Satz des Pythagoras

Der Satz des Pythagoras ist eine Gleichung mit den Seitenlängen eines rechtwinkligen Dreiecks.

Für die Länge der Kathete a, der Kathete b und der Hypotenuse c gilt:

\displaystyle \LARGE \color{royalblue} a^2~\color{black}+~\color{darkgreen}b^2~\color{black}=~\color{darkorange} c^2

In diesem Artikel lernst du, mit dem Satz des Pythagoras Seitenlängen im rechtwinkligen Dreieck auszurechnen.

Beschriftung eines rechtwinkligen Dreiecks

Ist das Dreieck nicht rechtwinklig, gilt der Satz des Pythagoras nicht. — VorsichtGilt der Satz des Pythagoras immer?

Beispielrechnung für die Hypotenuse

Gegeben sind die beiden Katheten $a=2$ und $b=7$ eines rechtwinkligen Dreiecks.

Berechne die Hypotenuse $c$ .

$\displaystyle c^2$	$=$	$\displaystyle 2^2+7^2$
	↓	Setze in den Satz des Pythagoras ein und rechne die rechte Seite aus.
$\displaystyle c^2$	$=$	$\displaystyle 4+49$
	$=$	$\displaystyle 53$	$\displaystyle \sqrt{ }$
	↓	Ziehe die Wurzel
$\displaystyle c$	$=$	$\displaystyle \sqrt{53}$

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[https://youtu.be/QQOZRFij0ac]

Sieh das Video an, um dieses Beispiel vorgerechnet zu bekommen.

VorgehenWenn die Länge einer Kathete gesucht ist:

Der Satz des Pythagoras kann verwendet werden, um beliebige Seitenlängen im Dreieck zu bestimmen.

$\displaystyle a^2+b^2$	$=$	$\displaystyle c^2$
	↓	Einsetzen
$\displaystyle a^2+12^2$	$=$	$\displaystyle 13^2$	$\displaystyle -12^2$
$\displaystyle a^2$	$=$	$\displaystyle 13^2-12^2$	$\displaystyle \sqrt{ }$
$\displaystyle a$	$=$	$\displaystyle \sqrt{13^2-12^2}$
	$=$	$\displaystyle \sqrt{25}$
	$=$	$\displaystyle 5$

Rechtwinkliges Dreieck. Die Länge der Kathete $a$ ist gesucht.

Pythagoras beschreibt auch Flächengleichheit

Für jede positive Zahl $a$ beschreibt $a^2$ die Fläche eines Quadrates mit der Seitenlänge $a$ . Genauso kann man sich $b^2$ und $c^2$ als Fläche von Quadraten vorstellen.

Der Satz des Pythagoras gibt somit auch einen Zusammenhang der Flächen über den Katheten und der Hypotenuse in einem rechtwinkligen Dreieck an. Anschaulich kann man dies an folgenden Applet erkennen.

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In einem rechtwinkligen Dreieck ist die Summe der Flächen über den Katheten gleich groß wie die Fläche des Quadrats über der Hypotenuse.

Anwendungen

Rechtwinklige Dreiecke kommen sehr häufig vor. Damit hat der Satz des Pythagoras sehr viele Anwendungen.

Beispiele aus der Praxis

Berechnung von Streckenlängen in Figuren
Berechnungen in Körpern im Raum
Konstruieren von rechten Winkeln mit dem Dreieck $3-4-5$ , z. B. beim Schreinern.

Als Hilfsmittel im Koordinatensystem

Berechnung des Abstandes zweier Punkte

Mathematische Spielereien

Wurzelschnecke (zum exakten Zeichnen von Strecken der Längen $\sqrt{2}, \sqrt{3}, …$ )

Übungsaufgaben: Satz des Pythagoras

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