Denk- und Beweisaufgaben zum Parallelogramm

Geometrische Graffitis

Zur Verschönerung wird ein Parallelogramm $\text{ABCD}$ auf drei verschiedene Weisen mit geometrischen Figuren besprüht. (Welches Graffiti würde dir als "Kunstwerk" am besten gefallen?)

Graffiti 1

Hier gilt:

$\overline{BE}=2\cdot \overline{CE}$ und $\overline{AF}=2\cdot\overline{FE}$

Graffiti 2

Hier gilt:

$\overline{AM}=\overline{MD}$ und $\overline{ME}=2\cdot \overline {EC}$

Graffiti 3

Hier gilt:

$[EF]$ ist eine Mittelparallele im Parallelogramm und der Punkt $H$ teilt diese im Verhältnis $5\,:\,3$ . Der Punkt $G$ teilt die Seite $[DC]$ im Verhältnis $3\,:\,1$ .

Schule dein Empfinden für Flächengrößen und entscheide ohne Rechnung, welche Aussage für das Graffiti 1 zutrifft.
Klicke die deiner Meinung nach zutreffende Aussage an.
- Die Fläche orange ist kleiner als die Fläche lila.
- Die Flächen türkis und orange sind gleich groß.
- Die Fläche lila ist größer als die Fläche türkis.
- Die Summe der Flächen lila und rot ist so groß wie die Summe der Flächen türkis und orange.
Entscheide auch für das Graffiti 2 ohne Rechnung, welche der folgenden Aussagen zutrifft.
Klicke die deiner Meinung nach richtige Aussage an.
- Die Fläche rot ist kleiner als die Fläche lila.
- Die Summe der Flächen rot und lila ist so groß wie die Fläche orange.
- Die Fläche lila ist kleiner als die Fläche rot.
- Die Summe der Flächen grün und lila ist größer als die Fläche orange.
Ordne für das Graffiti 1 die Teilflächen der Größe nach und beweise, dass sie im Verhältnis $2:3:4:9$ stehen.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Parallelogramm
Für die Flächenzerleung des Parallelogramms $ABCD$ gilt:
$\def\arraystretch{1.25} \begin{aligned}\overline{BE}=2 \cdot \overline{CE}\\\overline{AF} = 2\cdot \overline{FE}\end{aligned}$
Hilfreiche Vorkenntnisse zum Beweis
Flächeninhalt des Parallelogramms
$A_\text{Parallelogramm}=b\cdot h_b$
Flächeninhalt des Dreiecks
$\displaystyle A_\triangle =\frac{1}{2} \cdot g \cdot h$
Der Strahlensatz
Werden zwei sich schneidende Strecken von zwei parallelen Geraden geschnitten, so sind die Teilverhältnisse auf den beiden Strecken gleich.
Für die gezeichnete Figur gilt:
$\displaystyle \frac{h_1}{h_2} =\frac{2}{1}\quad\Rightarrow \quad h_1 =2\cdot h_2$
Behauptung:
Der Größe nach geordnet stehen die vier Teildreiecke des Parallelogramms im Größenverhältnis
Der Beweis
Für $A_ {\triangle ECD}$ gilt:
$\displaystyle A_{\triangle ECD} =\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3}b\cdot h_b=\frac{1}{6}\cdot (b\cdot h_b) = \color{red}{\frac{1}{6}}\cdot A_\text{Parallelogramm}$
Für $A_{\triangle AED}$ gilt:
$\displaystyle A_{\triangle AED}= \frac{1}{2}\cdot b\cdot h_b=\frac{1}{2}\cdot(b\cdot h_b)=\color{red}{\frac{1}{2}}\cdot A_{Parallelogramm}$
Für $A_{\triangle BEF}$ gilt:
$\displaystyle A_{\triangle BEF}= \frac{1}{2}\cdot \frac{2}{3}b\cdot\frac{1}{3}h_b=\frac{1}{9}\cdot(b\cdot h_b)=\color{red}{\frac{1}9}\cdot A_{Parallelogramm}$
Für $A_{\triangle ABF} gilt:$
