Aufgaben zum Volumen eines Prisma

Teste dein Wissen zu Prismen mit diesen gemischten Übungsaufgaben! Lerne, das Volumen von beliebigen Prismen zu bestimmen.

1
Welches Volumen hat ein $4{,}5\, \mathrm{m}$ hohes Haus mit der Breite $4\, \mathrm{m}$ und der Länge $7\, \mathrm{m}$ , wenn das Dachgeschoss $2 \, \mathrm{m}$ hoch ist?
Quelle: torange.biz, CC-BY-SA-4.0
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Volumen zusammengesetzter Körper
Quelle: torange.biz, CC-BY-SA-4.0
Du kannst das Volumen von diesem Haus auf zwei Arten berechnen:
Entweder als ein Prisma mit der ganzen Vorderseite des Hauses als Grundfläche
oder als einen zusammengesetzten Körper aus einem Quader (unterer Teil des Hauses) und einem Prisma mit einem Dreieck als Grundfläche (das Dach).
In dieser Lösung wird das Volumen für den zusammengesetzten Körper berechnet.
Volumen des Quaders (unterer Hausteil)
Gegeben: Länge des Quaders = $7\, \mathrm{m}$ Breite des Quaders = $4\, \mathrm{m}$
Die Höhe des Quaders musst du erst noch ausrechnen.
Höhe des Quaders = ?
Die Höhe berechnest du, indem du von der Gesamthöhe des Hauses ( $4{,}5 \, \mathrm{m}$ ) die Höhe des Dachs ( $2 \, \mathrm{m}$ ) abziehst.
Höhe des Quaders = $4{,}5 \, \mathrm{m} - 2 \, \mathrm{m} = 2{,}5 \, \mathrm{m}$
Jetzt kannst du das Volumen des Quaders berechnen.
$V_\text{Quader} = \text{Länge} \cdot \text{Breite} \cdot \text{Höhe} = 7 \, \mathrm{m} \cdot 4 \, \mathrm{m} \cdot 2{,}5 \, \mathrm{m} = 70 \, \mathrm{m^3}$
Volumen des Prismas (Dach)
Gegeben: Länge des Dachs = $7 \, \mathrm{m}$ Breite des Dachs = $4 \, \mathrm{m}$ Höhe des Dachs = $2 \, \mathrm{m}$
Für das Volumen des Prismas benötigst du zuerst seine Grundfläche. Diese ist hier ein Dreieck. Die Höhe des Dreiecks ist die Dachhöhe und die Grundseite ist die Breite des Dachs.
$G_\text{Prisma} = \frac12 \cdot \text{Breite} \cdot \text{Höhe} = \frac12 \cdot 4 \, \mathrm{m} \cdot 2 \, \mathrm{m} = 4 \, \mathrm{m^2}$
Berechne jetzt das Volumen des Prismas. Beachte, dass die Höhe des Prismas hier die Länge des Dachs ist.
$V_\text{Prisma} = G_\text{Prisma} \cdot \text{Länge} = 4 \, \mathrm{m^2} \cdot 7 \, \mathrm{m} = 28\,\mathrm{m^3}$
Gesamtvolumen des Hauses
$V_\text{Haus} = \ldots ?$
Addiere jetzt die einzelnen Teile, um das Gesamtvolumen zu berechnen.
$V_\text{Haus} = V_\text{Quader} + V_\text{Prisma} = 70 \, \mathrm{m^3} + 28 \, \mathrm{m^3} = 98 \, \mathrm{m^3}$
Antwort: Das Haus hat ein Volumen von $98\, \mathrm{m^3}$ .
2
Filmon hat einen Blumenkasten. Der Blumenkasten hat 100 cm Länge und 18 cm Höhe. Unten ist er 15 cm breit und oben 20 cm. Wie groß ist das Volumen des Blumenkastens?
cm³

