \vec{a} + \vec{b} = (\begin{array}{c} 2 \\ - 2 \end{array}) + (\begin{array}{c} - 5 \\ - 3 \end{array}) =$
  $= (\begin{array}{c} 2 + (- 5) \\ - 2 + (- 3) \end{array}) = (\begin{array}{c} - 3 \\ - 5 \end{array})$
  Grafische Veranschaulichung
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2. $\vec{e} = \vec{a} - \vec{b}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Subtraktion von Vektoren
  geg.: $\vec{a} = (\begin{array}{c} 2 \\ - 2 \end{array})$ , $\vec{b} = (\begin{array}{c} - 5 \\ - 3 \end{array})$
  ges.: $\vec{e} = \vec{a} - \vec{b}$
  Subtrahiere die beiden Vektoren, indem du ihre Koordinaten subtrahierst!
  $\vec{e} = \vec{a} - \vec{b} = (\begin{array}{c} 2 \\ - 2 \end{array}) - (\begin{array}{c} - 5 \\ - 3 \end{array}) =$
  $= (\begin{array}{c} 2 - (- 5) \\ - 2 - (- 3) \end{array}) = (\begin{array}{c} 7 \\ 1 \end{array})$
  Grafische Veranschaulichung
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3. $\vec{f} = - 2 \cdot \vec{a}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Skalarmultiplikation von Vektoren
  geg.: $\vec{a} = (\begin{array}{c} 2 \\ - 2 \end{array})$
  ges.: $\vec{f} = - 2 \cdot \vec{a}$
  Multipliziere den Vektor mit $- 2$ , indem du seine Koordinaten mit $- 2$ multiplizierst!
  $\vec{f} = - 2 \cdot \vec{a} = - 2 \cdot (\begin{array}{c} 2 \\ - 2 \end{array}) =$
  $= (\begin{array}{c} - 2 \cdot 2 \\ - 2 \cdot (- 2) \end{array}) = (\begin{array}{c} - 4 \\ 4 \end{array})$
  Grafische Veranschaulichung
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4. $\vec{g} = \vec{a} - 4 \vec{b} + \frac{2}{3} \vec{c}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Vektorkette
  geg.: $\vec{a} = (\begin{array}{c} 2 \\ - 2 \end{array})$ , $\vec{b} = (\begin{array}{c} - 5 \\ - 3 \end{array})$ , $\vec{c} = (\begin{array}{c} 3 \\ 9 \end{array})$
  ges.: $\vec{g} = \vec{a} - 4 \vec{b} + \frac{2}{3} \vec{c}$
  Um die Vektorkette zu berechnen, setze zunächst die Koordinaten der Vektoren ein!
  $\vec{g} = (\begin{array}{c} 2 \\ - 2 \end{array}) - 4 \cdot (\begin{array}{c} - 5 \\ - 3 \end{array}) + \frac{2}{3} \cdot (\begin{array}{c} 3 \\ 9 \end{array})$
  Führe nun die Rechenoperationen komponentenweise durch und vereinfache anschließend!
  $\vec{g} = (\begin{array}{c} 2 \\ - 2 \end{array}) - (\begin{array}{c} 4 \cdot (- 5) \\ 4 \cdot (- 3) \end{array}) + (\begin{array}{c} \frac{2}{3} \cdot 3 \\ \frac{2}{3} \cdot 9 \end{array}) =$
  $= (\begin{array}{c} 2 - (- 20) + 2 \\ - 2 - (- 12) + 6 \end{array}) = (\begin{array}{c} 24 \\ 16 \end{array})$
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2
Die liegende Pyramide ABCDS, deren Seitenfläche ABS in der $x_{1} x_{2}$ -Ebene ist und deren rechteckige Grundfläche ABCD in der $x_{1} x_{3}$ -Ebene ist, hat eine Höhe von 4 LE. Dabei ist das Dreieck ABS gleichschenklig mit Basis AB, wobei $| A B | = 6$ gilt und A auf der positiven $x_{1}$ -Achse liegt. Es ist außerdem $B (- 3 | 0 | 0)$ und $D (3 | 0 | 4)$ gegeben.
1. Zeichne die Pyramide in ein dreidimensionales Koordinatensystem und gib die Koordinaten der übrigen Eckpunkte an.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Dreidimensionales Koordinatensystem
  Der Punkt B(-3|0|0) ist gegeben und kann direkt eingezeichnet werden.
  Da A auf der positiven $x_{1}$ -Achse liegen soll und einen Abstand von 6 LE zu B haben soll, ist A(3|0|0).
