test

1
Teste dein Wissen! Mit welchem Verfahren ist es sinnvoll, die folgenden Gleichungssysteme zu lösen?
2
Wie lassen sich die Gleichungssysteme am besten lösen?
a) Ordne die Gleichungssysteme dem am besten geeigneten Verfahren zu.
b)-h) Löse nun die Gleichungssysteme mit den gewählten Verfahren.
1. Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lineare Gleichungssysteme
  Einsetzungsverfahren: Eine Gleichung lässt sich leicht nach einer Variablen auflösen.
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{}\mathrm{I}&3x&+&6y&=&33\\\mathrm{II}&2x&-&2&=&y\end{array}$
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{ccccc}\mathrm{I}&5y& -& 3x& =& 1\\\mathrm{II}& x &=& y& +& 1\end{array}$
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{ccccc}\mathrm{I}&4x& +& 2y& =& 4\\\mathrm{II}& 6x &-& 3y &=& -3\end{array}$
  Gleichsetzungsverfahren: Beide Gleichungen lassen sich leicht nach der gleichen Variable auflösen.
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{}\mathrm{I}&s&=&4t&-&7\\\mathrm{II}&s&=&-2&+&3t\end{array}$
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{ccccc}\mathrm{I}&3x& +& 4& =& 2y\\\mathrm{II}& 4y &=& 2x &+& 10\end{array}$
  Additionsverfahren: Wenn man die beiden Gleichungen addiert/subtrahiert, fällt eine Variable weg.
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{}\mathrm{I}&2a&-&2b&=&6\\\mathrm{II}&3a&+&2b&=&34\end{array}$
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{ccccc}\mathrm{I}&y& -& 3x& =& 1\\\mathrm{II}& x &+& y &=& 1\end{array}$
  Hast du eine Frage oder Feedback?
  Kommentiere hier 👉
  Verwende das Einsetzungsverfahren, wenn sich eine Gleichung leicht nach einer Variablen auflösen lässt.
  Verwende das Gleichsetzungsverfahren, wenn sich beide Gleichungen leicht nach der gleichen Variablen auflösen lassen.
  Verwende das Additionsverfahren, wenn man beide Gleichungen addieren/subtrahieren kann und dadurch eine Variable wegfällt.
2. $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{}\mathrm{I}&3x&+&6y&=&33\\\mathrm{II}&2x&-&2&=&y\end{array}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Einsetzungsverfahren
  Hier bietet sich das Einsetzungsverfahren an, weil $\mathrm{II}$ schon nach $\mathrm{y}$ aufgelöst ist.
  Wir können also direkt $\mathrm{y}$ in $\mathrm{I}$ einsetzen:
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcccc}3x&+&6(2x&-&2)&=&33\\3x&+&12x&-&12&=&33\\15x&-&12&=&33&|+12\\15x&=&45&|:15\\x&=&3\end{array}$
  Jetzt setzen wir $x = 3$ in $\mathrm{II}$ ein:
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcccc}2\cdot3&-&2&=&y\\4&=&y\end{array}$
  Antwort: Die Lösung ist also $x = 3$ und $y = 4$ .
  Hast du eine Frage oder Feedback?
  Kommentiere hier 👉
  Löse das Gleichungssystem mit dem Einsetzungsverfahren.
  Setze $(I I)$ in $(I)$ ein.
3. $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{}\mathrm{I}&s&=&4t&-&7\\\mathrm{II}&s&=&-2&+&3t\end{array}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gleichsetzungsverfahren
  Hier bietet sich das Gleichsetzungsverfahren an, weil beide Gleichungen bereits nach $\mathrm{s}$ aufgelöst sind. Man kann also direkt $\mathrm{I}$ und $\mathrm{II}$ gleichsetzen:
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcccc}4t&-&7&=&-2&+&3t&|+7\\4t&=&5&+&3t&|-3t\\t&=&5\end{array}$
  Jetzt können wir $t = 5$ in eine der beiden Gleichungen einsetzen. Welche man wählt ist egal.
