Lösung 1g

Aufgabenstellung

%%1%% Gegeben ist die in %%\mathbb{R}%% definierte Funktion %%f: x \mapsto \; e^{\frac{1}{2}x}+e^{-\frac{1}{2}x}%%. Der Graph von %%f%% wird mit %%G_f%% bezeichnet.

%%a)%% Bestimmen Sie die Koordinaten des Schnittpunkts von %%G_f%% mit der %%y%%-Achse und begründen Sie, dass %%G_f%% oberhalb der %%x%%-Achse verläuft. (2 BE)

%%b)%% Ermitteln Sie das Symmetrieverhalten von %%G_f%% sowie das Verhalten von %%f%% für %%x \to -\infty%% und für %%x \to \infty%%. (3 BE)

%%c)%% Zeigen Sie, dass für die zweite Ableitung %%f''%% von %%f%% die Beziehung %%f''(x)=\frac{1}{4}\cdot f(x)%% für %%x\in \mathbb{R}%% gilt. Weisen Sie nach, dass %%G_f%% linksgekrümmt ist. (4 BE)

%%\rightarrow%% Zur Kontrolle: %%f'(x)=\frac{1}{2}\cdot\left(e^{\frac{1}{2}x}-e^{-\frac{1}{2}x}\right)%%

%%d)%% Bestimmen Sie Lage und Art des Extrempunkts von %%G_f%%. (3 BE)

%%e)%% Berechnen Sie die Steigung der Tangente %%g%% an %%G_f%% im Punkt %%P(2|f(2))%% auf eine Dezimale genau. Zeichnen Sie den Punkt %%P%% und die Gerade %%g%% in ein Koordinatensystem ein (Platzbedarf im Hinblick auf das Folgende: %%-4\leq x\leq4%%, %%-1 \leq y \leq 9%%). (3 BE)

%%f)%% Berechnen Sie %%f(4)%%, im Hinblick auf eine der folgenden Aufgaben auf zwei Dezimalen genau, und zeichnen Sie unter Berücksichtigung der bisherigen Ergebnisse %%G_f%% im Bereich %%-4 \leq x \leq 4%% in das Koordinatensystem aus Aufgabe 1e ein. (4 BE)

%%g)%% Zeigen Sie durch Rechnung, dass für %%x \in \mathbb{R}%% die Beziehung %%\quad\frac{1}{4}\cdot [f(x)]^2-[f'(x)]^2=1%% gilt. (3 BE)

Lösung

Rechnung

Setze ein und vereinfache.

%%\begin{array}{ll}&& \frac{1}{4}\cdot [f(x)]^2-[f'(x)]^2\\ &=& \frac{1}{4}\cdot \left[e^{\frac{1}{2}x}+e^{-\frac{1}{2}x}\right]^2-\left[\frac{1}{2}\cdot\left(e^{\frac{1}{2}x}-e^{-\frac{1}{2}x}\right)\right]^2\\ \end{array}%%

Beachte, dass du jetzt die binomischen Formeln anwenden musst!

%%\begin{array}{ll}\\ &=& \frac{1}{4}\cdot \left[e^{\frac{1}{2}x}+e^{-\frac{1}{2}x}\right]^2-\left[\frac{1}{2}\cdot\left(e^{\frac{1}{2}x}-e^{-\frac{1}{2}x}\right)\right]^2\\ &=& \frac{1}{4}\cdot\left[(e^{\frac{1}{2}x})^2+2\cdot e^{\frac{1}{2}x} \cdot e^{-\frac{1}{2}x} + (e^{-\frac{1}{2}x} )^2\right]-\left[(\frac{1}{2})^2\cdot (e^{\frac{1}{2}x}-e^{-\frac{1}{2}x})^2\right]\\ &=&\frac{1}{4}\cdot\left[(e^{\frac{1}{2}x})^2+2\cdot e^{\frac{1}{2}x} \cdot e^{-\frac{1}{2}x} + (e^{-\frac{1}{2}x} )^2\right]-\left[\frac{1}{4}\cdot\left((e^{\frac{1}{2}x})^2-2\cdot e^{\frac{1}{2}x} \cdot e^{-\frac{1}{2}x} + (e^{-\frac{1}{2}x} )^2\right)\right] \end{array}%%

Überlege jetzt, wie sich die Exponenten zusammen addieren bzw. multiplizieren. Die Potenzgesetze helfen dir dabei.

%%\begin{array}{ll}&=&\frac{1}{4}\cdot\left[(e^{\frac{1}{2}x})^2+2\cdot e^{\frac{1}{2}x} \cdot e^{-\frac{1}{2}x} + (e^{-\frac{1}{2}x} )^2\right]-\left[\frac{1}{4}\cdot \left((e^{\frac{1}{2}x})^2-2\cdot e^{\frac{1}{2}x} \cdot e^{-\frac{1}{2}x} + (e^{-\frac{1}{2}x} )^2\right)\right]\\ &=& \frac{1}{4}\cdot\left[e^{x}+2\cdot e^{0} + e^{-x} \right]-\left[\frac{1}{4}\cdot \left(e^{x}-2\cdot e^{0} + e^{-x} \right)\right] \end{array}%%

Spätestens jetzt kannst du die %%\frac{1}{4}%% aus der zweiten Klammer herausziehen und ganz ausklammern.

%%\begin{array}{ll} &=& \frac{1}{4}\cdot\left[e^{x}+2\cdot e^{0} + e^{-x} -\left(e^{x}-2\cdot e^{0} + e^{-x} \right)\right]\\ &=& \frac{1}{4}\cdot\left[e^{x}+2\cdot e^{0} + e^{-x} -e^{x}+2\cdot e^{0} - e^{-x} \right] \end{array}%%

Spätestens jetzt kannst du wiederum die %%e^0%% durch %%1%% ersetzen. Vereinfache außerdem so weit wie möglich.

%%\begin{array}{ll} &=& \frac{1}{4}\cdot\left[e^{x}+2\cdot 1 + e^{-x} -e^{x}+2\cdot 1 - e^{-x} \right]\\ &=& \frac{1}{4}\cdot\left[2+2\right]\\ &=& \frac{1}{4}\cdot 4\\ &=& 1 \end{array}%%

Geschafft! :)
Damit ist die Gleichung gezeigt.

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