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Abbildungen im Raum mithilfe von Matrizen (2)

Orthogonale Spiegelung eines Punktes an einer Ebene, die durch den Ursprung verläuft

Gegeben sind ein Punkt P(a∣b∣c)P(a|b|c) und eine Ebene EE.

Gesucht sind die Koordinaten des Bildpunktes P′P' bei orthogonaler Spiegelung an der Ebene EE.

Orthogonale Spiegelung eines Punktes an einer Ebene durch den Ursprung

Orthogonale Spiegelung eines Punktes an einer Ebene durch den Ursprung

Der Bildpunkt P′P' eines beliebigen Punktes P(a∣b∣c)P(a|b|c) ist gegeben durch:

OP′→=OP→+2⋅PF→\overrightarrow{OP'}=\overrightarrow{OP}+2\cdot \overrightarrow{PF}

Dabei ist FF der Schnittpunkt der Lotgeraden gLot:x⃗=(abc)+r⋅(n1n2n3)g_\text{Lot}: \vec x=\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}+r\cdot\begin{pmatrix}n_1\\n_2\\n_3\end{pmatrix} mit der Ebene E:  n1⋅x1+n2⋅x2+n3⋅x3=0.E:\;n_1\cdot x_1+n_2\cdot x_2+n_3\cdot x_3=0.

Der Vektor (n1n2n3)\begin{pmatrix}n_1\\n_2\\n_3\end{pmatrix} ist der Normalenvektor der Ebene EE.

Schneide gLotg_\text{Lot} mit EE:

n1⋅(a+r⋅n1)+n2⋅(b+r⋅n2)+n3⋅(c+r⋅n3)\displaystyle n_1\cdot (a+r\cdot n_1)+n_2\cdot (b+r\cdot n_2)+n_3\cdot (c+r\cdot n_3)==0\displaystyle 0
↓

Löse die Klammern auf.

n1⋅a+r⋅n12+n2⋅b+r⋅n22+n3⋅c+r⋅n32\displaystyle n_1\cdot a+r\cdot n_1^2+n_2\cdot b+r\cdot n_2^2+n_3\cdot c+r\cdot n_3^2==0\displaystyle 0−n1⋅a−n2⋅b−n3⋅c\displaystyle -n_1\cdot a-n_2\cdot b-n_3\cdot c
r⋅n12+r⋅n22+r⋅n32\displaystyle r\cdot n_1^2+r\cdot n_2^2+r\cdot n_3^2==−n1⋅a−n2⋅b−n3⋅c\displaystyle -n_1\cdot a-n_2\cdot b-n_3\cdot c
↓

Klammere rr aus.

r⋅(n12+n22+n32)\displaystyle r\cdot (n_1^2+ n_2^2+n_3^2)==−n1⋅a−n2⋅b−n3⋅c\displaystyle -n_1\cdot a-n_2\cdot b-n_3\cdot c:(n12+n22+n32)\displaystyle :(n_1^2+ n_2^2+n_3^2)
↓

Löse nach r auf.

r\displaystyle r==−n1⋅a+n2⋅b+n3⋅cn12+n22+n32\displaystyle -\dfrac{n_1\cdot a+n_2\cdot b+n_3\cdot c}{n_1^2+ n_2^2+n_3^2}

Setze rr in gLotg_\text{Lot} ein:

OF→=(abc)−(n1⋅a+n2⋅b+n3⋅cn12+n22+n32)⋅(n1n2n3)=OP→−(n1⋅a+n2⋅b+n3⋅cn12+n22+n32)⋅(n1n2n3)\overrightarrow{OF}=\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}-\left(\dfrac{n_1\cdot a+n_2\cdot b+n_3\cdot c}{n_1^2+ n_2^2+n_3^2}\right)\cdot\begin{pmatrix}n_1\\n_2\\n_3\end{pmatrix}=\overrightarrow{OP}-\left(\dfrac{n_1\cdot a+n_2\cdot b+n_3\cdot c}{n_1^2+ n_2^2+n_3^2}\right)\cdot\begin{pmatrix}n_1\\n_2\\n_3\end{pmatrix}

PF→=OF→−OP→=−(n1⋅a+n2⋅b+n3⋅cn12+n22+n32)⋅(n1n2n3)\overrightarrow{PF}=\overrightarrow{OF}-\overrightarrow{OP}=-\left(\dfrac{n_1\cdot a+n_2\cdot b+n_3\cdot c}{n_1^2+ n_2^2+n_3^2}\right)\cdot\begin{pmatrix}n_1\\n_2\\n_3\end{pmatrix}

Setze PF→\overrightarrow{PF} in OP′→=OP→+2⋅PF→\overrightarrow{OP'}=\overrightarrow{OP}+2\cdot \overrightarrow{PF} ein:

OP′→=(abc)−2⋅(n1⋅a+n2⋅b+n3⋅cn12+n22+n32)⋅(n1n2n3)\overrightarrow{OP'}=\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}-2\cdot \left(\dfrac{n_1\cdot a+n_2\cdot b+n_3\cdot c}{n_1^2+ n_2^2+n_3^2}\right)\cdot\begin{pmatrix}n_1\\n_2\\n_3\end{pmatrix}