$\def\arraystretch{1.25} \begin{aligned}A_{\triangle ABF} &= A_{Parallelogramm}-A_{\triangle BEF}-A_{\triangle ECD}-A_{\triangle AFD}\\\displaystyle A_{\triangle ABF}&=A_{Parallelogramm}-\frac{1}{9}\cdot A_{P.gramm}-\frac{1}{6}\cdot A_{P.gramm}-\frac{1}{2}\cdot A_{P.gramm}\\A_{\triangle ABF}&=\color{red}{\frac{2}{9}}\cdot A_{Parallelogramm}\end{aligned}$
Bringe zum direkten Vergleich der Flächen die Bruchteile $\displaystyle \frac{1}{9},\,\frac{2}{9}\,,\frac{1}{6}\,,\frac{1}{2}$ auf den gemeinsamen Nenner $18$ und ordne sie der Größe nach.
$\displaystyle A_{\triangle BEF}=\frac{2}{18}\cdot A_{P.}\;<\;A_{\triangle ECD}=\frac{3}{18}\cdot A_{P.}\; <A_{\triangle ABF}=\frac{4}{18}\cdot A_{P.}\; <\; A_{\triangle AED}=\frac{9}{18}\cdot A_{P.}$
Damit ist gezeigt, dass die Teilflächen in folgendem Verhältnis stehen:
Anmerkungen zum Beweis
Dass $\Delta\, ABF$ doppelt so groß ist wie $\Delta\,BEF$ , erkennt man auch so: Bei gleicher Höhe von $B$ aus ist die Grundlinie doppelt so groß.
Für diesen Beweis wurden alle Teilflächen einzeln berechnet. Begnügt man sich damit, lediglich das angegebene Teilverhältnis der Flächen zu bestätigen, kann man geschickt auch wie im nachfolgenden alternativen Beweis vorgehen.
Alternativer Beweis
Dreiecksflächen
$\Delta\,BEF$ habe bei seiner Grundlinie $[EF]$ und der Höhe $h_x$ den angenommenen Flächeninhalt $x\,\text{FE}$ .
$A_{\Delta\,BEF}=\color{red}{x}\,\text{FE}$
$\Delta\,ABF$ ist dann bei der gleichen Höhe $h_x$ wegen der doppelten Grundlinienlänge $[AF]$ auch doppelt so groß.
$A_{\Delta\,ABF}=\color{red}{2x}\,\text{FE}$
$\Delta\,AB\color{red}{E}$ hat den Flächeninhalt $\,x+2x=3x$ .
$\Delta\,ECD$ ist halb so groß. Begründung: Halbe Grundlinie $\frac{1}{3}b$ statt $\frac{2}{3}b$ bei gleicher Höhe $h_b$ .
$A_{\Delta\,ECD}=\color{red}{1{,}5x}\,\text{FE}$
$\Delta\,AED$ ist wegen dreifacher Grundlinie und gleicher Höhe $h_b$ dreimal so groß wie $\Delta\,ECD$ .
$A_{\Delta\,AED}=\color{red}{4{,}5x}\,\text{FE}$
Der Größe nach geordnet stehen die vier Teilflächen des Parallelogramms somit in folgendem Verhältnis:
$\def\arraystretch{1.25} \begin{aligned}A_{\Delta\,BEF}\,:\,A_{\Delta\,ECD}\,:\:A_{\Delta\,ABF}\,:\,A_{\Delta\,AED}&=x\;\;:\;1{,}5x\;:\;2x\;:\;4{,}5x \quad |\cdot 2\,:x \\&=2\;:\;3\;:4\;:\;9\end{aligned}$
Zusammenfassung
Bei keiner der beiden angegebenen Beweisarten spielt die Form und die Größe des Parallelogramms eine Rolle. Mit dem nachfolgenden Applet kannst du dich davon überzeugen, dass die behaupteten Flächenverhältnisse tatsächlich unabhängig von der Form des Parallelogramms sind. Verschiebe dazu auf beliebige Weise den blauen Eckpunkt $C$ des Parallelogramms.
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Ordne für das Graffiti 2 die Teilflächen der Größe nach und beweise, dass sie im Verhältnis $1\,:\,2\,:\,3\,:\,6$ stehen.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Parallelogramm
Für die Flächenzerlegung des Parallelogramms $ABCD$ gilt:
$\overline{AM}=\overline{MD}$
$\displaystyle \overline{MD} = \frac{2}{3}\cdot\overline {EC}$
Notwendige Vorkenntnisse zum Beweis
Flächeninhalt des Parallelogramms
Flächeninhalt des Dreiecks
Der Strahlensatz
Werden zwei Strecken von zwei parallelen Geraden geschnitten, so sind die Teilverhältnisse auf den bieden Strecken gleich.
Für die gezeichnete Figur gilt:
