Aufgaben zum Volumen eines Prisma

…

Ein Marmeladenglas hat als Grundfläche ein regelmäßiges Sechseck und ist (abgesehen vom Rand mit Schraubverschluss und Deckel) $8\;\text{cm}$ hoch. Die Seitenlänge des Sechseckes ist $3\;\text{cm}$ .

Wie viel Milliliter Marmelade passen in das Glas, wenn man es bis unter den Rand füllt?

Volumenberechnung eines Prismas

Das Marmeladenglas ist ein Prisma mit einem Sechseck als Grundfläche.

\displaystyle V

=

\displaystyle G\cdot h_p

↓

Das ist die Volumenformel eines Prismas.

Hier ist $h_P=8\,\text{cm}$ und die Grundfläche $G$ ist ein reguläres Sechseck mit Seitenlänge $a=3\,\text{cm}$ .

Dieses Sechseck kannst du in sechs gleichseitige Dreiecke aufteilen.

$\displaystyle F$	$=$	$\displaystyle \dfrac{a\cdot h_D}{2}$
	↓	Das ist die Flächenformel für das Dreieck. Stelle diese nach der Höhe $h_D$ des Dreiecks um.
$\displaystyle h_D$	$=$	$\displaystyle \dfrac{\sqrt{3}}{2}a$
	↓	Mit dieser Formel kannst du die Höhe $h_D$ im gleichseitigen Dreieck berechnen.

Wenn du $a=3\,\text{cm}$ in die Formel einsetzt, ergibt sich:

\displaystyle h_D = \dfrac{\sqrt3}{2}\cdot3\,\text{cm}

Das kannst du jetzt in die Flächenformel für das Dreieck einsetzen.

$\displaystyle F$	$=$	$\displaystyle \dfrac{a\cdot h_D}{2}$
	$=$	$\displaystyle \dfrac{1}{2}\cdot3\ cm\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}\cdot3\ cm$
	$≈$	$\displaystyle 3{,}897\ cm^2$

Jetzt kannst du die sechseckige Grundfäche $G$ berechnen.

$\displaystyle G$	$=$	$\displaystyle 6\cdot F$
	$=$	$\displaystyle 6\cdot3{,}897\ cm^2$
	$=$	$\displaystyle 23{,}382\ cm^2$

Mit $h_P=8\,\text{cm}$ ergibt sich für das Volumen des Prismas:

$\displaystyle V$	$=$	$\displaystyle G\cdot h_p$
	$=$	$\displaystyle 23{,}382\ cm^2\cdot8\ cm$
	$=$	$\displaystyle 187{,}056\ cm^3$

Dieses Ergebnis gibst du noch in Milliliter an.

\displaystyle h_D = \dfrac{\sqrt3}{2}\cdot3\,\text{cm}

Antwort: In das Glas passen also etwa $187\,\text{ml}$ Marmelade.

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