Aufgaben zum Volumen eines Prisma

Aufgaben
Welches Volumen hat ein 4,5 m4{,}5\, \mathrm{m} hohes Haus mit der Breite 4 m4\, \mathrm{m} und der Länge 7 m7\, \mathrm{m}, wenn das Dachgeschoss 2 m2 \, \mathrm{m} hoch ist?
Haus im Bau

Volumenberechnung

Haus im Bau
Du kannst das Volumen von diesem Haus auf zwei Arten berechnen:
  • Entweder als ein Prisma mit der ganzen Vorderseite des Hauses als Grundfläche
  • oder als einen zusammengesetzten Körper aus einem Quader (unterer Teil des Hauses) und einem Prisma mit einem Dreieck als Grundfläche (das Dach).
In dieser Lösung wird das Volumen für den zusammengesetzten Körper berechnet.

Volumen des Quaders (unterer Hausteil)

Gegeben: Länge des Quaders = 7 m7\, \mathrm{m} Breite des Quaders = 4 m4\, \mathrm{m}
Die Höhe des Quaders musst du erst noch ausrechnen.
Höhe des Quaders = ?
Die Höhe berechnest du, indem du von der Gesamthöhe des Hauses (4,5 m4{,}5 \, \mathrm{m}) die Höhe des Dachs (2 m2 \, \mathrm{m}) abziehst.
Höhe des Quaders = 4,5 m−2 m=2,5 m4{,}5 \, \mathrm{m} - 2 \, \mathrm{m} = 2{,}5 \, \mathrm{m}
Jetzt kannst du das Volumen des Quaders berechnen.
VQuader=La¨nge⋅Breite⋅Ho¨he=7 m⋅4 m⋅2,5 m=70 m3V_\text{Quader} = \text{Länge} \cdot \text{Breite} \cdot \text{Höhe} = 7 \, \mathrm{m} \cdot 4 \, \mathrm{m} \cdot 2{,}5 \, \mathrm{m} = 70 \, \mathrm{m^3}


Volumen des Prismas (Dach)

Gegeben: Länge des Dachs = 7 m7 \, \mathrm{m} Breite des Dachs = 4 m4 \, \mathrm{m} Höhe des Dachs = 2 m2 \, \mathrm{m}
Für das Volumen des Prismas benötigst du zuerst seine Grundfläche. Diese ist hier ein Dreieck. Die Höhe des Dreiecks ist die Dachhöhe und die Grundseite ist die Breite des Dachs.
GPrisma=12⋅Breite⋅Ho¨he=12⋅4 m⋅2 m=4 m2G_\text{Prisma} = \frac12 \cdot \text{Breite} \cdot \text{Höhe} = \frac12 \cdot 4 \, \mathrm{m} \cdot 2 \, \mathrm{m} = 4 \, \mathrm{m^2}
Berechne jetzt das Volumen des Prismas. Beachte, dass die Höhe des Prismas hier die Länge des Dachs ist.
VPrisma=GPrisma⋅La¨nge=4 m2⋅7 m=28 m3V_\text{Prisma} = G_\text{Prisma} \cdot \text{Länge} = 4 \, \mathrm{m^2} \cdot 7 \, \mathrm{m} = 28\,\mathrm{m^3}


Gesamtvolumen des Hauses

VHaus=…?V_\text{Haus} = \ldots ?
Addiere jetzt die einzelnen Teile, um das Gesamtvolumen zu berechnen.
VHaus=VQuader+VPrisma=70 m3+28 m3=98 m3V_\text{Haus} = V_\text{Quader} + V_\text{Prisma} = 70 \, \mathrm{m^3} + 28 \, \mathrm{m^3} = 98 \, \mathrm{m^3}

Antwort: Das Haus hat ein Volumen von 98 m398\, \mathrm{m^3}.
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Filmon hat einen Blumenkasten. Der Blumenkasten hat 100 cm Länge und 18 cm Höhe. Unten ist er 15 cm breit und oben 20 cm. Wie groß ist das Volumen des Blumenkastens?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Prisma


V=?V=G⋅hPrisma\displaystyle \begin{array}{l}\mathrm V=?\\\mathrm V=\mathrm G\cdot h_\mathrm{Prisma}\end{array}
Der Blumenkasten ist ein Prisma. Deshalb brauchest du die Formel:
V=G⋅hPrisma\displaystyle \mathrm V=\mathrm G\cdot{\mathrm h}_\mathrm{Prisma}
G=a+c2⋅hTrapez\displaystyle \mathrm G=\frac{\mathrm a+\mathrm c}2\cdot{\mathrm h}_\mathrm{Trapez}
Die Höhe hPrismah_\mathrm{Prisma} ist 100cm, aber die Grundfläche hast du nicht in der Aufgabe angegeben. Die Grundfläche ist ein Trapez.Deshalb musst du diese Formel benutzen um die Grundfläche zu finden:
G=a+c2⋅hTrapez\mathrm G=\frac{\mathrm a+\mathrm c}2\cdot h_\mathrm{Trapez}
G=20  cm+15  cm2⋅18  cm\mathrm G=\frac{20\;\mathrm{cm}+15\;\mathrm{cm}}2\cdot18\;\mathrm{cm}
G=35  cm  2⋅18  cm\mathrm G=\frac{35\;\mathrm{cm}\;}2\cdot18\;\mathrm{cm}
G=35⋅182cm2\mathrm G=\frac{35\cdot18}2\mathrm{cm}^2
G=17,5  cm⋅18  cm=315  cm2\mathrm G=17,5\;\mathrm{cm}\cdot18\;\mathrm{cm}=315\;\mathrm{cm}^2
V=G⋅hPrisma\displaystyle \mathrm V=\mathrm G\cdot{\mathrm h}_\mathrm{Prisma}
In diese Formel setzt du G=315  cm2\mathrm G=315\;\mathrm{cm}^2 und hprisma=100  cm  ein  .{\mathrm h}_\mathrm{prisma}=100\;\mathrm{cm}\;\mathrm{ein}\;.
V=315  cm2⋅100  cmV=31500  cm3\displaystyle \begin{array}{l}\mathrm V=315\;\mathrm{cm}^2\cdot100\;\mathrm{cm}\\\mathrm V=31500\;\mathrm{cm}^3\end{array}
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Marmeladenglas
Ein Marmeladenglas hat als Grundfläche ein regelmäßiges Sechseck und ist (abgesehen vom Rand mit Schraubverschluss und Deckel) 8  cm8\;\text{cm} hoch. Die Seitenlänge des Sechseckes ist 3  cm3\;\text{cm}.
Wie viel Milliliter Marmelade passen in das Glas, wenn man es bis unter den Rand füllt?

