Aufgaben zum Umgang mit Bruchtermen

Kürze vollständig.

$\dfrac{6f^4(gh)^5}{(2fg)^3h^2}$

$\dfrac{x^4-2x^3-15x^2+32x-16}{x^3-3x^2+3x-1}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Faktorisieren

Rate die erste Nullstelle. Kandidat $x = 1$

$\displaystyle \textstyle x^3-3x^2+3x-1$	$=$	$\displaystyle \textstyle1^3-3\cdot1^2+3\cdot1-1$
	$=$	$\displaystyle 1-3+3-1$
	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Polynomdivision durch $x - 1$ .
$\displaystyle (x^3-3x^2+3x-1):(x-1)$	$=$	$\displaystyle x^2-2x+1$
	↓	Berechne weitere Nullstellen
$\displaystyle x^2-2x+1$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Binomische Formel
$\displaystyle (x-1)^2$	$=$	$\displaystyle 0$
$\displaystyle x_1=x_2$	$=$	$\displaystyle 1$
$\displaystyle \textstyle x^3-3x^2+3x-1$	$=$	$\displaystyle \left(x-1\right)^3$

Rate die erste Nullstelle. Kandidat $x = 1$

$\displaystyle x^4-2x^3-15x^2+32x-16$	$=$	$\displaystyle \textstyle1^4-2\cdot1^3-15\cdot1^2+32\cdot1-16$
	$=$	$\displaystyle 1-2-15+32-16$
	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Polynomdivision durch $x - 1$ .
$\displaystyle \left(x^4-2x^3-15x^2+32x-16\right):\left(x-1\right)$	$=$	$\displaystyle \left(x^3-x^2-16x+16\right)$
	↓	Rate weitere Nullstelle. Kandidat wieder $x = 1$ .
$\displaystyle 1^3-1^2-16\cdot1+16$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Polynomdivision durch $x - 1$ .
$\displaystyle \left(x^3-x^2-16x+16\right):\left(x-1\right)$	$=$	$\displaystyle x^2-16$
	↓	Berechne weitere Nullstellen.
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle \pm4$
$\displaystyle x^4-2x^3-15x^2+32x-16$	$=$	$\displaystyle \left(x-1\right)^2\cdot\left(x+4\right)\cdot\left(x-4\right)$

$\displaystyle \frac{x^4-2x^3-15x^2+32x-16}{x^3-3x^2+3x-1}=\frac{(x-1)^2(x+4)(x-4)}{(x-1)^3}=\frac{(x+4)(x-4)}{(x-1)}$

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$\displaystyle \frac{2x+4x}{4}$	$=$	$\displaystyle \frac{6x}{4}$
	↓	Dividiere durch den gemeinsamen Teiler 2.
	$=$	$\displaystyle \frac{3x}{2}$