Es gilt: $\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{BC}=\left(\begin{array}{c}6\\ 0\\ 9\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}-1-0\\ 5-6\\ 17-9\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}6-1\\ 0-1\\ 9+8\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}5\\ -1\\ 17\end{array}\right)\Rightarrow D(5|-1|17)$

Für die Ebene E gilt:

$E_{ABD}:\overrightarrow{x}=\overrightarrow{OA}+r\cdot \overrightarrow{AB}+s\cdot \overrightarrow{AD}=\left(\begin{array}{c}6\\ 0\\ 9\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}0-6\\ 6-0\\ 9-9\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}5-6\\ -1-0\\ 17-9\end{array}\right)$

$E_{ABD}:\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}6\\ 0\\ 9\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}-6\\ 6\\ 0\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}-1\\ -1\\ 8\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}6\\ 0\\ 9\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}-1\\ 1\\ 0\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}-1\\ -1\\ 8\end{array}\right)$ (mit um den Faktor $6$ verkürztem Richtungsvektor).

Dann erhältst Du den Normalenvektor der Ebene $E$ als Kreuzprodukt der beiden Richtungsvektoren.

${\overrightarrow{n}}_E=\left(\begin{array}{c}-1\\ 1\\ 0\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-1\\ -1\\ 8\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}8\\ 8\\ 2\end{array}\right)=2\cdot \left(\begin{array}{c}4\\ 4\\ 1\end{array}\right)$

$\Rightarrow$ Normalenform: $E_{ABD}:[\overrightarrow{x}-\left(\begin{array}{c}6\\ 0\\ 9\end{array}\right)]\circ \left(\begin{array}{c}4\\ 4\\ 1\end{array}\right)=0$

$\Rightarrow$ Koordinatenform: $E_{ABD}:4x_1+4x_2+x_3-(6\cdot 4+0\cdot 4+9\cdot 1)=0$

$E_{ABD}:4x_1+4x_2+x_3-33=0$

$80\mathrm{cm}=8\mathrm{dm}\Rightarrow |\overrightarrow{AB}|=|\overrightarrow{AD}|\ge 8$

$|\overrightarrow{AB}|=\left|\left(\begin{array}{c}-6\\ 6\\ 0\end{array}\right)\right|=\sqrt{(-6{)}^2+6^2+0^2}=\sqrt{72}>8$

$|\overrightarrow{AD}|=\left|\left(\begin{array}{c}-1\\ -1\\ 8\end{array}\right)\right|=\sqrt{(-1{)}^2+(-1{)}^2+8^2}=\sqrt{66}>8$

Diese Bedingung ist also erfüllt, der äußere Zielkreis mit einem Durchmesser von $80\mathrm{cm}$ liegt auf dem Rechteck $ABCD$.

Neigung der Zielscheibe gegenüber dem Erdboden:

Es ist $\left|\overrightarrow{n_E}\right|=\left|\left(\begin{array}{c}4\\ 4\\ 1\end{array}\right)\right|=\sqrt{4^2+4^2+1^2}=\sqrt{33}$.

Der Normalenvektor der $x_1{x}_2$-Ebene ist $\left|\overrightarrow{n_{x_1{x}_2}}\right|=\left|\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)\right|=\sqrt{0^2+0^2+1^2}=\sqrt{1}=1$.

Dann gilt:

$\cos \phi ={\displaystyle \frac{|\overrightarrow{n_E}\circ \overrightarrow{n_{x_1{x}_2}}|}{\left|\overrightarrow{n_E}\right|\cdot \left|\overrightarrow{n_{x_1{x}_2}}\right|}}={\displaystyle \frac{|\left(\begin{array}{c}4\\ 4\\ 1\end{array}\right)\circ \left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)|}{\sqrt{33}\cdot 1}}={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{33}}}$

$\phi ={\cos }^{-1}\left({\displaystyle \frac{1}{\sqrt{33}}}\right)\approx \mathrm{79,98}°$

Der Neigungswinkel der Ebene $E$ zum Boden beträgt rund $\mathrm{79,98}°$ und liegt damit in dem Intervall $[{75}^{°};{80}^{°}]$. Auch die Bedingung $\mathrm{II}$ ist erfüllt.

