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Abbildungen im Raum mithilfe von Matrizen (2)

Orthogonale Spiegelung eines Punktes an einer Ebene, die durch den Ursprung verläuft

Gegeben sind ein Punkt P(a|b|c) und eine Ebene E.

Gesucht sind die Koordinaten des Bildpunktes P bei orthogonaler Spiegelung an der Ebene E.

Orthogonale Spiegelung eines Punktes an einer Ebene durch den Ursprung

Orthogonale Spiegelung eines Punktes an einer Ebene durch den Ursprung

Der Bildpunkt P eines beliebigen Punktes P(a|b|c) ist gegeben durch:

OP=OP+2PF

Dabei ist F der Schnittpunkt der Lotgeraden gLot:x=(abc)+r(n1n2n3) mit der Ebene E:n1x1+n2x2+n3x3=0.

Der Vektor (n1n2n3) ist der Normalenvektor der Ebene E.

Schneide gLot mit E:

n1(a+rn1)+n2(b+rn2)+n3(c+rn3)=0

Löse die Klammern auf.

n1a+rn12+n2b+rn22+n3c+rn32=0n1an2bn3c
rn12+rn22+rn32=n1an2bn3c

Klammere r aus.

r(n12+n22+n32)=n1an2bn3c:(n12+n22+n32)

Löse nach r auf.

r=n1a+n2b+n3cn12+n22+n32

Setze r in gLot ein:

OF=(abc)(n1a+n2b+n3cn12+n22+n32)(n1n2n3)=OP(n1a+n2b+n3cn12+n22+n32)(n1n2n3)

PF=OFOP=(n1a+n2b+n3cn12+n22+n32)(n1n2n3)

Setze PF in OP=OP+2PF ein:

OP=(abc)2(n1a+n2b+n3cn12+n22+n32)(n1n2n3)

OP=1n12+n22+n32(a(n12+n22+n32)2(n1a+n2b+n3c)n1b(n12+n22+n32)2(n1a+n2b+n3c)n2c(n12+n22+n32)2(n1a+n2b+n3c)n3)

OP=1n12+n22+n32(an12+an22+an322n12a2n1n2b2n1n3cbn12+bn22+bn322n1n2a2n22b2n2n3ccn12+cn22+cn322n1n3a2n2n3b2n32c)

OP=1n12+n22+n32(an12+an22+an322n1n2b2n1n3cbn12bn22+bn322n1n2a2n2n3ccn12+cn22cn322n1n3a2n2n3b)

Zeile 2 und Zeile 3 müssen umsortiert werden und (abc)wird aus der Klammer herausgezogen:

OP=1n12+n22+n32(n12+n22+n322n1n22n1n32n1n2n12n22+n322n2n32n1n32n2n3n12+n22n32)(abc)

Die Spiegelungsmatrix S lautet also:,

S=1n12+n22+n32(n12+n22+n322n1n22n1n32n1n2n12n22+n322n2n32n1n32n2n3n12+n22n32)
MerkeOrthogonale Spiegelung

Für eine orthogonale Spiegelung an der Ebene F mit der Abbildungsmatrix S gilt:

  • Jeder Punkt der Ebene F ist ein Fixpunkt, d.h ein Punkt, der bei einer Abbildung auf sich selbst abgebildet wird.

  • Für jede Spiegelung gilt: SS=S2=E (dabei ist E die Einheitsmatrix)

  • Die Spaltenvektoren der Spiegelmatrix haben die Länge 1 und sind paarweise orthogonal zueinander.


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