Behauptung
Der Größe nach geordnet stehen die vier Teildreiecke des Parallelogramms im Größenverhältnis:
Der Beweis
Für $A_{\triangle ABM}$ gilt:
$\displaystyle A_{\triangle ABM}= \frac{1}{2} \cdot \frac {b}{2} \cdot h_b=\frac{1}{4}\cdot(b\ \cdot h_b)= \color{red}{\frac{1}{4}} \cdot A_{Parallelogramm}$
Für $A_{\triangle BCM}$ gilt:
$\displaystyle A_{\triangle BCM}=\frac{1}{2} \cdot b\cdot h_b=\color{red}{\frac{1}{2}}\cdot A_{Parallelogramm}$
Für $A_{\triangle MED}$ gilt:
$\displaystyle A_{\triangle MED}=\frac{1}{2} \cdot \frac{b}{2} \cdot \frac{2}{3} \cdot h_b= \frac{1}{6}\cdot (b\cdot h_b)=\color{red}{\frac{1}{6}}\cdot A_{Parallelogramm}$
Für $A_{\triangle DEC}$ gilt:
$\def\arraystretch{1.25} \displaystyle \begin{aligned} A_{\triangle DEC} &= A_{P.gr.}-A_{\triangle ABM}-A_{\triangle BCM}- A_{\triangle MED}\\&=A_{P.gr.}-\frac{1}{4} \cdot A_{P.gr.}-\frac{1}{2} \cdot A_{P.gr.}-\frac{1}{6}\cdot A_{P.gr.}\end{aligned}=\color{red}{\frac{1}{12}}\cdot A_{Parallelogramm}$
Bringe zum direkten Vergleich der Flächen die Bruchterme
auf den gemeinsamen Nenner $12$ und ordne sie der Größe nach.
$\displaystyle A_{\triangle DEC} =\frac{1}{12}\cdot A_{P.}\;<\;A_{\triangle MED}=\frac{2}{12}\cdot A_{P.}\;<\;A_{\triangle ABM}=\frac{3}{12}\cdot A_{P.}\;<\;A_{\triangle BCM}=\frac{6}{12}\cdot A_{P.}$
Damit ist gezeigt, dass die Teilflächen in folgendem Verhältnis stehen:
Anmerkungen zum Beweis
Dass $\Delta\,MED$ doppelt so groß ist wie $\Delta\,DEC$ erkennt man auch so: Bei gleicher Höhe von $D$ aus ist die Grundlinie doppelt so lang.
Für den Beweis wurden alle Teilflächen einzeln berechnet. Begnügt man sich damit, lediglich das angegebene Teilverhältnis der Flächen zu bestätigen, kann man geschickt auch wie im nachfolgenden alternativen Beweis vorgehen.
Alternativer Beweis
Dreiecksflächen
$\Delta\,ECD$ habe bei der Grundlinienlänge $[EC]$ und der Höhe $h_x$ den angenommenen Flächeninhalt $x\;\text{FE}$ .
$A_{\Delta\,ECD}=\color{red}{x}\,\text{FE}$
$\Delta\,MED$ ist bei der gleichen Höhe $h_x$ wegen der doppelten Grundlinienlänge $[ME]$ doppelt so groß wie $\Delta\,ECD$ .
$A_{\Delta\,MED}= \color{red}{2x}\,\text{FE}$
$\Delta\,M\color{red}{C}D$ hat den Flächeninhalt $x+2x=\color{red}{3x}\,\text{FE}.$
$\Delta\,AMB$ und $\Delta\,MCD$ sind flächengleich wegen gleicher Grundlinienlänge $\frac{1}{2}b$ und gleicher Höhe $h_b$ .
$A_{\Delta\,AMB}= \color{red}{3x}\,\text{FE}$
$\Delta\,BCM$ ist doppelt so groß wie $\Delta\,AMB$ wegen der doppelt so großen Grundlinienlänge $b$ bei gleicher Höhe $h_b$ .
$A_{\Delta\,BMC}= \color{red}{6x}\,\text{FE}$
Der Größe nach geordnet stehen die Teilflächen des Parallelogramms somit in folgendem Verhältnis:
$\def\arraystretch{1.25} \begin{aligned} A_{\Delta\,ECD}\;:\;A_{\Delta\,MED}\;:\;A_{\Delta\,AMB}\;:\;A_{\Delta\,BMC}&= \; x\;:\;2x\;:\;3x \;:\;6x\quad|:x\\&=\,\,1\;:2\;:3\;:6\end{aligned}$
Zusammenfassung
Bei keiner der beiden angegebenen Beweisarten spielt die Form und die Größe des Parallelogramms eine Rolle. Mit dem nachfolgenden Applet kannst du dich davon überzeugen, dass die behaupteten Teilverhältnisse tatsächlich von der Form des Parallelogramms unabhängig sind. Verschiebe dazu auf beliebige Weise den blauen Eckpunkt $C$ des Parallelogramms.