Bekannt: Der Goldbereich hat einem Durchmesser von $8\mathrm{cm}=\mathrm{0,8}\mathrm{dm}$.

Setze die Koordinaten der Flugbahn in die Gleichung der Ebene $E$ ein:

$4\cdot 2s+4\cdot 3s-\mathrm{0,01}{s}^2+s+\mathrm{12,01}-33=0\Rightarrow -\mathrm{0,01}{s}^2+21s-\mathrm{20,99}=0$

$\Rightarrow -\mathrm{0,01}{s}^2+21s-\mathrm{20,99}=0|\cdot (-100)$

$s^2-2100s+2099=0$

Du hast eine quadratische Gleichung erhalten. Diese kannst du mit der Mitternachtsformel (abc-Formel) oder mit der pq-Formel lösen.

Hier erfolgt die Lösung mit der pq-Formel.

Du erhältst die Lösungen $s_1=1050-1049=1$ und $s_2=1050+1049=2099$.

Setze $s_2$ in die Flugbahnkurve ein$\Rightarrow x_3=-\mathrm{0,01}\cdot {2099}^2+2099+\mathrm{12,01}=-41947<0$

Der Pfeil landet unterhalb des Bodens und trifft die Scheibe nicht.

Daher ist $s=1$ die gesuchte Lösung.

Eingesetzt in die Flugbahnkurve folgt für den Auftreffpunkt:

$(2|3|-\mathrm{0,01}+1+\mathrm{12,01})=(2|3|13)$

Liegt der Punkt $(2|3|13)$ im Goldbereich?

Berechne den Abstand dieses Punktes vom Mittelpunkt $M$ der Scheibe.

$|\overrightarrow{OM}-\left(\begin{array}{c}2\\ 3\\ 13\end{array}\right)|=|\left(\begin{array}{c}\mathrm{2,5}\\ \mathrm{2,5}\\ 13\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}2\\ 3\\ 13\end{array}\right)|=\left|\left(\begin{array}{c}\mathrm{0,5}\\ -\mathrm{0,5}\\ 0\end{array}\right)\right|=\sqrt{{\mathrm{0,5}}^2+(-\mathrm{0,5}{)}^2+0^2}=\sqrt{\mathrm{0,5}}\approx \mathrm{0,7}<\mathrm{0,8}$

Da $\mathrm{0,7}<\mathrm{0,8}$ ist, trifft der Pfeil den Goldbereich.

Zeige, dass $M$ ein möglicher Auftreffpunkt für diesen zweiten Pfeil ist

Wegen $a\in [0;1]$ stellt die Punktemenge $\overrightarrow{O{P}_a}$ eine Strecke der Länge $1$ dar. Die möglichen Auftreffpunkte sollen auf dieser Strecke liegen.

Es muss gelten: $\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{O{P}_a}$

$\Rightarrow \left(\begin{array}{c}\mathrm{2,5}\\ \mathrm{2,5}\\ 13\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}2\\ 3\\ 13\end{array}\right)+a\cdot \left(\begin{array}{c}\mathrm{0,75}\\ -\mathrm{0,75}\\ 0\end{array}\right)\Rightarrow \left(\begin{array}{c}\mathrm{0,5}\\ -\mathrm{0,5}\\ 0\end{array}\right)=a\cdot \left(\begin{array}{c}\mathrm{0,75}\\ -\mathrm{0,75}\\ 0\end{array}\right)$

Aus den Gleichungen $\mathrm{I}$ und $\mathrm{II}$ folgt jeweils $a={\displaystyle \frac{2}{3}}$ und $a\in [0;1]$.

(Gleichung $\mathrm{III}:$ $13=13$ ist auch erfüllt.)

Eintragungen in die Skizze

Die Punktemenge $\overrightarrow{O{P}_a}$ stellt eine Strecke der Länge $1$ dar. Weiterhin ist $\overline{P_{0}M}={\displaystyle \frac{2}{3}}$.

Dann muss links von $M$ noch die Hälfte von $\overline{P_{0}M}$ abgetragen werden, um zu $P_1$ zu gelangen. Die ganze Strecke liegt also für alle $a$ innerhalb des Goldbereiches, d. h. der Goldbereich wird immer getroffen.