  Wir setzen $t = 5$ in $\mathrm{I}$ ein:
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcccc}s&=&4\cdot5&-&7\\s&=&13\end{array}$
  Antwort: Die Lösung ist also $s = 13$ und $t = 5$ .
  Hast du eine Frage oder Feedback?
  Kommentiere hier 👉
  Löse das Gleichungssystem mit dem Gleichsetzungsverfahren.
  Setze $(I) = (I I)$
4. $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{}\mathrm{I}&2a&-&2b&=&6\\\mathrm{II}&3a&+&2b&=&34\end{array}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Additionsverfahren
  In diesem Fall bietet sich das Additionsverfahren an, weil in beiden Gleichungen $\mathrm{2b}$ vorkommt.
  Wir rechnen also $\mathrm{I} + \mathrm{II}$ :
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{llrl}&I)&\phantom{-}2a&-&2b&=&6\\+&II)&3a&+&2b&=&34\\\hline&A)&\phantom-5a&&&=&40\end{array}$
  Jetzt können wir $\mathrm{A)}$ nach $\mathrm{a}$ auflösen:
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcccc}5a&=&40&|:5\\x&=&8\end{array}$
  Jetzt können wir $\mathrm{a=8}$ in $\mathrm{I}$ oder in $\mathrm{II}$ einsetzen. Welche Gleichung man wählt ist egal. Wir setzen $\mathrm{a=8}$ in $\mathrm{I}$ ein und erhalten:
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcccc}2\cdot8&-&2b&=&6\\16&-&2b&=&6&|-16\\-2b&=&-10&|:(-2)\\b&=&5\end{array}$
  Antwort: Die Lösung ist $a = 8$ und $b = 5$ .
  Hast du eine Frage oder Feedback?
  Kommentiere hier 👉
  Löse das Gleichungssystem mit dem Additionsverfahren.
  Rechne $(I) + (I I)$ .
5. $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{ccccc}\mathrm{I}&5y& -& 3x& =& 1\\\mathrm{II}& x &=& y& +& 1\end{array}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Einsetzungsverfahren
  In diesem Fall ist das Einsetzungsverfahren sinnvoll, da die zweite Gleichung bereits nach einer Variablen aufgelöst ist. Setze also $\mathrm{II}$ in $\mathrm{I}$ ein:
  $\mathrm{I}'\quad5y-3\left(y+1\right)=1$
  Löse $\text{I}'$ nach $y$ auf.
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcccc}5y-3y-3&=&1&\\2y-3&=&1&|+3\\2y&=&4&|:2\\y&=&2\end{array}$
  Nun kannst du $y = 2$ in $\mathrm{II}$ einsetzen und nach $x$ auflösen.
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcccc}5\cdot2-3x&=&1&|-10\\-3x&=&-9&|:(-3)\\x&=&3\end{array}$
  Antwort: Die Lösung ist x = 3 und y = 2.
  Hast du eine Frage oder Feedback?
  Kommentiere hier 👉
  Löse das Gleichungssystem mit dem Einsetzungsverfahren.
  Setze $I I$ in $I$ ein.
6. $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{ccccc}\mathrm{I}&y& -& 3x& =& 1\\\mathrm{II}& x &+& y &=& 1\end{array}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Additionsverfahren
  In diesem Fall bietet sich das Additionsverfahren an, weil in beiden Gleichungen $\mathrm{y}$ vorkommt.
  Wir rechnen also $\mathrm{I} + \mathrm{II}$ :
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{llrl}&I)&\phantom{-}y-3x&=1\\-&II)&y+x&=1\\\hline&A)&\phantom{-2x+}-4x&=0\end{array}$
  Jetzt können wir $\mathrm{A)}$ nach $\mathrm{x}$ auflösen:
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcccc}-4x&=&0&|:(-4)\\x&=&0\end{array}$
  Jetzt können wir $\mathrm{x=0}$ in $\mathrm{I}$ oder in $\mathrm{II}$ einsetzen. Welche Gleichung man wählt ist egal. Wir setzen $\mathrm{x=0}$ in $\mathrm{I}$ ein und erhalten:
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcccc}0&+&y&=&1\\{}&&y&=&1\end{array}$
  Antwort: Die Lösung ist x = 0 und y = 1.