  Da ABS gleichschenklig ist und S ebenfalls in der $x_{1} x_{2}$ -Ebene liegen muss, mit einem Abstand von $4 L E$ , ist S(0|4|0) (auch S(0|-4|0) ist möglich).
  Durch D(3|0|4) wissen wir, dass das Rechteck eine Breite von 4 LE haben muss. Somit ist C(-3|0|4).
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2. Bestimme das Volumen der Pyramide.
  (VE)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Pyramide
  Für das Volumen einer Pyramide gilt:
  $V = \frac{1}{3} \cdot G \cdot h$
  Mit der rechteckigen Grundfläche also:
  $V = \frac{1}{3} \cdot l \cdot b \cdot h$
  In dieser Pyramide ist die Höhe die Strecke $O S$ , wobei O(0|0|0) der Ursprung ist. Die rechteckige Grundfläche ist durch $A B$ und $A D$ festgelegt.
  Dadurch, dass alle relevanten Seitenlängen parallel zu den Koordinatenachsen sind, können die Werte direkt abgelesen werden:
  $V = \frac{1}{3} \cdot A B \cdot A D \cdot O S = \frac{1}{3} \cdot 6 \cdot 4 \cdot 4 = 32$ (VE)
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3. Untersuche, ob das Dreieck ABS gleichseitig ist, und berechne seinen Flächeninhalt.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Länge eines Vektors
  Gleichseitiges Dreieck
  Wäre das Dreieck gleichseitig, so wäre z.B. $A S = A B = 6$ (LE).
  Bestimme die Länge des Vektors $\vec{A S}$ :
  $| \vec{A S} | = | (\begin{array}{c} 0 - 3 \\ 4 - 0 \\ 0 - 0 \end{array}) | = | (\begin{array}{c} - 3 \\ 4 \\ 0 \end{array}) | = \sqrt{(- 3)^{2} + 4^{2} + 0^{2}} = 5$ (LE)
  Somit sind nicht alle Seiten des Dreiecks gleich lang und es ist nicht gleichseitig.
  Flächeninhalt
  Die relevanten Angaben hast du bereits: Die Grundseite $A B = 6$ LE und $O S = 4$ LE.
  Somit ist der Flächeninhalt des Dreiecks:
  $A_{A B S} = \frac{1}{2} \cdot g \cdot h = \frac{1}{2} \cdot A B \cdot O S = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 4 = 12$ (FE)
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4. Gib die Koordinaten eines beliebigen, weiteren Punktes an, der auf der Kante $A S$ liegt, aber nicht A oder S ist.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Vektorkette
  Allgemein erfüllt jeder Punkt Q, der zwischen A und S auf der Strecke $A S$ liegt diese Bedingung. Mit einer Vektorkette kann man für $0 < r < 1$ die Ortsvektoren von Q bestimmen durch:
  $\vec{Q} = \vec{A} + r \cdot \vec{A S}$
  Für $r = 0,5$ ergibt sich zum Beispiel:
  $\vec{Q} = (\begin{array}{c} 3 \\ 0 \\ 0 \end{array}) + 0,5 \cdot (\begin{array}{c} - 3 \\ 4 \\ 0 \end{array}) = (\begin{array}{c} 1,5 \\ 2 \\ 0 \end{array})$
  und somit Q(1,5|2|0)
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  Alle Punkte auf der Strecke $A S$ erfüllen diese Vorgabe.
5. Entscheide, ob der Punkt P, dessen Koordinaten durch $\vec{P} = \vec{A} + \frac{1}{2} \vec{A S} - 0,8 \cdot \vec{S B}$ gegeben sind, innerhalb der Pyramide liegt.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Vektorkette
  Da der Gegenvektor von $\vec{S B}$ verwendet wird, geht man aus dem Dreieck heraus. Somit muss der Punkt außerhalb des Dreiecks liegen.
  Alternativ:
  Bestimme die Koordinaten von P:
  $\vec{P} = (\begin{array}{c} 3 \\ 0 \\ 0 \end{array}) + \frac{1}{2} (\begin{array}{c} - 3 \\ 4 \\ 0 \end{array}) - 0,8 \cdot (\begin{array}{c} - 3 \\ - 4 \\ 0 \end{array}) = (\begin{array}{c} 3,9 \\ 5,2 \\ 0 \end{array})$
  und somit P(3,9|5,2|0)
  Der "Blick von oben" zeigt, dass der Punkt P in $x_{1}$ -Richtung bereits außerhalb des Dreiecks liegt (größter $x_{1}$ -Wert ist bei A der Wert 3) und ebenso in $x_{2}$ -Richtung (größter $x_{2}$ -Wert ist bei S der Wert 4)
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Gleichseitiges Dreieck

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