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Prisma
$\displaystyle \def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l}\mathrm V=?\\\mathrm V=\mathrm G\cdot h_\mathrm{Prisma}\end{array}$
Der Blumenkasten ist ein Prisma. Deshalb brauchest du die Formel:
$\displaystyle \mathrm V=\mathrm G\cdot{\mathrm h}_\mathrm{Prisma}$
$\displaystyle \mathrm G=\frac{\mathrm a+\mathrm c}2\cdot{\mathrm h}_\mathrm{Trapez}$
Die Höhe $h_\mathrm{Prisma}$ ist 100cm, aber die Grundfläche hast du nicht in der Aufgabe angegeben. Die Grundfläche ist ein Trapez.Deshalb musst du diese Formel benutzen um die Grundfläche zu finden:
$\mathrm G=\frac{\mathrm a+\mathrm c}2\cdot h_\mathrm{Trapez}$
$\mathrm G=\frac{20\;\mathrm{cm}+15\;\mathrm{cm}}2\cdot18\;\mathrm{cm}$
$\mathrm G=\frac{35\;\mathrm{cm}\;}2\cdot18\;\mathrm{cm}$
$\mathrm G=\frac{35\cdot18}2\mathrm{cm}^2$
$\mathrm G=17{,}5\;\mathrm{cm}\cdot18\;\mathrm{cm}=315\;\mathrm{cm}^2$
$\displaystyle \mathrm V=\mathrm G\cdot{\mathrm h}_\mathrm{Prisma}$
In diese Formel setzt du $\mathrm G=315\;\mathrm{cm}^2$ und ${\mathrm h}_\mathrm{prisma}=100\;\mathrm{cm}\;\mathrm{ein}\;.$
$\displaystyle \def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l}\mathrm V=315\;\mathrm{cm}^2\cdot100\;\mathrm{cm}\\\mathrm V=31500\;\mathrm{cm}^3\end{array}$

Ein Marmeladenglas hat als Grundfläche ein regelmäßiges Sechseck und ist (abgesehen vom Rand mit Schraubverschluss und Deckel) $8\;\text{cm}$ hoch. Die Seitenlänge des Sechseckes ist $3\;\text{cm}$ .

Wie viel Milliliter Marmelade passen in das Glas, wenn man es bis unter den Rand füllt?

Volumenberechnung eines Prismas

Das Marmeladenglas ist ein Prisma mit einem Sechseck als Grundfläche.

\displaystyle V

=

\displaystyle G\cdot h_p

↓

Das ist die Volumenformel eines Prismas.

Hier ist $h_P=8\,\text{cm}$ und die Grundfläche $G$ ist ein reguläres Sechseck mit Seitenlänge $a=3\,\text{cm}$ .

Dieses Sechseck kannst du in sechs gleichseitige Dreiecke aufteilen.

$\displaystyle F$	$=$	$\displaystyle \dfrac{a\cdot h_D}{2}$
	↓	Das ist die Flächenformel für das Dreieck. Stelle diese nach der Höhe $h_{D}$ des Dreiecks um.
$\displaystyle h_D$	$=$	$\displaystyle \dfrac{\sqrt{3}}{2}a$
	↓	Mit dieser Formel kannst du die Höhe $h_{D}$ im gleichseitigen Dreieck berechnen.

Wenn du $a=3\,\text{cm}$ in die Formel einsetzt, ergibt sich:

\displaystyle h_D = \dfrac{\sqrt3}{2}\cdot3\,\text{cm}

Das kannst du jetzt in die Flächenformel für das Dreieck einsetzen.

$\displaystyle F$	$=$	$\displaystyle \dfrac{a\cdot h_D}{2}$
	$=$	$\displaystyle \dfrac{1}{2}\cdot3\ cm\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}\cdot3\ cm$
	$\approx ≈$	$\displaystyle 3{,}897\ cm^2$

Jetzt kannst du die sechseckige Grundfäche $G$ berechnen.

$\displaystyle G$	$=$	$\displaystyle 6\cdot F$
	$=$	$\displaystyle 6\cdot3{,}897\ cm^2$
	$=$	$\displaystyle 23{,}382\ cm^2$

Mit $h_P=8\,\text{cm}$ ergibt sich für das Volumen des Prismas:

$\displaystyle V$	$=$	$\displaystyle G\cdot h_p$
	$=$	$\displaystyle 23{,}382\ cm^2\cdot8\ cm$
	$=$	$\displaystyle 187{,}056\ cm^3$

Dieses Ergebnis gibst du noch in Milliliter an.

\displaystyle V=187{,}056\,\text{cm}^3= 187{,}056\,\text{ml} \approx 187\,\text{ml}

Antwort: In das Glas passen also etwa $187\,\text{ml}$ Marmelade.

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