  Hast du eine Frage oder Feedback?
  Kommentiere hier 👉
  Löse das Gleichungssystem mit dem Additionsverfahren.
  Rechne $\mathrm{I} + \mathrm{II}$ .
7. $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{ccccc}\mathrm{I}&4x& +& 2y& =& 4\\\mathrm{II}& 6x &-& 3y &=& -3\end{array}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Einsetzungsverfahren
  Hier bietet sich das Einsetzungsverfahren an, weil man leicht nach einer Variable auflösen kann.
  Wir lösen $\mathrm{I}$ nach $\mathrm{y}$ auf:
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcccc}4x&+&2y&=&4&|-4x\\2y&=&4&-&4x&|:2\\y&=&2&-&2x\end{array}$
  Jetzt können wir $\mathrm{y}$ in $\mathrm{II}$ einsetzen:
  $\def\arraystretch{2} \begin{array}{rcccc}6x&-&3(2&-&2x)&=&-3\\6x&-&6&+&6x&=&-3\\12x&-&6&=&-3&|&+6\\12x&=&3&|:12\\x&=&\dfrac{1}{4}\end{array}$
  Jetzt setzen wir $\mathrm{x}$ in $\mathrm{II}$ ein:
  $\def\arraystretch{2} \begin{array}{rcccc}6\cdot\dfrac{1}{4}&-&3y&=&-3\\\dfrac{3}{2}&-&3y&=&-3&|&-\dfrac{3}{2}\\-3y&=&-\dfrac{9}{2}&|:(-3)\\y&=&\dfrac{3}{2}\end{array}$
  Antwort: Die Lösung ist also $x=\dfrac{1}{4}$ und $y=\dfrac{3}{2}$ .
  Hast du eine Frage oder Feedback?
  Kommentiere hier 👉
  Löse das Gleichungssystem mit dem Einsetzungsverfahren.
  Löse $\mathrm{I}$ nach $\mathrm{y}$ auf und setze dann in $\mathrm{II}$ ein.
8. $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{ccccc}\mathrm{I}&3x& +& 4& =& 2y\\\mathrm{II}& 4y &=& 2x &+& 10\end{array}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gleichsetzungsverfahren
  Hier bietet sich das Gleichsetzungsverfahren an, weil $\mathrm{I}$ nach $\mathrm{2y}$ aufgelöst ist. $\mathrm{II}$ kann man leicht auch nach $\mathrm{2y}$ auflösen:
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcccc}4y&=&2x&+&10&|:2\\2y&=&x&+&5\end{array}$
  Jetzt setzen wir die beiden Gleichungen gleich:
  $\def\arraystretch{2} \begin{array}{rcccc}3x&+&4&=&x&+&5&|-x\\2x&+&4&=&5&|-4\\2x&=&1&|:2\\x&=&\dfrac{1}{2}\end{array}$
  Jetzt können wir $x=\dfrac{1}{2}$ in eine der beiden Gleichungen einsetzen. Welche man wählt ist egal.
  Wir setzen $x=\dfrac{1}{2}$ in $\mathrm{I}$ ein:
  $\def\arraystretch{2} \begin{array}{rcccc}3\cdot\dfrac{1}{2}&+&4&=&2y\\\dfrac{11}{2}&=&2y&|:2\\\dfrac{11}{4}&=&y\end{array}$
  Antwort: Die Lösung ist also $x=\dfrac{1}{2}$ und $y=\dfrac{11}{4}$ .
  Hast du eine Frage oder Feedback?
  Kommentiere hier 👉
  Löse das Gleichungssystem mit dem Gleichsetzungsverfahren.
  Löse $\mathrm{II}$ nach $\mathrm{2y}$ auf und setze dann $\mathrm{I}$ und $\mathrm{II}$ gleich.
3
Bestimme die Lösung der Gleichungssysteme. Schreibe die Lösung in die Eingabefelder.
1. $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{ccccc}\mathrm{I}&5y& -& 3x& =& 1\\\mathrm{II}& x &=& y& +& 1\end{array}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Einsetzungsverfahren
  In diesem Fall ist das Einsetzungsverfahren sinnvoll, da die zweite Gleichung bereits nach einer Variablen aufgelöst ist. Setze also $\mathrm{II}$ in $\mathrm{I}$ ein:
  $\mathrm{I}'\quad5y-3\left(y+1\right)=1$
  Löse $\text{I}'$ nach $y$ auf.
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcccc}5y-3y-3&=&1&\\2y-3&=&1&|+3\\2y&=&4&|:2\\y&=&2\end{array}$
  Nun kannst du $y = 2$ in $\mathrm{II}$ einsetzen und nach $x$ auflösen.
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcccc}5\cdot2-3x&=&1&|-10\\-3x&=&-9&|:(-3)\\x&=&3\end{array}$
