Zu text-solution 17044:
DerCooleJunge123 2019-06-20 18:38:10
Hallo, ich habe anfangs e hoch 7x als (e hoch x) hoch 7 geschrieben und dann e hoch x als innere Funktion u genommen. Als Ergebnis habe ich dann 1/16 * Pi * * e hoch 7x + C erhalten. Ich habe mehrmals meine Rechenwege überprüft und bin mir sicher keinen Rechen- / Leichtsinnsfehler gemacht zu haben. Ich denke nun dass es irgendein Problem ist wenn man e hoch x in inneren Funktionen ausdrückt ... kann mir vielleicht jemand mit einer Erklärung warum dieser Rechenweg falsch ist weiterhelfen? Vielen Dank
DerCooleJunge123 2019-06-20 18:41:51
Ps: Es ist die letzte Aufgabe bei der man 1/2 * Pi * e hoch 7x integrieren soll.
Renate 2019-06-20 20:54:34
Hallo @DerCooleJunge123,

zunächst mal, damit ich nichts falsch verstehe:

Dein Rechenweg ist folgendermaßen:
%%\int \frac{\pi}2 e^{7 x}dx %% formst du zuerst
um zu %%\int \frac{\pi}2 (e^{x})^7dx %%

oder wahrscheinlich gleich zu
%%\frac{\pi}2 \cdot\int (e^{x})^{7}dx %%.

Dann setzt du %%u=e^{x}%% und erhältst:
%%\frac{\pi}{2} \cdot \int u^{7}dx %%.


Und an dieser Stelle kommt nun, vermute ich, das Problem:

Hier steht nämlich zwar ein %%u%% im Integral,
integriert wird aber nach %%x%%,
weil am Ende immer noch %%dx%% steht.

Du kannst also NICHT daraus jetzt
%%\frac{\pi}{2} \cdot \frac{1}{8}u^{8} + C %% machen!


Trotzdem ist dein Ansatz an sich nicht ganz falsch, und man kommt man damit im Fall dieser Aufgabe auch weiter.
Ich würde dazu folgendermaßen argumentieren:

Damit am Ende ein %%du%% steht, muss nach Substitutionsregel (siehe https://de.serlo.org/1813) im Integranden durch %%\frac{du}{dx}%% (also durch die Ableitung von %%u%% nach %%x%%) geteilt werden.

Hier ist dies sogar recht problemlos möglich:

Es ist %%u'(x)=(e^x)'=e^x%%; also ergibt sich

%%\frac{\pi}{2} \cdot \int u^{7}dx =%%
%%\frac{\pi}{2} \cdot \int u^{7} \cdot \frac{1}{e^x}du =%%,

und das wird zu
%%\frac{\pi}{2} \cdot \int u^{6}du%%
(weil ja %%\frac{1}{e^x}=\frac{1}{u}%% ist).

Somit erhält man
%%\frac{\pi}{2} \cdot \frac{1}{7} u^{7}+C%%,

und das ergibt nach Rücksubstitution

%%\frac{\pi}{2} \cdot \frac{1}{7} (e^x)^{7}+ C%%.



Beantwortet das deine Frage, bzw. konntest du meine Erklärung nachvollziehen?

Viele Grüße
Renate
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