test

Einsetzungsverfahren: Eine Gleichung lässt sich leicht nach einer Variablen auflösen.

$\begin{array}{cccccc}\mathrm{I}& 3x& +& 6y& =& 33\\ \mathrm{II}& 2x& -& 2& =& y\end{array}$

$\begin{array}{cccccc}\mathrm{I}& 5y& -& 3x& =& 1\\ \mathrm{II}& x& =& y& +& 1\end{array}$

$\begin{array}{cccccc}\mathrm{I}& 4x& +& 2y& =& 4\\ \mathrm{II}& 6x& -& 3y& =& -3\end{array}$

Gleichsetzungsverfahren: Beide Gleichungen lassen sich leicht nach der gleichen Variable auflösen.

$\begin{array}{cccccc}\mathrm{I}& s& =& 4t& -& 7\\ \mathrm{II}& s& =& -2& +& 3t\end{array}$

$\begin{array}{cccccc}\mathrm{I}& 3x& +& 4& =& 2y\\ \mathrm{II}& 4y& =& 2x& +& 10\end{array}$

Additionsverfahren: Wenn man die beiden Gleichungen addiert/subtrahiert, fällt eine Variable weg.

$\begin{array}{cccccc}\mathrm{I}& 2a& -& 2b& =& 6\\ \mathrm{II}& 3a& +& 2b& =& 34\end{array}$

$\begin{array}{cccccc}\mathrm{I}& y& -& 3x& =& 1\\ \mathrm{II}& x& +& y& =& 1\end{array}$

Hier bietet sich das Einsetzungsverfahren an, weil $\mathrm{II}$ schon nach $\mathrm{y}$ aufgelöst ist.

Wir können also direkt $\mathrm{y}$ in $\mathrm{I}$ einsetzen:

$\begin{array}{rcccccc}3x& +& 6(2x& -& 2)& =& 33\\ 3x& +& 12x& -& 12& =& 33\\ 15x& -& 12& =& 33& |+12& \\ 15x& =& 45& |:15& & & \\ x& =& 3& & & & \end{array}$

Jetzt setzen wir $x=3$ in $\mathrm{II}$ ein:

$\begin{array}{rcccc}2\cdot 3& -& 2& =& y\\ 4& =& y& & \end{array}$

Antwort: Die Lösung ist also $x=3$ und $y=4$.

Hier bietet sich das Gleichsetzungsverfahren an, weil beide Gleichungen bereits nach $\mathrm{s}$ aufgelöst sind. Man kann also direkt $\mathrm{I}$ und $\mathrm{II}$ gleichsetzen:

$\begin{array}{rccccccc}4t& -& 7& =& -2& +& 3t& |+7\\ 4t& =& 5& +& 3t& |-3t& & \\ t& =& 5& & & & & \end{array}$

Jetzt können wir $t=5$ in eine der beiden Gleichungen einsetzen. Welche man wählt ist egal.

Wir setzen $t=5$ in $\mathrm{I}$ ein:

$\begin{array}{rcccc}s& =& 4\cdot 5& -& 7\\ s& =& 13& & \end{array}$

Antwort: Die Lösung ist also $s=13$ und $t=5$.

In diesem Fall bietet sich das Additionsverfahren an, weil in beiden Gleichungen $2\mathrm{b}$ vorkommt.

Wir rechnen also $\mathrm{I}+\mathrm{II}$:

$\begin{array}{llrllll}& I)& \phantom{-}2a& -& 2b& =& 6\\ +& II)& 3a& +& 2b& =& 34\\ & A)& \phantom{-}5a& & & =& 40\end{array}$

Jetzt können wir $\mathrm{A})$ nach $\mathrm{a}$ auflösen:

$\begin{array}{rccc}5a& =& 40& |:5\\ x& =& 8& \end{array}$

Jetzt können wir $\mathrm{a}=8$ in $\mathrm{I}$ oder in $\mathrm{II}$ einsetzen. Welche Gleichung man wählt ist egal. Wir setzen $\mathrm{a}=8$ in $\mathrm{I}$ ein und erhalten:

$\begin{array}{rcccc}2\cdot 8& -& 2b& =& 6\\ 16& -& 2b& =& 6& |-16\\ -2b& =& -10& |:(-2)& \\ b& =& 5& & \end{array}$

Antwort: Die Lösung ist $a=8$ und $b=5$.

In diesem Fall ist das Einsetzungsverfahren sinnvoll, da die zweite Gleichung bereits nach einer Variablen aufgelöst ist. Setze also $\mathrm{II}$ in $\mathrm{I}$ ein:

${\mathrm{I}}^{\prime }5y-3(y+1)=1$

Löse ${\text{I}}^{\prime }$nach $y$ auf.