  Antwort: Die Lösung ist x = 3 und y = 2.
  Hast du eine Frage oder Feedback?
  Kommentiere hier 👉
  Löse das Gleichungssystem mit dem Einsetzungsverfahren.
  Setze $I I$ in $I$ ein.
2. $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{ccccc}\mathrm{I}&y& -& 3x& =& 1\\\mathrm{II}& x &+& y &=& 1\end{array}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Additionsverfahren
  In diesem Fall bietet sich das Additionsverfahren an, weil in beiden Gleichungen $\mathrm{y}$ vorkommt.
  Wir rechnen also $\mathrm{I} + \mathrm{II}$ :
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{llrl}&I)&\phantom{-}y-3x&=1\\-&II)&y+x&=1\\\hline&A)&\phantom{-2x+}-4x&=0\end{array}$
  Jetzt können wir $\mathrm{A)}$ nach $\mathrm{x}$ auflösen:
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcccc}-4x&=&0&|:(-4)\\x&=&0\end{array}$
  Jetzt können wir $\mathrm{x=0}$ in $\mathrm{I}$ oder in $\mathrm{II}$ einsetzen. Welche Gleichung man wählt ist egal. Wir setzen $\mathrm{x=0}$ in $\mathrm{I}$ ein und erhalten:
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcccc}0&+&y&=&1\\{}&&y&=&1\end{array}$
  Antwort: Die Lösung ist x = 0 und y = 1.
  Hast du eine Frage oder Feedback?
  Kommentiere hier 👉
  Löse das Gleichungssystem mit dem Additionsverfahren.
  Rechne $\mathrm{I} + \mathrm{II}$ .
3. $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{ccccc}\mathrm{I}&4x& +& 2y& =& 4\\\mathrm{II}& 6x &-& 3y &=& -3\end{array}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Einsetzungsverfahren
  Hier bietet sich das Einsetzungsverfahren an, weil man leicht nach einer Variable auflösen kann.
  Wir lösen $\mathrm{I}$ nach $\mathrm{y}$ auf:
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcccc}4x&+&2y&=&4&|-4x\\2y&=&4&-&4x&|:2\\y&=&2&-&2x\end{array}$
  Jetzt können wir $\mathrm{y}$ in $\mathrm{II}$ einsetzen:
  $\def\arraystretch{2} \begin{array}{rcccc}6x&-&3(2&-&2x)&=&-3\\6x&-&6&+&6x&=&-3\\12x&-&6&=&-3&|&+6\\12x&=&3&|:12\\x&=&\dfrac{1}{4}\end{array}$
  Jetzt setzen wir $\mathrm{x}$ in $\mathrm{II}$ ein:
  $\def\arraystretch{2} \begin{array}{rcccc}6\cdot\dfrac{1}{4}&-&3y&=&-3\\\dfrac{3}{2}&-&3y&=&-3&|&-\dfrac{3}{2}\\-3y&=&-\dfrac{9}{2}&|:(-3)\\y&=&\dfrac{3}{2}\end{array}$
  Antwort: Die Lösung ist also $x=\dfrac{1}{4}$ und $y=\dfrac{3}{2}$ .
  Hast du eine Frage oder Feedback?
  Kommentiere hier 👉
  Löse das Gleichungssystem mit dem Einsetzungsverfahren.
  Löse $\mathrm{I}$ nach $\mathrm{y}$ auf und setze dann in $\mathrm{II}$ ein.
4. $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{ccccc}\mathrm{I}&3x& +& 4& =& 2y\\\mathrm{II}& 4y &=& 2x &+& 10\end{array}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gleichsetzungsverfahren
  Hier bietet sich das Gleichsetzungsverfahren an, weil $\mathrm{I}$ nach $\mathrm{2y}$ aufgelöst ist. $\mathrm{II}$ kann man leicht auch nach $\mathrm{2y}$ auflösen:
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcccc}4y&=&2x&+&10&|:2\\2y&=&x&+&5\end{array}$
  Jetzt setzen wir die beiden Gleichungen gleich:
  $\def\arraystretch{2} \begin{array}{rcccc}3x&+&4&=&x&+&5&|-x\\2x&+&4&=&5&|-4\\2x&=&1&|:2\\x&=&\dfrac{1}{2}\end{array}$
  Jetzt können wir $x=\dfrac{1}{2}$ in eine der beiden Gleichungen einsetzen. Welche man wählt ist egal.
  Wir setzen $x=\dfrac{1}{2}$ in $\mathrm{I}$ ein:
  $\def\arraystretch{2} \begin{array}{rcccc}3\cdot\dfrac{1}{2}&+&4&=&2y\\\dfrac{11}{2}&=&2y&|:2\\\dfrac{11}{4}&=&y\end{array}$
