Aufgaben - lernen mit Serlo!

B 5

Gegeben ist das Rechteck $A B C D$ mit $A (6 | 0 | 9), B (0 | 6 | 9)$ und $C (- 1 | 5 | 17)$ , das in der Ebene E liegt.

Bestimmen Sie die Koordinaten von $D$ . [2 BE]

Bestimme die Koordinaten von $D$
Es gilt: $\vec{O D} = \vec{O A} + \vec{B C} = (\begin{array}{c} 6 \\ 0 \\ 9 \end{array}) + (\begin{array}{c} - 1 - 0 \\ 5 - 6 \\ 17 - 9 \end{array}) = (\begin{array}{c} 6 - 1 \\ 0 - 1 \\ 9 + 8 \end{array}) = (\begin{array}{c} 5 \\ - 1 \\ 17 \end{array}) \Rightarrow D (5 | - 1 | 17)$
Hast du eine Frage oder Feedback?
Kommentiere hier 👇
Bestimmen Sie eine Gleichung von $E$ in Koordinatenform. [3 BE]

Bestimme eine Gleichung von $E$ in Koordinatenform
Für die Ebene E gilt:
$E_{A B D} : \vec{x} = \vec{O A} + r \cdot \vec{A B} + s \cdot \vec{A D} = (\begin{array}{c} 6 \\ 0 \\ 9 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 0 - 6 \\ 6 - 0 \\ 9 - 9 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{c} 5 - 6 \\ - 1 - 0 \\ 17 - 9 \end{array})$
$E_{A B D} : \vec{x} = (\begin{array}{c} 6 \\ 0 \\ 9 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} - 6 \\ 6 \\ 0 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{c} - 1 \\ - 1 \\ 8 \end{array}) = (\begin{array}{c} 6 \\ 0 \\ 9 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} - 1 \\ 1 \\ 0 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{c} - 1 \\ - 1 \\ 8 \end{array})$ (mit um den Faktor $6$ verkürztem Richtungsvektor).
Dann erhältst Du den Normalenvektor der Ebene $E$ als Kreuzprodukt der beiden Richtungsvektoren.
${\vec{n}}_{E} = (\begin{array}{c} - 1 \\ 1 \\ 0 \end{array}) \times (\begin{array}{c} - 1 \\ - 1 \\ 8 \end{array}) = (\begin{array}{c} 8 \\ 8 \\ 2 \end{array}) = 2 \cdot (\begin{array}{c} 4 \\ 4 \\ 1 \end{array})$
$\Rightarrow$ Normalenform: $E_{A B D} : [\vec{x} - (\begin{array}{c} 6 \\ 0 \\ 9 \end{array})] \circ (\begin{array}{c} 4 \\ 4 \\ 1 \end{array}) = 0$
$\Rightarrow$ Koordinatenform: $E_{A B D} : 4 x_{1} + 4 x_{2} + x_{3} - (6 \cdot 4 + 0 \cdot 4 + 9 \cdot 1) = 0$
$E_{A B D} : 4 x_{1} + 4 x_{2} + x_{3} - 33 = 0$
Hast du eine Frage oder Feedback?
Kommentiere hier 👇
Das Rechteck $A B C D$ stellt modellhaft eine Zielscheibe beim Bogenschießen dar (vgl. Abbildung 1). Im Koordinatensystem beschreibt die xy-Ebene den horizontalen
Boden; eine Längeneinheit entspricht einem Dezimeter in der Realität.
An die betrachtete Zielscheibe werden folgende Anforderungen gestellt:
I Ein Zielkreis mit einem Durchmesser von $80 cm$ passt vollständig auf die Zielscheibe.
II Die Zielscheibe ist in einem Winkel von $75 °$ bis $80 °$ gegenüber dem horizontalen Boden geneigt.
Zeigen Sie rechnerisch, dass Anforderung I erfüllt ist.
[2 BE]
Abb. 1

Zeige rechnerisch, dass Anforderung I erfüllt ist
$80 cm = 8 dm \Rightarrow | \vec{A B} | = | \vec{A D} | \geq 8$
$| \vec{A B} | = | (\begin{array}{c} - 6 \\ 6 \\ 0 \end{array}) | = \sqrt{(- 6)^{2} + 6^{2} + 0^{2}} = \sqrt{72} > 8$
$| \vec{A D} | = | (\begin{array}{c} - 1 \\ - 1 \\ 8 \end{array}) | = \sqrt{(- 1)^{2} + (- 1)^{2} + 8^{2}} = \sqrt{66} > 8$
Diese Bedingung ist erfüllt, der äußere Zielkreis mit einem Durchmesser von $80 cm$ liegt auf dem Rechteck $A B C D$ .
Hast du eine Frage oder Feedback?
Kommentiere hier 👇
Untersuchen Sie, ob Anforderung II erfüllt ist. [3 BE]

