Man potenziert einen Bruch mit dem Exponenten n, indem man Nenner und Zähler getrennt mit n potenziert.

%%\left(\frac ab\right)^n=\frac{a^n}{b^n}%%

%%\left(\frac57\right)^4=\frac{5^4}{7^4}=\frac{625}{2401}%%

Erklärung am Beispiel

$$\left(\frac57\right)^4$$

$$\left(\frac57\right)^4=\underbrace{\left(\frac57\right)\cdot\left(\frac57\right)\cdot\left(\frac57\right)\cdot\left(\frac57\right)}_{4-mal}=$$

$$={\textstyle\underbrace{{\displaystyle\frac57}\cdot{\displaystyle\frac57}\cdot{\displaystyle\frac57}\cdot\displaystyle\frac57}_{4-\mathrm{mal}}}=$$

$$=\frac{\overbrace{5\cdot5\cdot5\cdot5}^{4-\mathrm{mal}}}{\underbrace{7\cdot7\cdot7\cdot7}_{4-\mathrm{mal}}}=$$

$$=\frac{5^4}{7^4}$$

Allgemeine Erklärung

$$\left(\frac ab\right)^n$$

$$\left(\frac ab\right)^n=\underbrace{\left(\frac ab\right)\cdot\left(\frac ab\right)\cdot\;…\;\cdot\left(\frac ab\right)}_{n-mal}=$$

$$=\underbrace{\frac ab\cdot\frac ab\cdot\;…\;\cdot\frac ab}_{n-mal}=$$

$$=\frac{\overbrace{a\cdot a\cdot\;…\;\cdot a}^{n-mal}}{\underbrace{b\cdot b\cdot\;…\;\cdot b}_{n-mal}}=$$

$$=\frac{a^n}{b^n}$$

Weitere Beispiele

  1. %%\left(\frac34\right)^2=\frac{3\cdot3}{4\cdot4}=\frac{3^2}{4^2}=\frac9{16}%%

  2. %%\left(\frac23\right)^3=\frac{2^3}{3^3}=\frac8{27}%%

Negative Brüche

Ist der Exponent eine ungerade Zahl, so bleibt der Bruch negativ.

Ist der Exponent eine gerade Zahl, wird der potenzierte Bruch positiv.

%%\left(-\frac34\right)^2=\frac9{16}%%

%%\left(-\frac34\right)^3=-\frac{27}{64}%%

Begründung: %%\left(-\frac34\right)^2=\frac{\left(-3\right)^2}{\left(4\right)^2}=\frac9{16}%%

Begründung: %%\left(-\frac34\right)^3=\frac{\left(-3\right)^3}{\left(4\right)^3}=\frac{-27}{64}=-\frac{27}{64}%%

Beispielaufgaben

in Arbeit

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