Gemischte Aufgaben

Teste dein Wissen zum Rechnen mit Vektoren! Übe Addition, Subtraktion, skalare Multiplikation und Vektorketten und lerne, das Ergebnis grafisch darzustellen.

1
Gegeben sind die Vektoren $\vec a = \begin{pmatrix}2\\-2\end{pmatrix}$ , $\vec b = \begin{pmatrix}-5\\-3\end{pmatrix}$ und $\vec c = \begin{pmatrix}3\\9\end{pmatrix}$ . Berechne jeweils den angegebenen Vektor und veranschauliche in den Teilaufgaben a) bis c) durch eine Zeichnung!
1. $\displaystyle \vec d = \vec a + \vec b$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Addition von Vektoren
  geg.: $\vec a = \begin{pmatrix}2\\-2\end{pmatrix}$ , $\vec b = \begin{pmatrix}-5\\-3\end{pmatrix}$
  ges.: $\vec d = \vec a + \vec b$
  Addiere die beiden Vektoren, indem du ihre Koordinaten addierst!
  $\displaystyle \vec d = \vec a + \vec b = \begin{pmatrix}2\\-2\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}-5\\-3\end{pmatrix} =$
  $\displaystyle =\begin{pmatrix}2+(-5)\\-2+(-3)\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-3\\-5\end{pmatrix}$
  Grafische Veranschaulichung
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2. $\displaystyle \vec e = \vec a - \vec b$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Subtraktion von Vektoren
  geg.: $\vec a = \begin{pmatrix}2\\-2\end{pmatrix}$ , $\vec b = \begin{pmatrix}-5\\-3\end{pmatrix}$
  ges.: $\vec e = \vec a - \vec b$
  Subtrahiere die beiden Vektoren, indem du ihre Koordinaten subtrahierst!
  $\displaystyle \vec e = \vec a - \vec b = \begin{pmatrix}2\\-2\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}-5\\-3\end{pmatrix} =$
  $\displaystyle =\begin{pmatrix}2-(-5)\\-2-(-3)\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}7\\1\end{pmatrix}$
  Grafische Veranschaulichung
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3. $\displaystyle \vec f = -2\cdot\vec a$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Skalarmultiplikation von Vektoren
  geg.: $\vec a = \begin{pmatrix}2\\-2\end{pmatrix}$
  ges.: $\vec f = -2\cdot\vec a$
  Multipliziere den Vektor mit $- 2$ , indem du seine Koordinaten mit $- 2$ multiplizierst!
  $\displaystyle \vec f = -2\cdot\vec a = -2\cdot\begin{pmatrix}2\\-2\end{pmatrix} =$
  $\displaystyle =\begin{pmatrix}-2\cdot2\\-2\cdot(-2)\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-4\\4\end{pmatrix}$
  Grafische Veranschaulichung
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4. $\displaystyle \vec g = \vec a - 4\vec b + \frac{2}{3}\vec c$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Vektorkette
  geg.: $\vec a = \begin{pmatrix}2\\-2\end{pmatrix}$ , $\vec b = \begin{pmatrix}-5\\-3\end{pmatrix}$ , $\vec c = \begin{pmatrix}3\\9\end{pmatrix}$
  ges.: $\vec g = \vec a - 4\vec b + \frac{2}{3}\vec c$
  Um die Vektorkette zu berechnen, setze zunächst die Koordinaten der Vektoren ein!
  $\vec g = \begin{pmatrix}2\\-2\end{pmatrix} - 4\cdot\begin{pmatrix}-5\\-3\end{pmatrix} + \frac{2}{3}\cdot\begin{pmatrix}3\\9\end{pmatrix}$
  Führe nun die Rechenoperationen komponentenweise durch und vereinfache anschließend!
  $\displaystyle \vec g = \begin{pmatrix}2\\-2\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}4\cdot(-5)\\4\cdot(-3)\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}\frac{2}{3}\cdot3\\\frac{2}{3}\cdot9\end{pmatrix} =$
  $\displaystyle = \begin{pmatrix}2-(-20)+2\\-2-(-12)+6\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}24\\16\end{pmatrix}$
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2
Die liegende Pyramide ABCDS, deren Seitenfläche ABS in der $x_{1} x_{2}$ -Ebene ist und deren rechteckige Grundfläche ABCD in der $x_{1} x_{3}$ -Ebene ist, hat eine Höhe von 4 LE. Dabei ist das Dreieck ABS gleichschenklig mit Basis AB, wobei $|\overline{AB}|=6$ gilt und A auf der positiven $x_{1}$ -Achse liegt. Es ist außerdem $B (- 3 ∣ 0 ∣ 0)$ und $D (3 ∣ 0 ∣ 4)$ gegeben.
1. Zeichne die Pyramide in ein dreidimensionales Koordinatensystem und gib die Koordinaten der übrigen Eckpunkte an.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Dreidimensionales Koordinatensystem
  Der Punkt B(-3|0|0) ist gegeben und kann direkt eingezeichnet werden.