Untersuche, ob Anforderung II erfüllt ist
Neigung der Zielscheibe gegenüber dem Erdboden:
Es ist $| \vec{n_{E}} | = | (\begin{array}{c} 4 \\ 4 \\ 1 \end{array}) | = \sqrt{4^{2} + 4^{2} + 1^{2}} = \sqrt{33}$ .
Der Normalenvektor der $x_{1} x_{2}$ -Ebene ist $| \vec{n_{x_{1} x_{2}}} | = | (\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array}) | = \sqrt{0^{2} + 0^{2} + 1^{2}} = \sqrt{1} = 1$ .
Dann gilt:
$\cos φ = \frac{| \vec{n_{E}} \circ \vec{n_{x_{1} x_{2}}} |}{| \vec{n_{E}} | \cdot | \vec{n_{x_{1} x_{2}}} |} = \frac{| (\begin{array}{c} 4 \\ 4 \\ 1 \end{array}) \circ (\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array}) |}{\sqrt{33} \cdot 1} = \frac{1}{\sqrt{33}}$
$φ = \cos^{- 1} (\frac{1}{\sqrt{33}}) \approx 79,98 °$
Der Neigungswinkel der Ebene $E$ zum Boden beträgt rund $79,98 °$ und liegt damit in dem Intervall $[75^{°}; 80^{°}]$ . Auch die Bedingung $II$ ist erfüllt.
Hast du eine Frage oder Feedback?
Kommentiere hier 👇
In der Mitte der Zielscheibe befindet sich der kreisförmige Goldbereich mit Radius $8 cm$ , dessen Mittelpunkt durch den Punkt $M (2,5 | 2,5 | 13)$ dargestellt wird.

Die Flugbahn der Pfeilspitze eines Pfeils, der die Zielscheibe trifft, wird durch Punkte der Form $(2 s | 3 s | - 0,01 s^{2} + s + 12,01)$ mit geeigneten Werten von $s \in ℝ$ beschrieben.
Zeigen Sie rechnerisch, dass der Pfeil den Goldbereich trifft.
[6 BE]

Zeige rechnerisch, dass der Pfeil den Goldbereich trifft
Bekannt: Der Goldbereich hat einen Durchmesser von $8 cm = 0,8 dm$ .
Setze die Koordinaten der Flugbahn in die Gleichung der Ebene $E$ ein:
$4 \cdot 2 s + 4 \cdot 3 s - 0,01 s^{2} + s + 12,01 - 33 = 0 \Rightarrow - 0,01 s^{2} + 21 s - 20,99 = 0$
$\Rightarrow - 0,01 s^{2} + 21 s - 20,99 = 0 | \cdot (- 100)$
$s^{2} - 2100 s + 2099 = 0$
Du hast eine quadratische Gleichung erhalten. Diese kannst du mit der Mitternachtsformel (abc-Formel) oder mit der pq-Formel lösen.
Hier erfolgt die Lösung mit der pq-Formel.
$s_{1,2}$ $=$ $- \frac{p}{2} \pm \sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
↓
Setze $p = - 2100$ und $q = 2099$ ein.
$=$ $- \frac{(- 2100)}{2} \pm \sqrt{{(\frac{- 2100}{2})}^{2} - 2099}$
↓
Vereinfache.
$=$ $1050 \pm \sqrt{(- 1050)^{2} - 2099}$
$=$ $1050 \pm \sqrt{1100401}$
$=$ $1050 \pm 1049$
Du erhältst die Lösungen $s_{1} = 1050 - 1049 = 1$ und $s_{2} = 1050 + 1049 = 2099$ .
Setze $s_{2}$ in die Flugbahnkurve ein $\Rightarrow x_{3} = - 0,01 \cdot 2099^{2} + 2099 + 12,01 = - 41947 < 0$
Der Pfeil landet unterhalb des Bodens und trifft die Scheibe nicht.
Daher ist $s = 1$ die gesuchte Lösung.
Eingesetzt in die Flugbahnkurve folgt für den Auftreffpunkt:
$(2 | 3 | - 0,01 + 1 + 12,01) = (2 | 3 | 13)$
Liegt der Punkt $(2 | 3 | 13)$ im Goldbereich?
Berechne den Abstand dieses Punktes vom Mittelpunkt $M$ der Scheibe.
$| \vec{O M} - (\begin{array}{c} 2 \\ 3 \\ 13 \end{array}) | = | (\begin{array}{c} 2,5 \\ 2,5 \\ 13 \end{array}) - (\begin{array}{c} 2 \\ 3 \\ 13 \end{array}) | = | (\begin{array}{c} 0,5 \\ - 0,5 \\ 0 \end{array}) | = \sqrt{{0,5}^{2} + (- 0,5)^{2} + 0^{2}} = \sqrt{0,5} \approx 0,7 < 0,8$
Da $0,7 < 0,8$ ist, trifft der Pfeil den Goldbereich.
Hast du eine Frage oder Feedback?
Kommentiere hier 👇
Die Flugbahn eines zweiten Pfeils kann aufgrund der Windverhältnisse nicht genau vorhergesagt werden. Die möglichen Auftreffpositionen werden durch die auf einer Strecke liegenden Punkte $P_{a}$ mit $\vec{O P_{a}} = (\begin{array}{c} 2 \\ 3 \\ 13 \end{array}) + a \cdot (\begin{array}{c} 0,75 \\ - 0,75 \\ 0 \end{array})$ und $a \in [0; 1]$ dargestellt, wobei $O$ den Koordinatenursprung bezeichnet.
Abbildung 2 zeigt den Kreis, der den Goldbereich darstellt, seinen Mittelpunkt $M$ sowie den Punkt $P_{0}$ . Zeigen Sie, dass der Mittelpunkt des Goldbereichs eine mögliche Auftreffposition des zweiten Pfeils ist, und untersuchen Sie mithilfe geeigneter Eintragungen in Abbildung 2, ob der zweite Pfeil den Goldbereich sicher trifft. [4 BE]
Abb. 2

