Lösung 1c

Aufgabenstellung

%%1%% Gegeben ist die in %%\mathbb{R}%% definierte Funktion %%f: x \mapsto \; e^{\frac{1}{2}x}+e^{-\frac{1}{2}x}%%. Der Graph von %%f%% wird mit %%G_f%% bezeichnet.

%%a)%% Bestimmen Sie die Koordinaten des Schnittpunkts von %%G_f%% mit der %%y%%-Achse und begründen Sie, dass %%G_f%% oberhalb der %%x%%-Achse verläuft. (2 BE)
%%b)%% Ermitteln Sie das Symmetrieverhalten von %%G_f%% sowie das Verhalten von %%f%% für %%x \to -\infty%% und für %%x \to \infty%%. (3 BE)

%%c)%% Zeigen Sie, dass für die zweite Ableitung %%f''%% von %%f%% die Beziehung %%f''(x)=\frac{1}{4}\cdot f(x)%% für %%x\in \mathbb{R}%% gilt. Weisen Sie nach, dass %%G_f%% linksgekrümmt ist. (4 BE)

%%\rightarrow%% Zur Kontrolle: %%f'(x)=\frac{1}{2}\cdot\left(e^{\frac{1}{2}x}-e^{-\frac{1}{2}x}\right)%%

Lösung

Zweite Ableitung von %%f%%

Um die zweite Ableitung zu bestimmen, benötigst du zunächst die erste Ableitung. Beachte dazu die Ableitungsregeln.

%%f'(x)=e^{\frac{1}{2}x}\cdot \frac {1}{2} + e^{-\frac{1}{2}x}\cdot (-\frac {1}{2})%%

Fasse so weit wie möglich zusammen.

%%f'(x)=\frac {1}{2} \cdot e^{\frac{1}{2}x} -\frac {1}{2}\cdot e^{-\frac{1}{2}x}%%

Kannst du noch etwas ausklammern?

%%f'(x)=\frac{1}{2}\cdot\left(e^{\frac{1}{2}x}-e^{-\frac{1}{2}x}\right)%%

Damit bist du beim Kontrollergebnis.

Leite die Ableitung noch einmal ab. Beachte wieder die Ableitungsregeln.

%%f''(x)=\frac{1}{2}\cdot\left(e^{\frac{1}{2}x}\cdot\frac{1}{2} -e^{-\frac{1}{2}x}\cdot (-\frac{1}{2})\right)%%

Kannst du noch etwas ausklammern? Achte auf die Vorzeichen.

%%f''(x)=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}\cdot\left(e^{\frac{1}{2}x}+e^{-\frac{1}{2}x}\right)%%

%%f''(x)=\frac{1}{4}\cdot\left(e^{\frac{1}{2}x}+e^{-\frac{1}{2}x}\right)%%

In der Klammer steht die Funktionsgleichung von %%f(x)%%. Daraus folgt:

%%f''(x)=\frac{1}{4}\cdot f(x)%%

Linkskrümmung nachweisen

Damit eine Linkskrümmung vorliegt, muss die zweite Ableitung immer positiv sein.

%%f''(x)=\frac{1}{4}\cdot f(x)%%

Du hast schon gezeigt, dass die Funktion %%f(x)%% immer oberhalb der %%x%%-Achse verläuft, also gilt immer:

%%f(x)>0%%

Daraus folgt:

%%f''(x)=\frac{1}{4}\cdot f(x)>0%%

Und damit gilt dann auch:

%%\Rightarrow%% %%f%% ist linksgekrümmt

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