Hilfreiche Vorkenntnisse zum Beweis

$${\displaystyle A_{△ECD}=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{3}b\cdot h_b=\frac{1}{6}\cdot (b\cdot h_b)=\frac{1}{6}\cdot A_{\text{Parallelogramm}}}$$

$${\displaystyle A_{△AED}=\frac{1}{2}\cdot b\cdot h_b=\frac{1}{2}\cdot (b\cdot h_b)=\frac{1}{2}\cdot A_{Parallelogramm}}$$

$${\displaystyle A_{△BEF}=\frac{1}{2}\cdot \frac{2}{3}b\cdot \frac{1}{3}{h}_b=\frac{1}{9}\cdot (b\cdot h_b)=\frac{1}{9}\cdot A_{Parallelogramm}}$$

$$\begin{array}{rl}{A}_{△ABF}& =A_{Parallelogramm}-A_{△BEF}-A_{△ECD}-A_{△AFD}\\ {\displaystyle A_{△ABF}}& =A_{Parallelogramm}-\frac{1}{9}\cdot A_{P.gramm}-\frac{1}{6}\cdot A_{P.gramm}-\frac{1}{2}\cdot A_{P.gramm}\\ A_{△ABF}& =\frac{2}{9}\cdot A_{Parallelogramm}\end{array}$$

$${\displaystyle A_{△BEF}=\frac{2}{18}\cdot A_{P.}<A_{△ECD}=\frac{3}{18}\cdot A_{P.}<A_{△ABF}=\frac{4}{18}\cdot A_{P.}<A_{△AED}=\frac{9}{18}\cdot A_{P.}}$$

Damit ist gezeigt, dass die Teilflächen in folgendem Verhältnis stehen:

Anmerkungen zum Beweis

1. Dass $\mathrm{\Delta }ABF$ doppelt so groß ist wie $\mathrm{\Delta }BEF$, erkennt man auch so: Bei gleicher Höhe von $B$ aus ist die Grundlinie doppelt so groß.

2. Für diesen Beweis wurden alle Teilflächen einzeln berechnet. Begnügt man sich damit, lediglich das angegebene Teilverhältnis der Flächen zu bestätigen, kann man geschickt auch wie im nachfolgenden alternativen Beweis vorgehen.

Der Größe nach geordnet stehen die vier Teilflächen des Parallelogramms somit in folgendem Verhältnis:

$\begin{array}{rl}{A}_{\mathrm{\Delta }BEF}:A_{\mathrm{\Delta }ECD}:A_{\mathrm{\Delta }ABF}:A_{\mathrm{\Delta }AED}& =x:\mathrm{1,5}x:2x:\mathrm{4,5}x|\cdot 2:x\\ & =2:3:4:9\end{array}$

Zusammenfassung

Bei keiner der beiden angegebenen Beweisarten spielt die Form und die Größe des Parallelogramms eine Rolle. Mit dem nachfolgenden Applet kannst du dich davon überzeugen, dass die behaupteten Flächenverhältnisse tatsächlich unabhängig von der Form des Parallelogramms sind. Verschiebe dazu auf beliebige Weise den blauen Eckpunkt $C$ des Parallelogramms.

-

Notwendige Vorkenntnisse zum Beweis

$${\displaystyle A_{△ABM}=\frac{1}{2}\cdot \frac{b}{2}\cdot h_b=\frac{1}{4}\cdot (b\cdot h_b)=\frac{1}{4}\cdot A_{Parallelogramm}}$$

$${\displaystyle A_{△BCM}=\frac{1}{2}\cdot b\cdot h_b=\frac{1}{2}\cdot A_{Parallelogramm}}$$

$${\displaystyle A_{△MED}=\frac{1}{2}\cdot \frac{b}{2}\cdot \frac{2}{3}\cdot h_b=\frac{1}{6}\cdot (b\cdot h_b)=\frac{1}{6}\cdot A_{Parallelogramm}}$$

$${\displaystyle \begin{array}{rl}{A}_{△DEC}& =A_{P.gr.}-A_{△ABM}-A_{△BCM}-A_{△MED}\\ & =A_{P.gr.}-\frac{1}{4}\cdot A_{P.gr.}-\frac{1}{2}\cdot A_{P.gr.}-\frac{1}{6}\cdot A_{P.gr.}\end{array}=\frac{1}{12}\cdot A_{Parallelogramm}}$$

$${\displaystyle A_{△DEC}=\frac{1}{12}\cdot A_{P.}<A_{△MED}=\frac{2}{12}\cdot A_{P.}<A_{△ABM}=\frac{3}{12}\cdot A_{P.}<A_{△BCM}=\frac{6}{12}\cdot A_{P.}}$$

Damit ist gezeigt, dass die Teilflächen in folgendem Verhältnis stehen:

Anmerkungen zum Beweis

1. Dass $\mathrm{\Delta }MED$ doppelt so groß ist wie $\mathrm{\Delta }DEC$ erkennt man auch so: Bei gleicher Höhe von $D$ aus ist die Grundlinie doppelt so lang.

2. Für den Beweis wurden alle Teilflächen einzeln berechnet. Begnügt man sich damit, lediglich das angegebene Teilverhältnis der Flächen zu bestätigen, kann man geschickt auch wie im nachfolgenden alternativen Beweis vorgehen.

Der Größe nach geordnet stehen die Teilflächen des Parallelogramms somit in folgendem Verhältnis:

$\begin{array}{rl}{A}_{\mathrm{\Delta }ECD}:A_{\mathrm{\Delta }MED}:A_{\mathrm{\Delta }AMB}:A_{\mathrm{\Delta }BMC}& =x:2x:3x:6x|:x\\ & =1:2:3:6\end{array}$

Zusammenfassung

Bei keiner der beiden angegebenen Beweisarten spielt die Form und die Größe des Parallelogramms eine Rolle. Mit dem nachfolgenden Applet kannst du dich davon überzeugen, dass die behaupteten Teilverhältnisse tatsächlich von der Form des Parallelogramms unabhängig sind. Verschiebe dazu auf beliebige Weise den blauen Eckpunkt $C$ des Parallelogramms.

-

Behauptung

Drei Flächenteile sind flächengleich, die restlichen stehen im Verhältnis

$${\displaystyle A_{△BFH}=\frac{3}{32}\cdot A_{P.gramm}<A_{△EGD}=\frac{6}{32}\cdot A_{P.gramm}<A_{△ABH}=\frac{8}{32}\cdot A_{P.gramm}}$$

Damit stehen die restlichen Dreiecke des Parallelogramms in folgendem Verhältnis:

Anmerkungen zum Beweis

• Auf die Berechnung des Flächenteils des Trapezes kann man auch verzichten (wenn man z.B. die Flächenformel für das Trapez doch nicht kennt!), indem man die Flächenanteile aller fünf Dreiecke addiert und die Summe vom Flächenteil $1$ (des Parallelogramms) abzieht. Allerdings erkennt man auf diese Weise die drei gleich großen Flächen erst am Schluss.

• Zum Beweis wird die Form und die Größe des Parallelogramms nicht benötigt. Am nachfolgenden Applet kannst du dich davon überzeugen, dass die behaupteten Flächenverhältnisse tatsächlich von der Form des Parallelogramms unabhängig sind. Verschiebe dazu auf beliebige Weise den blauen Eckpunkt $C$ des Parallelogramms.

-