Aufgaben zur Bestimmung von Stammfunktionen

Notiere die Menge aller Stammfunktionen zur gegebenen Funktion.

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$f (x) = x^{2}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Stammfunktion finden
$f (x)$ $=$ $x^{2}$
$\int_{}^{} x^{n} d x$ $=$ $\frac{1}{n + 1} x^{n + 1} + C$
$F (x)$ $=$ $\frac{1}{3} x^{3} + C$ $(C \in ℝ)$
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$f (x) = 2 x^{2}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Stammfunktion finden
$f (x) = 2 x^{2}$
Integriere die Funktion $f$ .
1. Linearitätseigenschaft
↓
$\int_{}^{} 2 x^{2} d x$ $=$ $2 \int_{}^{} x^{2} d x$
↓
Beachte $\int x^{n} d x = \frac{1}{n + 1} x^{n + 1} + C$
$=$ $\frac{2}{3} x^{3} + C$
$F (x)$ $=$ $\frac{2}{3} x^{3} + C$ $(C \in ℝ)$
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$f (x) = x$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Stammfunktion finden
$f (x)$ $=$ $x$
↓
Integriere
$\int_{}^{} x d x$ $=$ $\frac{1}{2} x^{2} + C$
$F (x)$ $=$ $\frac{1}{2} x^{2} + C$ $(C \in ℝ)$
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$f (x) = - 2 x$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Stammfunktion finden
$f (x)$ $=$ $- 2 x$
↓
Integriere
$\int_{}^{} - 2 x d x$ $=$
↓
$ 1$ . Linearitätseigenschaft
$=$ $- 2 \int_{}^{} x d x$
↓
Beachte $\int x^{n} d x = \frac{1}{n + 1} x^{n + 1} + C$ mit $n = 1$
$=$ $- 2 \cdot \frac{1}{2} x^{2} + C$
↓
Fasse zusammen.
$F (x)$ $=$ $- x^{2} + C$ $(C \in ℝ)$
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$f (x) = \frac{1}{2} x^{2}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Stammfunktion finden
$f (x) = \frac{1}{2} x^{2}$
Integriere die Funktion $f$ :
1. Linearitätseigenschaft
↓
$\int_{}^{} \frac{1}{2} x^{2} d x$ $=$ $\frac{1}{2} \int_{}^{} x^{2} d x$
↓
Beachte, dass $\int_{}^{} x^{n} d x = \frac{1}{n + 1} x^{n + 1} + C$
$=$ $\frac{1}{2 \cdot 3} x^{3} + C$
$F (x)$ $=$ $\frac{1}{6} x^{3} + C$ $(C \in ℝ)$
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$f (x) = - \frac{1}{4} x$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Stammfunktion finden
$f (x) = - \frac{1}{4} x$
Integriere die Funktion $f$ :
1.Linearitätseigenschaft
↓
$\int_{}^{} - \frac{1}{4} x d x$ $=$ $- \frac{1}{4} \cdot \int_{}^{} x d x$
↓
Beachte, dass $\int_{}^{} x^{n} d x = \frac{1}{n + 1} x^{n + 1} + C$
$=$ $- \frac{1}{4 \cdot 2} x^{2} + C$
$F (x)$ $=$ $- \frac{1}{8} x^{2} + C$ $(C \in ℝ)$
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$f (x) = x^{3}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Stammfunktion finden
$f (x) = x^{3}$
Integriere die Funktion $f$ :
Beachte, dass $\int_{}^{} x^{n} d x = \frac{1}{n + 1} x^{n + 1} + C$
↓
$\int_{}^{} x^{3} d x$ $=$ $\frac{1}{4} x^{4} + C$
$F (x)$ $=$ $\frac{1}{4} x^{4} + C$ $(C \in ℝ)$
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$f (x) = 4 x^{3}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Stammfunktion finden
$f (x) = 4 x^{3}$
1.Linearitätseigenschaft
↓
$\int_{}^{} 4 x^{3} d x$ $=$ $4 \cdot \int_{}^{} x^{3} d x$
↓
Beachte, dass $\int_{}^{} x^{n} d x = \frac{1}{n + 1} x^{n + 1}$
$=$ $4 \cdot \frac{1}{4} x^{4} + C$
$F (x)$ $=$ $x^{4} + C$ $(C \in ℝ)$
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$f (x) = 2$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Stammfunktion finden
$f (x) = 2$
Integriere die Funktion $f$ :
1.Linearitätseigenschaft
↓
$\int_{}^{} 2 d x$ $=$ $2 \cdot \int_{}^{} x^{0} d x$
↓
Beachte, dass $\int_{}^{} x^{n} d x = \frac{1}{n + 1} x^{n + 1} + C$
$=$ $2 x + C$
$F (x)$ $=$ $2 x + C$ $(C \in ℝ)$
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$f (x) = x + 1$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Stammfunktion finden
$f (x) = x + 1$
Integriere die Funktion $f$ :
2. Linearitätseigenschaft
↓
$\int_{}^{} x + 1 d x$ $=$ $\int_{}^{} x d x + \int_{}^{} 1 d x$
↓
Beachte, dass $\int_{}^{} x^{n} d x = \frac{1}{n + 1} x^{n + 1} + C$
$=$ $\frac{1}{2} x^{2} + x + C$
$F (x)$ $=$ $\frac{1}{2} x^{2} + x + C$ $(C \in ℝ)$
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123mathe.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Rudolf Brinkmann
$f (x) = x^{2} + x - 3$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Stammfunktion finden
$f (x) = x^{2} + x - 3$
2.Linearitätseigenschaft
↓
$\int_{}^{} x^{2} + x - 3 d x$ $=$ $\int_{}^{} x^{2} d x + \int_{}^{} x d x - \int_{}^{} 3 d x$
↓
Beachte, dass $\int_{}^{} x^{n} d x = \frac{1}{n + 1} x^{n + 1} + C$
$=$ $\frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2} - 3 x + C$
$F (x)$ $=$ $\frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2} - 3 x + C$ $(C \in ℝ)$
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$f (x) = x^{n}; n \in ℕ$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Integral
$f (x)$ $=$ $x^{n}; n \in ℕ$
↓
Integriere
$\int_{}^{} x^{n} d x$ $=$ $\frac{1}{n + 1} x^{n + 1} + C$
$F (x)$ $=$ $\frac{1}{n + 1} x^{n + 1} + C$ $(C \in ℝ)$
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CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?