$\begin{array}{rccc}5y-3y-3& =& 1& \\ 2y-3& =& 1& |+3\\ 2y& =& 4& |:2\\ y& =& 2& \end{array}$

Nun kannst du $y=2$ in $\mathrm{II}$ einsetzen und nach $x$ auflösen.

$\begin{array}{rccc}5\cdot 2-3x& =& 1& |-10\\ -3x& =& -9& |:(-3)\\ x& =& 3& \end{array}$

Antwort: Die Lösung ist x = 3 und y = 2.

In diesem Fall bietet sich das Additionsverfahren an, weil in beiden Gleichungen $\mathrm{y}$ vorkommt.

Wir rechnen also $\mathrm{I}+\mathrm{II}$:

$\begin{array}{llrl}& I)& \phantom{-}y-3x& =1\\ -& II)& y+x& =1\\ & A)& \phantom{-2x+}-4x& =0\end{array}$

Jetzt können wir $\mathrm{A})$ nach $\mathrm{x}$ auflösen:

$\begin{array}{rccc}-4x& =& 0& |:(-4)\\ x& =& 0& \end{array}$

Jetzt können wir $\mathrm{x}=0$ in $\mathrm{I}$ oder in $\mathrm{II}$ einsetzen. Welche Gleichung man wählt ist egal. Wir setzen $\mathrm{x}=0$ in $\mathrm{I}$ ein und erhalten:

$\begin{array}{rcccc}0& +& y& =& 1\\ & & y& =& 1\end{array}$

Antwort: Die Lösung ist x = 0 und y = 1.

Hier bietet sich das Einsetzungsverfahren an, weil man leicht nach einer Variable auflösen kann.

Wir lösen $\mathrm{I}$ nach $\mathrm{y}$ auf:

$\begin{array}{rccccc}4x& +& 2y& =& 4& |-4x\\ 2y& =& 4& -& 4x& |:2\\ y& =& 2& -& 2x& \end{array}$

Jetzt können wir $\mathrm{y}$ in $\mathrm{II}$ einsetzen:

$\begin{array}{rcccccc}6x& -& 3(2& -& 2x)& =& -3\\ 6x& -& 6& +& 6x& =& -3\\ 12x& -& 6& =& -3& |& +6\\ 12x& =& 3& |:12& & & \\ x& =& {\displaystyle \frac{1}{4}}& & & & \end{array}$

Jetzt setzen wir $\mathrm{x}$ in $\mathrm{II}$ ein:

$\begin{array}{rcccc}6\cdot {\displaystyle \frac{1}{4}}& -& 3y& =& -3\\ {\displaystyle \frac{3}{2}}& -& 3y& =& -3& |& -{\displaystyle \frac{3}{2}}\\ -3y& =& -{\displaystyle \frac{9}{2}}& |:(-3)& \\ y& =& {\displaystyle \frac{3}{2}}& & \end{array}$

Antwort: Die Lösung ist also $x={\displaystyle \frac{1}{4}}$ und $y={\displaystyle \frac{3}{2}}$.

Hier bietet sich das Gleichsetzungsverfahren an, weil $\mathrm{I}$ nach $2\mathrm{y}$ aufgelöst ist. $\mathrm{II}$ kann man leicht auch nach $2\mathrm{y}$ auflösen:

$\begin{array}{rccccc}4y& =& 2x& +& 10& |:2\\ 2y& =& x& +& 5& \end{array}$

Jetzt setzen wir die beiden Gleichungen gleich:

$\begin{array}{rccccccc}3x& +& 4& =& x& +& 5& |-x\\ 2x& +& 4& =& 5& |-4& & \\ 2x& =& 1& |:2& & & & \\ x& =& {\displaystyle \frac{1}{2}}& & & & & \end{array}$

Jetzt können wir $x={\displaystyle \frac{1}{2}}$ in eine der beiden Gleichungen einsetzen. Welche man wählt ist egal.

Wir setzen $x={\displaystyle \frac{1}{2}}$ in $\mathrm{I}$ ein:

$\begin{array}{rcccc}3\cdot {\displaystyle \frac{1}{2}}& +& 4& =& 2y\\ {\displaystyle \frac{11}{2}}& =& 2y& |:2& \\ {\displaystyle \frac{11}{4}}& =& y& & \end{array}$

Antwort: Die Lösung ist also $x={\displaystyle \frac{1}{2}}$ und $y={\displaystyle \frac{11}{4}}$.

In diesem Fall ist das Einsetzungsverfahren sinnvoll, da die zweite Gleichung bereits nach einer Variablen aufgelöst ist. Setze also $\mathrm{II}$ in $\mathrm{I}$ ein:

Antwort: Die Lösung ist x = 3 und y = 2.