Volumenberechnung eines Prismas

Prisma, Sechseck
Das Marmeladenglas ist ein Prisma mit einem Sechseck als Grundfläche.
VV==G⋅hpG\cdot h_p
→
Das ist die Volumenformel eines Prismas.
Hier ist hP=8 cmh_P=8\,\text{cm} und die Grundfläche GG ist ein reguläres Sechseck mit Seitenlänge a=3 cma=3\,\text{cm}.
Sechseck
Dieses Sechseck kannst du in sechs gleichseitige Dreiecke aufteilen.
Sechseck, Dreiecke
Warum sind die Dreiecke gleichseitig?
In einem Sechseck beträgt die Winkelsumme
(6−2)⋅180°=720°.\displaystyle (6-2)\cdot 180° = 720°.
Da das Sechseck regulär ist, ist jeder Winkel gleich groß. Da 720°6=120°,\dfrac{720°}{6}=120°, handelt es sich um 120°−120°-Winkel.
Sechseck, Winkel
Im regelmäßigen Sechseck fallen die Diagonale und die Winkelhalbierende zusammen. Deshalb teilt eine Diagonale zwei gegenüberliegende 120°−120°-Winkel in jeweils zwei 60°−60°-Winkel.
Sechseck, Winkel, Diagonale
Zeichnet man alle Diagonalen ein, erhält man sechs Dreiecke.
Sechseck, Winkel, Diagonalen
Da in einem Dreieck die Winkelsumme 180°180° beträgt, muss der letzte Winkel in jedem Dreieck auch 60°=180°−2⋅60°60°=180°-2\cdot60° sein.
Sechseck, Diagonalen, Winkel
Damit sind in in einem Dreieck alle Winkel 60°60° und deshalb sind die Dreiecke gleichseitig.
Dreieck
FF==a⋅hD2\dfrac{a\cdot h_D}{2}
↓
Das ist die Flächenformel für das Dreieck. Stelle diese nach der Höhe hDh_D des Dreiecks um.
hDh_D==32a\dfrac{\sqrt{3}}{2}a
→
Mit dieser Formel kannst du die Höhe hDh_D im gleichseitigen Dreieck berechnen.
Herleitung der Formel
hD2+(a2)2=a2\displaystyle h_D^2+\left(\dfrac{a}{2}\right)^2=a^2
Das ist der Satz des Pythagoras. Mit Umformen erhältst du:
hD2=a2−(a2)2.\displaystyle h_D^2 = a^2- \left( \dfrac{a}{2} \right)^2.
Nun kannst du auf beiden Seiten die Wurzel ziehen.
hD=a2−(a2)2\displaystyle h_D = \sqrt{a^2- \left( \dfrac{a}{2} \right)^2}
Durch Vereinfachen erhältst du die oben genannte Formel.
hD=4a2−a24=3a24=32a\displaystyle h_D= \sqrt{\dfrac{4a^2-a^2}{4}}= \sqrt{\dfrac{3a^2}{4}} = \dfrac{\sqrt3}{2}a
Wenn du a=3 cma=3\,\text{cm} in die Formel einsetzt, ergibt sich:
hD=32⋅3 cm\displaystyle h_D = \dfrac{\sqrt3}{2}\cdot3\,\text{cm}
Das kannst du jetzt in die Flächenformel für das Dreieck einsetzen.
FF==a⋅hD2\dfrac{a\cdot h_D}{2}
==12⋅3 cm⋅32⋅3 cm\dfrac{1}{2}\cdot3\ cm\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}\cdot3\ cm
≈≈3,897 cm23,897\ cm^2
Sechseck, Dreiecke, Höhe
Jetzt kannst du die sechseckige Grundfäche GG berechnen.
GG==6⋅F6\cdot F
==6⋅3,897 cm26\cdot3,897\ cm^2
==23,382 cm223,382\ cm^2
Mit hP=8 cmh_P=8\,\text{cm} ergibt sich für das Volumen des Prismas:
VV==G⋅hpG\cdot h_p
==23,382 cm2⋅8 cm23,382\ cm^2\cdot8\ cm
==187,056 cm3187,056\ cm^3
Dieses Ergebnis gibst du noch in Milliliter an.
V=187,056 cm3=187,056 ml≈187 ml\displaystyle V=187,056\,\text{cm}^3= 187,056\,\text{ml} \approx 187\,\text{ml}
Antwort: In das Glas passen also etwa 187 ml187\,\text{ml} Marmelade.
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