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Satz des Pythagoras

Beschriftung eines rechtwinkligen Dreiecks

Beschriftung eines rechtwinkligen Dreiecks

Der Satz des Pythagoras ist eine Gleichung mit den Seitenlängen eines rechtwinkligen Dreiecks.

Für die Länge der Kathete a, der Kathete b und der Hypotenuse c gilt:

In diesem Artikel lernst du, mit dem Satz des Pythagoras Seitenlängen im rechtwinkligen Dreieck auszurechnen.

VorsichtGilt der Satz des Pythagoras immer?
Ist das Dreieck nicht rechtwinklig, gilt der Satz des Pythagoras nicht.

Ist das Dreieck nicht rechtwinklig, gilt der Satz des Pythagoras nicht.

Die Formel

gilt nur bei rechtwinkligen Dreiecken, wobei cc die Hypotenuse ist!

Beispielrechnung für die Hypotenuse

Gegeben sind die beiden Katheten a=2a=2 und b=7b=7 eines rechtwinkligen Dreiecks.

Berechne die Hypotenuse cc.

c2\displaystyle c^2==22+72\displaystyle 2^2+7^2

Setze in den Satz des Pythagoras ein und rechne die rechte Seite aus.

c2\displaystyle c^2==4+49\displaystyle 4+49
==53\displaystyle 53\displaystyle \sqrt{ }

Ziehe die Wurzel

c\displaystyle c==53\displaystyle \sqrt{53}

Sieh das Video an, um dieses Beispiel vorgerechnet zu bekommen.

VorgehenWenn die Länge einer Kathete gesucht ist:
Rechtwinkliges Dreieck. Die Länge der Kathete  ist gesucht.

Rechtwinkliges Dreieck. Die Länge der Kathete aa ist gesucht.

Der Satz des Pythagoras kann verwendet werden, um beliebige Seitenlängen im Dreieck zu bestimmen.

a2+b2\displaystyle a^2+b^2==c2\displaystyle c^2

Einsetzen

a2+122\displaystyle a^2+12^2==132\displaystyle 13^2122\displaystyle -12^2
a2\displaystyle a^2==132122\displaystyle 13^2-12^2\displaystyle \sqrt{ }
a\displaystyle a==132122\displaystyle \sqrt{13^2-12^2}
==25\displaystyle \sqrt{25}
==5\displaystyle 5

Pythagoras beschreibt auch Flächengleichheit

Für jede positive Zahl aa beschreibt a2a^2 die Fläche eines Quadrates mit der Seitenlänge aa. Genauso kann man sich b2b^2 und c2c^2 als Fläche von Quadraten vorstellen.

Der Satz des Pythagoras gibt somit auch einen Zusammenhang der Flächen über den Katheten und der Hypotenuse in einem rechtwinkligen Dreieck an. Anschaulich kann man dies an folgenden Applet erkennen.

In einem rechtwinkligen Dreieck ist die Summe der Flächen über den Katheten gleich groß wie die Fläche des Quadrats über der Hypotenuse.

Anwendungen

Rechtwinklige Dreiecke kommen sehr häufig vor. Damit hat der Satz des Pythagoras sehr viele Anwendungen.

Beispiele aus der Praxis

  1. Berechnung von Streckenlängen in Figuren

  2. Berechnungen in Körpern im Raum

  3. Konstruieren von rechten Winkeln mit dem Dreieck 3453-4-5, z. B. beim Schreinern.

Als Hilfsmittel im Koordinatensystem

Mathematische Spielereien

  • Wurzelschnecke (zum exakten Zeichnen von Strecken der Längen 2,3,\sqrt{2}, \sqrt{3}, …)

Übungsaufgaben: Satz des Pythagoras

Weitere Aufgaben zum Thema findest du im folgenden Aufgabenordner:
Aufgaben zur Satzgruppe des Pythagoras

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