OP′→=1n12+n22+n32(a⋅(n12+n22+n32)−2⋅(n1⋅a+n2⋅b+n3⋅c)⋅n1b⋅(n12+n22+n32)−2⋅(n1⋅a+n2⋅b+n3⋅c)⋅n2c⋅(n12+n22+n32)−2⋅(n1⋅a+n2⋅b+n3⋅c)⋅n3)\def\arraystretch{2} \overrightarrow{OP'}=\dfrac{1}{n_1^2+ n_2^2+n_3^2}\left(\begin{array}{cc}a\cdot(n_1^2+ n_2^2+n_3^2)&-2\cdot(n_1\cdot a+n_2\cdot b+n_3\cdot c)\cdot n_1\\b\cdot(n_1^2+ n_2^2+n_3^2)&-2\cdot(n_1\cdot a+n_2\cdot b+n_3\cdot c)\cdot n_2\\c\cdot(n_1^2+ n_2^2+n_3^2)&-2\cdot(n_1\cdot a+n_2\cdot b+n_3\cdot c)\cdot n_3\end{array}\right)

OP′→=1n12+n22+n32(a⋅n12+a⋅n22+a⋅n32−2⋅n12⋅a−2⋅n1⋅n2⋅b−2⋅n1⋅n3⋅cb⋅n12+b⋅n22+b⋅n32−2⋅n1⋅n2⋅a−2⋅n22⋅b−2⋅n2⋅n3⋅cc⋅n12+c⋅n22+c⋅n32−2⋅n1⋅n3⋅a−2⋅n2⋅n3⋅b−2⋅n32⋅c)\def\arraystretch{2} \overrightarrow{OP'}=\dfrac{1}{n_1^2+ n_2^2+n_3^2}\left(\begin{array}{cc}a\cdot n_1^2+ a\cdot n_2^2+a\cdot n_3^2&-2\cdot n_1^2\cdot a-2\cdot n_1\cdot n_2\cdot b-2\cdot n_1\cdot n_3\cdot c\\b\cdot n_1^2+ b\cdot n_2^2+b\cdot n_3^2&-2\cdot n_1\cdot n_2\cdot a-2\cdot n_2^2\cdot b-2\cdot n_2\cdot n_3\cdot c\\c\cdot n_1^2+ c\cdot n_2^2+c\cdot n_3^2&-2\cdot n_1\cdot n_3\cdot a-2\cdot n_2\cdot n_3\cdot b-2\cdot n_3^2\cdot c\end{array}\right)

OP′→=1n12+n22+n32(−a⋅n12+a⋅n22+a⋅n32−2n1⋅n2⋅b−2⋅n1⋅n3⋅cb⋅n12−b⋅n22+b⋅n32−2⋅n1⋅n2⋅a−2⋅n2⋅n3⋅cc⋅n12+c⋅n22−c⋅n32−2⋅n1⋅n3⋅a−2⋅n2⋅n3⋅b)\def\arraystretch{2} \overrightarrow{OP'}=\dfrac{1}{n_1^2+ n_2^2+n_3^2}\left(\begin{array}{ccc }-a\cdot n_1^2+ a\cdot n_2^2+a\cdot n_3^2&-2n_1\cdot n_2\cdot b&-2\cdot n_1\cdot n_3\cdot c\\b\cdot n_1^2- b\cdot n_2^2+b\cdot n_3^2&-2\cdot n_1\cdot n_2\cdot a&-2\cdot n_2\cdot n_3\cdot c\\c\cdot n_1^2+ c\cdot n_2^2-c\cdot n_3^2&-2\cdot n_1\cdot n_3\cdot a&-2\cdot n_2\cdot n_3\cdot b\end{array}\right)

Zeile 22 und Zeile 33 müssen umsortiert werden und (abc)\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}wird aus der Klammer herausgezogen:

OP′→=1n12+n22+n32(−n12+n22+n32−2n1⋅n2−2⋅n1⋅n3−2⋅n1⋅n2n12−n22+n32−2⋅n2⋅n3−2⋅n1⋅n3−2⋅n2⋅n3n12+n22−n32)⋅(abc)\def\arraystretch{1.25} \overrightarrow{OP'}=\dfrac{1}{n_1^2+ n_2^2+n_3^2}\left(\begin{array}{ccc}- n_1^2+ n_2^2+ n_3^2&-2n_1\cdot n_2&-2\cdot n_1\cdot n_3\\ -2\cdot n_1\cdot n_2&n_1^2- n_2^2+n_3^2&-2\cdot n_2\cdot n_3\\ -2\cdot n_1\cdot n_3&-2\cdot n_2\cdot n_3&n_1^2+ n_2^2-n_3^2\end{array}\right)\cdot\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}

Die Spiegelungsmatrix SS lautet also:,

S=1n12+n22+n32(−n12+n22+n32−2n1⋅n2−2⋅n1⋅n3−2⋅n1⋅n2n12−n22+n32−2⋅n2⋅n3−2⋅n1⋅n3−2⋅n2⋅n3n12+n22−n32)\displaystyle \def\arraystretch{2} S=\dfrac{1}{n_1^2+ n_2^2+n_3^2}\left(\begin{array}{ccc}- n_1^2+ n_2^2+ n_3^2&-2n_1\cdot n_2&-2\cdot n_1\cdot n_3\\ -2\cdot n_1\cdot n_2&n_1^2- n_2^2+n_3^2&-2\cdot n_2\cdot n_3\\ -2\cdot n_1\cdot n_3&-2\cdot n_2\cdot n_3&n_1^2+ n_2^2-n_3^2\end{array}\right)
MerkeOrthogonale Spiegelung

Für eine orthogonale Spiegelung an der Ebene FF mit der Abbildungsmatrix SS gilt:

  • Jeder Punkt der Ebene FF ist ein Fixpunkt, d.h ein Punkt, der bei einer Abbildung auf sich selbst abgebildet wird.

  • Für jede Spiegelung gilt: S⋅S=S2=ES\cdot S=S^2=E (dabei ist EE die Einheitsmatrix)

  • Die Spaltenvektoren der Spiegelmatrix haben die Länge 11 und sind paarweise orthogonal zueinander.


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