  Antwort: Die Lösung ist also $x=\dfrac{1}{2}$ und $y=\dfrac{11}{4}$ .
  Hast du eine Frage oder Feedback?
  Kommentiere hier 👉
  Löse das Gleichungssystem mit dem Gleichsetzungsverfahren.
  Löse $\mathrm{II}$ nach $\mathrm{2y}$ auf und setze dann $\mathrm{I}$ und $\mathrm{II}$ gleich.
4
Löse die folgenden Gleichungssysteme zunächst graphisch und dann rechnerisch. Gib dein Ergebnis in das Eingabefeld ein.
1. $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{ccccc}\mathrm{I}&y& -& 3x& =& 1\\\mathrm{II}& x &+& y &=& 1\end{array}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lineare Gleichunssysteme
  Graphisches Lösen
  Um das Gleichungssystem graphisch lösen zu können, kannst du die einzelnen Geichungen nach $y$ auflösen und in ein Koordinatensystem einzeichnen. Anschließend brauchst du nur noch die Koordinaten des Schnittpunktes beider Geraden abzulesen.
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{ccccc}\mathrm{I}&y -3x&=&1&|+3x\\\mathrm{I}&y& =& 3x+1\\\mathrm{II}& x + y &=& 1&|-x\\\mathrm{II}& y &=&-x+ 1\end{array}$
  Der Schnittpunkt liegt bei $x = 0$ und $y = 1$ .
  Rechnerisches Lösen
  In diesem Fall bietet sich das Gleichsetzungsverfahren an, da du zum graphischen Lösen bereits beide Gleichungen nach $y$ aufgelöst hast.
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{ccccc}\mathrm{I}&y& =& 3x+1\\\mathrm{II}& y &=&-x+ 1\end{array}$
  Setze $\mathrm{I}$ und $\mathrm{II}$ gleich und löse nach $x$ auf.
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcccc}3x+1&=&-x+1&|-1\\3x&=&-x&|+x\\4x&=&0&|:4\\x&=&0\end{array}$
  Setze den erhaltenen Wert für $x$ in eine der Gleichungen ein, z.B in $\mathrm{II}$ .
  $y = 0 + 1 = 1$
  Antwort: Die Lösung ist $x = 0$ und $y = 1$ .
  Hast du eine Frage oder Feedback?
  Kommentiere hier 👉
  Graphisches Lösen: Löse beide Gleichungen nach y auf, und zeichne die Graphen in ein Koordinatensystem.
  Rechnerisches Lösen: Verwende das Gleichsetzungsverfahren.
2. $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{ccccc}\mathrm{I}&3y& +& 6x& =& 6\\\mathrm{II}& x &-& y &=& 1\end{array}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lineare Gleichungssysteme
  Graphisches Lösen
  Um das Gleichungssystem graphisch lösen zu können, kannst du die einzelnen Gleichungen nach $y$ auflösen und in ein Koordinatensystem einzeichnen. Anschließend brauchst du nur noch die Koordinaten des Schnittpunktes beider Geraden abzulesen.
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{ccccc}\mathrm{I}&3y&+&6x&=&6&|-6x\\\mathrm{I}&3y& =&6&-&6x&|:3\\\mathrm{I}&y& =& 2&-&2x\\\\\mathrm{II}& x&-&y&=&1&|-x\\\mathrm{II}& -y &=&-x&+&1&|\cdot(-1)\\\mathrm{II}& y &=&x&-& 1\end{array}$
  Der Schnittpunkt liegt bei $x = 1$ und $y = 0$ .
  Rechnerisches Lösen
  In diesem Fall bietet sich das Gleichsetzungsverfahren an, da du zum graphischen Lösen bereits beide Gleichungen nach $y$ aufgelöst hast.
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{ccccc}\mathrm{I}&y& =& -2x&+&2\\\mathrm{II}& y &=&x&-&1\end{array}$
  Setze $\mathrm{I}$ und $\mathrm{II}$ gleich und löse nach $x$ auf.
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcccc}-2x&+&2&=&x&-&1&|+2x\\&&2&=&3x&-&1&|+1\\&&3&=&3x&|:3\\&&1&=&x\end{array}$
  Setze den erhaltenen Wert für $x$ in eine der Gleichungen ein, z.B in $\mathrm{II}$ .
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{}y&=&1&-&1&=&0\end{array}$