In diesem Fall bietet sich das Additionsverfahren an, weil in beiden Gleichungen $\mathrm{y}$ vorkommt.

Wir rechnen also $\mathrm{I}+\mathrm{II}$:

$\begin{array}{llrl}& I)& \phantom{-}y-3x& =1\\ -& II)& y+x& =1\\ & A)& \phantom{-2x+}-4x& =0\end{array}$

Jetzt können wir $\mathrm{A})$ nach $\mathrm{x}$ auflösen:

$\begin{array}{rccc}-4x& =& 0& |:(-4)\\ x& =& 0& \end{array}$

Jetzt können wir $\mathrm{x}=0$ in $\mathrm{I}$ oder in $\mathrm{II}$ einsetzen. Welche Gleichung man wählt ist egal. Wir setzen $\mathrm{x}=0$ in $\mathrm{I}$ ein und erhalten:

$\begin{array}{rcccc}0& +& y& =& 1\\ & & y& =& 1\end{array}$

Antwort: Die Lösung ist x = 0 und y = 1.

Hier bietet sich das Einsetzungsverfahren an, weil man leicht nach einer Variable auflösen kann.

Wir lösen $\mathrm{I}$ nach $\mathrm{y}$ auf:

$\begin{array}{rccccc}4x& +& 2y& =& 4& |-4x\\ 2y& =& 4& -& 4x& |:2\\ y& =& 2& -& 2x& \end{array}$

Jetzt können wir $\mathrm{y}$ in $\mathrm{II}$ einsetzen:

$\begin{array}{rcccccc}6x& -& 3(2& -& 2x)& =& -3\\ 6x& -& 6& +& 6x& =& -3\\ 12x& -& 6& =& -3& |& +6\\ 12x& =& 3& |:12& & & \\ x& =& {\displaystyle \frac{1}{4}}& & & & \end{array}$

Jetzt setzen wir $\mathrm{x}$ in $\mathrm{II}$ ein:

$\begin{array}{rcccc}6\cdot {\displaystyle \frac{1}{4}}& -& 3y& =& -3\\ {\displaystyle \frac{3}{2}}& -& 3y& =& -3& |& -{\displaystyle \frac{3}{2}}\\ -3y& =& -{\displaystyle \frac{9}{2}}& |:(-3)& \\ y& =& {\displaystyle \frac{3}{2}}& & \end{array}$

Antwort: Die Lösung ist also $x={\displaystyle \frac{1}{4}}$ und $y={\displaystyle \frac{3}{2}}$.

Hier bietet sich das Gleichsetzungsverfahren an, weil $\mathrm{I}$ nach $2\mathrm{y}$ aufgelöst ist. $\mathrm{II}$ kann man leicht auch nach $2\mathrm{y}$ auflösen:

$\begin{array}{rccccc}4y& =& 2x& +& 10& |:2\\ 2y& =& x& +& 5& \end{array}$

Jetzt setzen wir die beiden Gleichungen gleich:

$\begin{array}{rccccccc}3x& +& 4& =& x& +& 5& |-x\\ 2x& +& 4& =& 5& |-4& & \\ 2x& =& 1& |:2& & & & \\ x& =& {\displaystyle \frac{1}{2}}& & & & & \end{array}$

Jetzt können wir $x={\displaystyle \frac{1}{2}}$ in eine der beiden Gleichungen einsetzen. Welche man wählt ist egal.

Wir setzen $x={\displaystyle \frac{1}{2}}$ in $\mathrm{I}$ ein:

$\begin{array}{rcccc}3\cdot {\displaystyle \frac{1}{2}}& +& 4& =& 2y\\ {\displaystyle \frac{11}{2}}& =& 2y& |:2& \\ {\displaystyle \frac{11}{4}}& =& y& & \end{array}$

Antwort: Die Lösung ist also $x={\displaystyle \frac{1}{2}}$ und $y={\displaystyle \frac{11}{4}}$.

Graphisches Lösen

Um das Gleichungssystem graphisch lösen zu können, kannst du die einzelnen Geichungen nach $y$ auflösen und in ein Koordinatensystem einzeichnen. Anschließend brauchst du nur noch die Koordinaten des Schnittpunktes beider Geraden abzulesen.

$\begin{array}{ccccc}\mathrm{I}& y-3x& =& 1& |+3x\\ \mathrm{I}& y& =& 3x+1& \\ \mathrm{II}& x+y& =& 1& |-x\\ \mathrm{II}& y& =& -x+1& \end{array}$

Der Schnittpunkt liegt bei $x=0$ und $y=1$.

