Orthogonale Spiegelung eines Punktes an einer Ebene, die durch den Ursprung verläuft
Gegeben sind ein Punkt und eine Ebene .
Gesucht sind die Koordinaten des Bildpunktes bei orthogonaler Spiegelung an der Ebene .

Orthogonale Spiegelung eines Punktes an einer Ebene durch den Ursprung
Der Bildpunkt eines beliebigen Punktes ist gegeben durch:
Dabei ist der Schnittpunkt der Lotgeraden mit der Ebene
Der Vektor ist der Normalenvektor der Ebene .
Schneide mit :
↓ | Löse die Klammern auf. | ||
↓ | Klammere aus. | ||
↓ | Löse nach r auf. | ||
Setze in ein:
Setze in ein:
Zeile und Zeile müssen umsortiert werden und wird aus der Klammer herausgezogen:
Die Spiegelungsmatrix lautet also:,
Für eine orthogonale Spiegelung an der Ebene mit der Abbildungsmatrix gilt:
Jeder Punkt der Ebene ist ein Fixpunkt, d.h ein Punkt, der bei einer Abbildung auf sich selbst abgebildet wird.
Für jede Spiegelung gilt: (dabei ist die Einheitsmatrix)
Die Spaltenvektoren der Spiegelmatrix haben die Länge und sind paarweise orthogonal zueinander.