Volumen berechnen

Man darf nicht vergessen, dass man Volumina auch über die bereits bekannten Volumenformeln berechnen kann. Die nötigen Längen sind dann einfach die Beträge der entsprechenden Vektoren.

Dennoch gibt es eine Möglichkeit Volumina über das sog. Spatprodukt zu berechnen.

Spat

Der Körper, den drei Vektoren %%\vec{a},\vec{b}%% und %%\vec{c}%% aufspannen, heißt Spat. Man berechnet das Volumen eines Spates über das Spatprodukt. Das Spatprodukt ist nichts Neues, sondern nur eine Kombination aus Kreuz- und Skalarprodukt.

$$V_{Spat} = |\vec{a} \circ (\vec{b} \times \vec{c})|$$

Würfel und Quader

Da Würfel und Quader Spezialfälle eines Spates sind, gilt hier die selbe Berechnung wie oben.

Zylinder

Hier gilt die bereits bekannte Formel: Grundfläche mal Höhe. Die nötigen Größen können ggf. wieder über die Vektorbeträge ausgerechnet werden.

Pyramide

Das Volumen einer dreiseitigen Pyramide ABCD berechnet sich wie folgt:

$$V_{Pyramide} = \frac{1}{6} \cdot |\vec{AB} \circ (\vec{AC} \times \vec{AD})|$$

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