  Da A auf der positiven $x_{1}$ -Achse liegen soll und einen Abstand von 6 LE zu B haben soll, ist A(3|0|0).
  Da ABS gleichschenklig ist und S ebenfalls in der $x_{1} x_{2}$ -Ebene liegen muss, mit einem Abstand von $4 L E$ , ist S(0|4|0) (auch S(0|-4|0) ist möglich).
  Durch D(3|0|4) wissen wir, dass das Rechteck eine Breite von 4 LE haben muss. Somit ist C(-3|0|4).
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2. Bestimme das Volumen der Pyramide.
  (VE)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Pyramide
  Für das Volumen einer Pyramide gilt:
  $V=\frac 1 3\cdot G\cdot h$
  Mit der rechteckigen Grundfläche also:
  $V=\frac 1 3\cdot l\cdot b\cdot h$
  In dieser Pyramide ist die Höhe die Strecke $\overline{OS}$ , wobei O(0|0|0) der Ursprung ist. Die rechteckige Grundfläche ist durch $\overline{AB}$ und $\overline {AD}$ festgelegt.
  Dadurch, dass alle relevanten Seitenlängen parallel zu den Koordinatenachsen sind, können die Werte direkt abgelesen werden:
  $V=\frac 1 3\cdot \overline {AB}\cdot \overline{AD}\cdot \overline{OS}=\frac 1 3\cdot 6\cdot 4\cdot 4=32$ (VE)
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3. Untersuche, ob das Dreieck ABS gleichseitig ist, und berechne seinen Flächeninhalt.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Länge eines Vektors
  Gleichseitiges Dreieck
  Wäre das Dreieck gleichseitig, so wäre z.B. $\overline{AS}=\overline{AB}=6$ (LE).
  Bestimme die Länge des Vektors $\overrightarrow{AS}$ :
  $|\overrightarrow{AS}|=\left |\begin{pmatrix}0-3\\4-0\\0-0\end{pmatrix}\right|=\left |\begin{pmatrix}-3\\4\\0\end{pmatrix}\right|=\sqrt{(-3)^2+4^2+0^2}=5$ (LE)
  Somit sind nicht alle Seiten des Dreiecks gleich lang und es ist nicht gleichseitig.
  Flächeninhalt
  Die relevanten Angaben hast du bereits: Die Grundseite $\overline{AB}=6$ LE und $\overline{OS}=4$ LE.
  Somit ist der Flächeninhalt des Dreiecks:
  $A_{ABS}=\frac 1 2\cdot g\cdot h=\frac 1 2 \cdot \overline{AB}\cdot \overline{OS}=\frac 1 2 \cdot 6\cdot 4=12$ (FE)
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4. Gib die Koordinaten eines beliebigen, weiteren Punktes an, der auf der Kante $\overline {AS}$ liegt, aber nicht A oder S ist.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Vektorkette
  Allgemein erfüllt jeder Punkt Q, der zwischen A und S auf der Strecke $\overline{AS}$ liegt diese Bedingung. Mit einer Vektorkette kann man für $0 < r < 1$ die Ortsvektoren von Q bestimmen durch:
  $\overrightarrow Q=\overrightarrow A+r\cdot \overrightarrow{AS}$
  Für $r = 0,5$ ergibt sich zum Beispiel:
  $\overrightarrow Q=\begin{pmatrix}3\\0\\0\end{pmatrix}+0{,}5\cdot \begin{pmatrix}-3\\4\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1{,}5\\2\\0\end{pmatrix}$
  und somit Q(1,5|2|0)
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  Alle Punkte auf der Strecke $\overline{AS}$ erfüllen diese Vorgabe.
5. Entscheide, ob der Punkt P, dessen Koordinaten durch $\overrightarrow{P}=\overrightarrow{A}+\frac 1 2 \overrightarrow{AS}-0{,}8\cdot\overrightarrow{SB}$ gegeben sind, innerhalb der Pyramide liegt.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Vektorkette
  Da der Gegenvektor von $\overrightarrow{SB}$ verwendet wird, geht man aus dem Dreieck heraus. Somit muss der Punkt außerhalb des Dreiecks liegen.
  Alternativ:
  Bestimme die Koordinaten von P:
  $\vec P=\begin{pmatrix}3\\0\\0\end{pmatrix}+\frac 1 2\begin{pmatrix}-3\\4\\0\end{pmatrix}-0{,}8\cdot \begin{pmatrix}-3\\-4\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3{,}9\\5{,}2\\0\end{pmatrix}$
  und somit P(3,9|5,2|0)
  Der "Blick von oben" zeigt, dass der Punkt P in $x_{1}$ -Richtung bereits außerhalb des Dreiecks liegt (größter $x_{1}$ -Wert ist bei A der Wert 3) und ebenso in $x_{2}$ -Richtung (größter $x_{2}$ -Wert ist bei S der Wert 4)
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