Zeige, dass der Mittelpunkt des Goldbereichs eine mögliche Auftreffposition des zweiten Pfeils ist
Wegen $a \in [0; 1]$ stellt die Punktemenge $\vec{O P_{a}}$ eine Strecke der Länge $1$ dar. Die möglichen Auftreffpunkte sollen auf dieser Strecke liegen.
Es muss gelten: $\vec{O M} = \vec{O P_{a}}$
$\Rightarrow (\begin{array}{c} 2,5 \\ 2,5 \\ 13 \end{array}) = (\begin{array}{c} 2 \\ 3 \\ 13 \end{array}) + a \cdot (\begin{array}{c} 0,75 \\ - 0,75 \\ 0 \end{array}) \Rightarrow (\begin{array}{c} 0,5 \\ - 0,5 \\ 0 \end{array}) = a \cdot (\begin{array}{c} 0,75 \\ - 0,75 \\ 0 \end{array})$
Aus den Gleichungen $I$ und $II$ folgt jeweils $a = \frac{2}{3}$ und $a \in [0; 1]$ .
(Gleichung $III$ ist für alle $a$ auch erfüllt.)
Damit ist der Mittelpunkt des Goldbereichs eine mögliche Auftreffposition des zweiten Pfeils.
Untersuche mithilfe geeigneter Eintragungen in Abbildung 2, ob der zweite Pfeil den Goldbereich sicher trifft
Die Punktemenge $\vec{O P_{a}}$ stellt eine Strecke der Länge $1$ dar. Weiterhin ist $P_{0} M = \frac{2}{3}$ .
Dann muss links von $M$ noch die Hälfte von $P_{0} M$ abgetragen werden, um zu $P_{1}$ zu gelangen. Die ganze Strecke liegt also für alle $a$ innerhalb des Goldbereiches, d. h. der Goldbereich wird immer getroffen.
Hast du eine Frage oder Feedback?
Kommentiere hier 👇

Dieses Werk steht unter der freien Lizenz
CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?

$s_{1,2}$	$=$	$- \frac{p}{2} \pm \sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
	↓	Setze $p = - 2100$ und $q = 2099$ ein.
	$=$	$- \frac{(- 2100)}{2} \pm \sqrt{{(\frac{- 2100}{2})}^{2} - 2099}$
	↓	Vereinfache.
	$=$	$1050 \pm \sqrt{(- 1050)^{2} - 2099}$
	$=$	$1050 \pm \sqrt{1100401}$
	$=$	$1050 \pm 1049$

B 5

Bestimme die Koordinaten von D

Hast du eine Frage oder Feedback?

Bestimme eine Gleichung von E in Koordinatenform

Hast du eine Frage oder Feedback?

Zeige rechnerisch, dass Anforderung I erfüllt ist

Hast du eine Frage oder Feedback?

Untersuche, ob Anforderung II erfüllt ist

Hast du eine Frage oder Feedback?

Zeige rechnerisch, dass der Pfeil den Goldbereich trifft

Hast du eine Frage oder Feedback?

Zeige, dass der Mittelpunkt des Goldbereichs eine mögliche Auftreffposition des zweiten Pfeils ist

Untersuche mithilfe geeigneter Eintragungen in Abbildung 2, ob der zweite Pfeil den Goldbereich sicher trifft

Hast du eine Frage oder Feedback?

Bestimme die Koordinaten von $D$

Bestimme eine Gleichung von $E$ in Koordinatenform