$f (x)$	$=$	$x^{2}$
$\int_{}^{} x^{n} d x$	$=$	$\frac{1}{n + 1} x^{n + 1} + C$
$F (x)$	$=$	$\frac{1}{3} x^{3} + C$	$(C \in ℝ)$

1. Linearitätseigenschaft
	↓
$\int_{}^{} 2 x^{2} d x$	$=$	$2 \int_{}^{} x^{2} d x$
	↓	Beachte $\int x^{n} d x = \frac{1}{n + 1} x^{n + 1} + C$
	$=$	$\frac{2}{3} x^{3} + C$
$F (x)$	$=$	$\frac{2}{3} x^{3} + C$	$(C \in ℝ)$

$f (x)$	$=$	$x$
	↓	Integriere
$\int_{}^{} x d x$	$=$	$\frac{1}{2} x^{2} + C$
$F (x)$	$=$	$\frac{1}{2} x^{2} + C$	$(C \in ℝ)$

$f (x)$	$=$	$- 2 x$
	↓	Integriere
$\int_{}^{} - 2 x d x$	$=$
	↓	$ 1$ . Linearitätseigenschaft
	$=$	$- 2 \int_{}^{} x d x$
	↓	Beachte $\int x^{n} d x = \frac{1}{n + 1} x^{n + 1} + C$ mit $n = 1$
	$=$	$- 2 \cdot \frac{1}{2} x^{2} + C$
	↓	Fasse zusammen.
$F (x)$	$=$	$- x^{2} + C$	$(C \in ℝ)$

1. Linearitätseigenschaft
	↓
$\int_{}^{} \frac{1}{2} x^{2} d x$	$=$	$\frac{1}{2} \int_{}^{} x^{2} d x$
	↓	Beachte, dass $\int_{}^{} x^{n} d x = \frac{1}{n + 1} x^{n + 1} + C$
	$=$	$\frac{1}{2 \cdot 3} x^{3} + C$
$F (x)$	$=$	$\frac{1}{6} x^{3} + C$	$(C \in ℝ)$

1.Linearitätseigenschaft
	↓
$\int_{}^{} - \frac{1}{4} x d x$	$=$	$- \frac{1}{4} \cdot \int_{}^{} x d x$
	↓	Beachte, dass $\int_{}^{} x^{n} d x = \frac{1}{n + 1} x^{n + 1} + C$
	$=$	$- \frac{1}{4 \cdot 2} x^{2} + C$
$F (x)$	$=$	$- \frac{1}{8} x^{2} + C$	$(C \in ℝ)$

Beachte, dass $\int_{}^{} x^{n} d x = \frac{1}{n + 1} x^{n + 1} + C$
	↓
$\int_{}^{} x^{3} d x$	$=$	$\frac{1}{4} x^{4} + C$
$F (x)$	$=$	$\frac{1}{4} x^{4} + C$	$(C \in ℝ)$

1.Linearitätseigenschaft
	↓
$\int_{}^{} 4 x^{3} d x$	$=$	$4 \cdot \int_{}^{} x^{3} d x$
	↓	Beachte, dass $\int_{}^{} x^{n} d x = \frac{1}{n + 1} x^{n + 1}$
	$=$	$4 \cdot \frac{1}{4} x^{4} + C$
$F (x)$	$=$	$x^{4} + C$	$(C \in ℝ)$

1.Linearitätseigenschaft
	↓
$\int_{}^{} 2 d x$	$=$	$2 \cdot \int_{}^{} x^{0} d x$
	↓	Beachte, dass $\int_{}^{} x^{n} d x = \frac{1}{n + 1} x^{n + 1} + C$
	$=$	$2 x + C$
$F (x)$	$=$	$2 x + C$	$(C \in ℝ)$

2. Linearitätseigenschaft
	↓
$\int_{}^{} x + 1 d x$	$=$	$\int_{}^{} x d x + \int_{}^{} 1 d x$
	↓	Beachte, dass $\int_{}^{} x^{n} d x = \frac{1}{n + 1} x^{n + 1} + C$
	$=$	$\frac{1}{2} x^{2} + x + C$
$F (x)$	$=$	$\frac{1}{2} x^{2} + x + C$	$(C \in ℝ)$

2.Linearitätseigenschaft
	↓
$\int_{}^{} x^{2} + x - 3 d x$	$=$	$\int_{}^{} x^{2} d x + \int_{}^{} x d x - \int_{}^{} 3 d x$
	↓	Beachte, dass $\int_{}^{} x^{n} d x = \frac{1}{n + 1} x^{n + 1} + C$
	$=$	$\frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2} - 3 x + C$
$F (x)$	$=$	$\frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2} - 3 x + C$	$(C \in ℝ)$

$f (x)$	$=$	$x^{n}; n \in ℕ$
	↓	Integriere
$\int_{}^{} x^{n} d x$	$=$	$\frac{1}{n + 1} x^{n + 1} + C$
$F (x)$	$=$	$\frac{1}{n + 1} x^{n + 1} + C$	$(C \in ℝ)$

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