Rechnerisches Lösen

In diesem Fall bietet sich das Gleichsetzungsverfahren an, da du zum graphischen Lösen bereits beide Gleichungen nach $y$ aufgelöst hast.

$\begin{array}{cccc}\mathrm{I}& y& =& 3x+1\\ \mathrm{II}& y& =& -x+1\end{array}$

Setze $\mathrm{I}$ und $\mathrm{II}$ gleich und löse nach $x$ auf.

$\begin{array}{rccc}3x+1& =& -x+1& |-1\\ 3x& =& -x& |+x\\ 4x& =& 0& |:4\\ x& =& 0& \end{array}$

Setze den erhaltenen Wert für $x$ in eine der Gleichungen ein, z.B in $\mathrm{II}$.

$y=0+1=1$

Antwort: Die Lösung ist $x=0$ und $y=1$.

Graphisches Lösen

Um das Gleichungssystem graphisch lösen zu können, kannst du die einzelnen Gleichungen nach $y$ auflösen und in ein Koordinatensystem einzeichnen. Anschließend brauchst du nur noch die Koordinaten des Schnittpunktes beider Geraden abzulesen.

$\begin{array}{ccccccc}\mathrm{I}& 3y& +& 6x& =& 6& |-6x\\ \mathrm{I}& 3y& =& 6& -& 6x& |:3\\ \mathrm{I}& y& =& 2& -& 2x& \\ & & & & & & \\ \mathrm{II}& x& -& y& =& 1& |-x\\ \mathrm{II}& -y& =& -x& +& 1& |\cdot (-1)\\ \mathrm{II}& y& =& x& -& 1& \end{array}$

Der Schnittpunkt liegt bei $x=1$ und $y=0$.

Rechnerisches Lösen

In diesem Fall bietet sich das Gleichsetzungsverfahren an, da du zum graphischen Lösen bereits beide Gleichungen nach $y$ aufgelöst hast.

$\begin{array}{cccccc}\mathrm{I}& y& =& -2x& +& 2\\ \mathrm{II}& y& =& x& -& 1\end{array}$

Setze $\mathrm{I}$ und $\mathrm{II}$ gleich und löse nach $x$ auf.

$\begin{array}{rccccccc}-2x& +& 2& =& x& -& 1& |+2x\\ & & 2& =& 3x& -& 1& |+1\\ & & 3& =& 3x& |:3& & \\ & & 1& =& x& & & \end{array}$

Setze den erhaltenen Wert für $x$ in eine der Gleichungen ein, z.B in $\mathrm{II}$.

$\begin{array}{ccccccc}y& =& 1& -& 1& =& 0\end{array}$

Antwort: Die Lösung ist $x=1$ und $y=0$.

Graphisches Lösen

Um das Gleichungssystem graphisch lösen zu können, kannst du die einzelnen Geichungen nach $y$ auflösen und in ein Koordinatensystem einzeichnen. Anschließend brauchst du nur noch die Koordinaten des Schnittpunktes beider Geraden abzulesen.

$\begin{array}{ccccccc}\mathrm{I}& 4x& -& 2y& =& 2& |-4x\\ \mathrm{I}& & & -2y& =& -4x& +& 2& |:(-2)\\ \mathrm{I}& & & y& =& 2x& -& 1\\ & & & & & & \\ \mathrm{II}& -4& -& 2y& =& -6x& |+4\\ \mathrm{II}& & & -2y& =& -6x& +& 4& |:(-2)\\ \mathrm{II}& & & y& =& 3x& -& 2\end{array}$

Der Schnittpunkt liegt bei $x=1$ und $y=1$.

Rechnerisches Lösen

In diesem Fall bietet sich das Gleichsetzungsverfahren an, da du zum graphischen Lösen bereits beide Gleichungen nach $y$ aufgelöst hast.

$\begin{array}{cccccc}\mathrm{I}& y& =& 2x& -& 1\\ \mathrm{II}& y& =& 3x& -& 2\end{array}$

Setze $\mathrm{I}$ und $\mathrm{II}$ gleich und löse nach $x$ auf.

$\begin{array}{rccccccc}2x& -& 1& =& 3x& -& 2& |+1\\ 2x& =& 3x& -& 1& |-3x& & \\ -x& =& -1& |:(-1)& & & & \\ x& =& 1& & & & & \end{array}$

Setze den erhaltenen Wert für $x$ in eine der Gleichungen ein, z.B in $\mathrm{I}$.

$\begin{array}{cccccccccc}\mathrm{I}& y& =& 2& \cdot & 1& -& 1& =& 1\end{array}$

Antwort: Die Lösung ist $x=1$ und $y=1$.