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Beweise, dass das Graffiti $3$ drei gleich große Teilflächen enthält und die drei anderen im Verhältnis $3\,:\,6\,:\,8$ stehen.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Parallelogramm
Für die Zerlegung des Parallelogramms $ABCD$ gilt:
Die Höhe $[h_a]$ wird durch $[EF]$ halbiert.
$\displaystyle \overline {DG}=\frac{3}{4}\cdot a\;\text{und}\;\overline {GC}= \frac{1}{4} \cdot a$
$\displaystyle \overline {EH}=\frac{5}{8} \cdot a\;\text{und}\; \overline{HF}=\frac{3}{8} \cdot a$
Hilfreiche Vorkenntnis zum Beweis:
Flächeninhalt des Trapezes
$\quad \quad$
Behauptung
Drei Flächenteile sind flächengleich, die restlichen stehen im Verhältnis
Der Beweis
Für $A_{Trapez\,HFCG}$ gilt:
$\begin {aligned}\displaystyle A_{Trapez}&=\frac{\frac{3}{8} \cdot a+ \frac{1}{4} \cdot a}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot h_a\\A_{Trapez}&= \frac{5}{32}\cdot (a\cdot h_a)=\color{red}{\frac{5}{32}}\cdot A_{P.gramm}\end {aligned}$
Für $A_{\triangle\,HGE}$ gilt:
$\displaystyle A_{\triangle\,HGE}=\frac {1}{2}\cdot\frac{5}{8}a\cdot (\frac{1}{2}h_a)=\color{red}{\frac{5}{32}}\cdot A_{P.gramm}$
Für $A_{\triangle\,AEH}$ gilt:
$\displaystyle A_{\triangle\,AEH}=\frac{1}{2}\cdot \frac{5}{8}a \cdot (\frac{1}{2}h_a) = \color{red}{\frac{5}{32}} \cdot A_{P.gramm}$
Damit sind die drei flächengleichen Teilflächen gefunden:
Das Trapez $HFCG$ (türkis) und die Dreiecke $HGE$ (orange) und $AEH$ (rot) sind flächengleich.
Für $A_{\triangle\,EGD}$ gilt:
$\displaystyle A_{\triangle\,EGD}=\frac{1}{2}\cdot \frac{3}{4}a \cdot(\frac{1}{2}h_a)=\color{red}{\frac{3}{16}}\cdot A_{P.gramm}$
Für $A_{\triangle\,ABH} gilt:$
$\displaystyle A_{\triangle\,ABH}=\frac{1}{2}\cdot a\cdot (\frac{1}{2}h_a)=\color{red}{\frac{1}{4}}\cdot A_{P.gramm}$
Für $A_{\triangle\ BFH}$ gilt:
$\displaystyle A_{\triangle\ BFH}=\frac{1}{2} \cdot\frac{3}{8}a \cdot (\frac{1}{2}h_a)= \color{red}{\frac{3}{32}} \cdot A_{P.gramm}$
Bringe zum direkten Vergleich der Dreiecke die Bruchteile
auf den gemeinsamen Nenner $32$ und ordne der Größe nach.
$\displaystyle A_{\triangle\, BFH}=\frac{3}{32} \cdot A_{P.gramm}\;<\; A_{\triangle\,EGD}=\frac{6}{32}\cdot A_{P.gramm}\;<\; A_{\triangle\,ABH}=\frac{8}{32}\cdot A_{P.gramm}$
Damit stehen die restlichen Dreiecke des Parallelogramms in folgendem Verhältnis:
Anmerkungen zum Beweis
Auf die Berechnung des Flächenteils des Trapezes kann man auch verzichten (wenn man z.B. die Flächenformel für das Trapez doch nicht kennt!), indem man die Flächenanteile aller fünf Dreiecke addiert und die Summe vom Flächenteil $1$ (des Parallelogramms) abzieht. Allerdings erkennt man auf diese Weise die drei gleich großen Flächen erst am Schluss.
Zum Beweis wird die Form und die Größe des Parallelogramms nicht benötigt. Am nachfolgenden Applet kannst du dich davon überzeugen, dass die behaupteten Flächenverhältnisse tatsächlich von der Form des Parallelogramms unabhängig sind. Verschiebe dazu auf beliebige Weise den blauen Eckpunkt $C$ des Parallelogramms.
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