  Antwort: Die Lösung ist $x = 1$ und $y = 0$ .
  Hast du eine Frage oder Feedback?
  Kommentiere hier 👉
  Graphisches Lösen: Löse beide Gleichungen nach y auf, und zeichne die Graphen in ein Koordinatensystem.
  Rechnerisches Lösen: Verwende das Gleichsetzungsverfahren.
3. $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{}\mathrm{I}&4x&-&y&=&7\\\mathrm{II}&-4&-&2y&=&-6x\end{array}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lineare Gleichungssysteme
  Graphisches Lösen
  Um das Gleichungssystem graphisch lösen zu können, kannst du die einzelnen Geichungen nach $y$ auflösen und in ein Koordinatensystem einzeichnen. Anschließend brauchst du nur noch die Koordinaten des Schnittpunktes beider Geraden abzulesen.
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{ccccc}\mathrm{I}&4x&-&2y&=&2&|-4x\\\mathrm{I}&&&-2y&=&-4x&+&2&|:(-2)\\\mathrm{I}&&&y&=&2x&-&1\\\\\mathrm{II}& -4&-&2y &=& -6x&|+4\\\mathrm{II}&&&-2y&=&-6x&+ &4&|:(-2)\\\mathrm{II}&&&y &=&3x&-&2\end{array}$
  Der Schnittpunkt liegt bei $x = 1$ und $y = 1$ .
  Rechnerisches Lösen
  In diesem Fall bietet sich das Gleichsetzungsverfahren an, da du zum graphischen Lösen bereits beide Gleichungen nach $y$ aufgelöst hast.
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{ccccc}\mathrm{I}&y& =&2x&-&1\\\mathrm{II}& y &=&3x&-&2\end{array}$
  Setze $\mathrm{I}$ und $\mathrm{II}$ gleich und löse nach $x$ auf.
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcccc}2x&-&1&=&3x&-&2&|+1\\2x&=&3x&-&1&|-3x\\-x&=&-1&|:(-1)\\x&=&1\end{array}$
  Setze den erhaltenen Wert für $x$ in eine der Gleichungen ein, z.B in $\mathrm{I}$ .
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{ccccc}\mathrm{I}&y& =&2&\cdot&1&-&1&=&1\end{array}$
  Antwort: Die Lösung ist $x = 1$ und $y = 1$ .
  Hast du eine Frage oder Feedback?
  Kommentiere hier 👉
  Graphisches Lösen: Löse beide Gleichungen nach y auf, und zeichne die Graphen in ein Koordinatensystem.
  Rechnerisches Lösen: Verwende das Gleichsetzungsverfahren.
5
Ein Hotel verfügt über 105 Betten, die sich in 40 Zwei-bzw.-Dreibettzimmern befinden. Wie viele Zwei-und-Dreibettzimmer kann das Hotel vermieten?
Löse mit einem Gleichungssystem!
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{ccccc}\mathrm{I}&x&+&y&=& 40\\\mathrm{II}&2x&+&3y&=&105\end{array}$
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{ccccc}\mathrm{I}&x&+&y&=& 105\\\mathrm{II}&2x&+&3y&=&40\end{array}$
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lineares Gleichungssystem
Gleichungen aus dem Text aufstellen
Als erstes legt man die Variablen fest:
x: Anzahl der Zweibettzimmer
y: Anzahl der Dreibettzimmer
Was ist bekannt? Insgesamt gibt es 40 Zimmer. Die Anzahl der Zweibettzimmer $\mathrm{x}$ und die Anzahl der Dreibettzimmer $\mathrm{y}$ zusammen ergibt also 40:
$\mathrm{I}\quad x + y =40$
Insgesamt gibt es 105 Betten. In einem Zweibettzimmer stehen 2 Betten, also gibt es in einem Zweibettzimmer $\mathrm{2\cdot x}$ Betten und in einem Dreibettzimmer $\mathrm{2\cdot y}$ Betten. Es entsteht also die Gleichung:
$\mathrm{II} \quad 2x + 3y =105$
Es entsteht das Gleichungssystem:
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{cl}\mathrm{I}\quad x & + & y & = & 40 & \\\mathrm{II}\quad 2x & + & 3y & =& 105 \end{array}$
