A: Es werden genau $10$ weibliche Eidechsen festgestellt.

B: Es werden mehr als $10$ weibliche Eidechsen festgestellt.

[3 BE]

Gilt $P(|X-\mu |\ge 3)=2\cdot P_{\mathrm{0,5}}^{20}(X\le 7)$?

Es ist $p<\mathrm{0,5}$.

Eine 3-mal-mindestens-Aufgabe, bei der die Trefferquote gesucht ist. [4 BE]

2

Es gibt zwei Zimmer mit 7-bzw. 8-Betten und $12$ Studenten die auf diese beiden Zimmer verteilt werden sollen.

Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis $E$.

$E$: In beiden Zimmern bleibt mindestens $1$ Bett frei. [3 BE]

3

Es ist $Y$=Kopf-Rumpflänge einer weiblichen Eidechse in Millimetern.

$Y$ ist eine normalverteilte Zufallsgröße.

Gegeben ist die Dichtefunktion $\phi (x)={\displaystyle \frac{1}{8\cdot \sqrt{2\pi }}}\cdot e^{-{\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot {\left({\displaystyle \frac{x-\mathrm{53,9}}{8}}\right)}^2}$.

Achtung, eventuell y durch $\phi (x)$ ersetzen.

a) Berechne $P(Y<48)$. [2 BE]

Gegeben: $\phi (x)={\displaystyle \frac{1}{\underset{\sigma }{\underbrace{8}}\cdot \sqrt{2\pi }}}\cdot e^{-{\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot {\left({\displaystyle \frac{x-\stackrel{\mu }{\overbrace{\mathrm{53,9}}}}{8}}\right)}^2}$

Es können zwei Parameter abgelesen werden. Es ist $\sigma =8$ und $\mu =\mathrm{53,9}$.

Der TR liefert dann mit unterer Grenze $-1000$, oberer Grenze $48$, $\sigma =8$ und $\mu =\mathrm{53,9}$:

$P(Y<48)\approx \mathrm{0,2304}$, d. h. rund $23\%$.

b) Gegeben ist $$\mathrm{\Phi }(x)={\displaystyle {\int }_{-\infty }^x\phi (t)\mathrm{d}t}$$

Interpretieren Sie im Sachkontext den Term $\mathrm{\Phi }(\mathrm{0,8}\cdot \mathrm{53,9})+1-\mathrm{\Phi }(\mathrm{1,2}\cdot \mathrm{53,9})$. [2 BE]

$\mathrm{0,8}\cdot \mathrm{53,9}=\mathrm{43,12}$ bedeutet $80\%$ vom Erwartungswert $\mu =\mathrm{53,9}$.

$\mathrm{1,2}\cdot \mathrm{53,9}=\mathrm{64,68}$ bedeutet $120\%$ vom Erwartungswert $\mu =\mathrm{53,9}$.

Die Abbildung zeigt den Bereich (in weiß), der hier gesucht ist.

Der Term stellt die Wahrscheinlichkeit dar, dass Y (Kopf-Rumpflänge einer weiblichen Eidechse) um mindestens $20\%$ vom Erwartungswert $\mu$ abweicht.

c) $Z$= Anzahl der männlichen Eidechsen (binomialverteilt)

Es ist ${\mu }_Z=48$.

Gegeben ist weiterhin $P(41<Z<55)\approx \mathrm{68,3}\%$.

Frage, ist ${\sigma }_Z$ größer oder kleiner als ${\sigma }_Y$? [3 BE]

Nach den Sigmaregeln gilt: $P(|Z-\mu <\sigma )=P(\mu -\sigma <Z<\mu +\sigma )\approx \mathrm{0,683}$

Demnach ist P(48-\sigma_Z<Z<48+\sigma_Z)\approx0,683\;\Rightarrow\;\sigma_Z=7

Da ${\sigma }_Y=8$ ist$\Rightarrow {\sigma }_Z<{\sigma }_Y$.

Da ${\mu }_z=48$ und ${\mu }_Y=\mathrm{53,9}$ ist die Verteilung für $Z$ nach links verschoben, etwas höher als die Verteilung für $Y$ und wegen ${\sigma }_Z<{\sigma }_Y$ etwas schmaler.