Jetzt können wir das Gleichungssystem lösen. Hier bietet sich das Einsetzungsverfahren an, weil wir Gleichung $\mathrm{I}$ leicht nach $\mathrm{x}$ oder nach $\mathrm{y}$ auflösen können. Wir lösen $\mathrm{I}$ nach $\mathrm{y}$ auf:
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcccc}x&+&y&=&40&|-x\\&&y&=&40&-&x\end{array}$
Jetzt können wir $\mathrm{y = 40 - x}$ in $\mathrm{II}$ einsetzen:
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{}2\cdot x +3\cdot(40-x)&=&105&\vert\text{Klammer auflösen}\\2x+120-3x&=&105&\vert\text{zusammenfassen}\\-x+120&=&105&\vert-120\\-x&=&-15&\vert\cdot (-1)\\x&=&15\end{array}$
Erstelle aus dem Aufgabentext ein lineares Gleichungssystem.
Tipp: Wähle die Variable $x$ für die Anzahl der Zweibettzimmer und die Variable $y$ für die Anzahl der Dreibettzimmer.
6
Ein Bauer hält in seinem Stall Hühner und Kaninchen. Er zählt insgesamt 120 Beine. Es gibt dreimal mehr Hühner als Kaninchen. Wie viele Hühner und Kaninchen hat der Bauer?
Löse mit einem Gleichungssystem!
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Einsetzungsverfahren
Gleichungen aus dem Text aufstellen
Als erstes legt man die Variablen fest:
x: Anzahl der Hühner
$y$ : Anzahl der Kaninchen.
Was ist bekannt? Ein Huhn hat zwei Beine, ein Kaninchen hat vier Beine. Somit haben $x$ Hühner $2\cdot x$ Beine und $y$ Kaninchen haben $4\cdot y$ Beine. Daraus können wir Gleichung $\mathrm{I}$ aufstellen:
$\mathrm{I}\quad 2\cdot x + 4 \cdot y =120$
"Es gibt dreimal mehr Hühner als Kaninchen": Weil $y$ die Anzahl der Kaninchen ist, müssen wir $y$ mit $3$ multiplizieren um die Anzahl $x$ der Hühner zu erhalten. Wir können nun Gleichung $\mathrm{II}$ aufstellen:
$\mathrm{II} \quad x =3\cdot y$
Es entsteht das lineare Gleichungssystem:
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{cl} \mathrm{I}\quad 2x & + &4 y & = & 120 & \\ \mathrm{II}\quad x&=&3y& \end{array}$
Hier bietet sich das Einsetzungsverfahren an, da Gleichung $\mathrm{II}$ schon nach der Variablen $x$ aufgelöst ist.
Lösung mit dem Einsetzungsverfahren
Setze Gleichung $\mathrm{II}\;\; x =3\cdot y$ in Gleichung $\mathrm{I}$ ein:
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl}2\cdot (3y) +4y&=&120&\vert\text{Klammer auflösen}\\\\6y+4y&=&120&\vert\text{ zusammenfassen}\\\\10y&=&120&\vert:10\\\\y&=&12&\end{array}$
Setze $y = 12$ in Gleichung $\mathrm{II}$ ein: $x=3 \cdot12=36$
Antwort: Der Bauer besitzt $36$ Hühner und $12$ Kaninchen.
Erstelle aus dem Aufgabentext ein lineares Gleichungssystem.
Tipp: Wähle die Variable $x$ für die Anzahl der Hühner und die Variable $y$ für die Anzahl der Kaninchen.

Dieses Werk steht unter der freien Lizenz
CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?

test

Hast du eine Frage oder Feedback?

Hast du eine Frage oder Feedback?

Hast du eine Frage oder Feedback?

Hast du eine Frage oder Feedback?

Hast du eine Frage oder Feedback?

Hast du eine Frage oder Feedback?

Hast du eine Frage oder Feedback?

Hast du eine Frage oder Feedback?

Hast du eine Frage oder Feedback?

Hast du eine Frage oder Feedback?

Hast du eine Frage oder Feedback?

Hast du eine Frage oder Feedback?

Graphisches Lösen

Rechnerisches Lösen

Hast du eine Frage oder Feedback?

Graphisches Lösen

Rechnerisches Lösen

Hast du eine Frage oder Feedback?

Graphisches Lösen

Rechnerisches Lösen

Hast du eine Frage oder Feedback?

Gleichungen aus dem Text aufstellen

Gleichungen aus dem Text aufstellen

Lösung mit dem Einsetzungsverfahren