Dezimalsystem

Das Dezimalsystem (lateinisch decem „zehn“), auch als Zehnersystem oder dekadisches System bezeichnet, ist ein Zahlensystem, das als Basis die Zahl 10 und somit die Ziffern von 0 bis 9 verwendet. Es ist ein Stellenwertsystem, das in der indischen Zahlschrift entwickelt und durch arabische Vermittlung an die europäischen Länder weitergegeben wurde. [1]

Heute ist das Dezimalsystem weltweit etabliert und gilt als internationaler Standard der meisten Länder der Erde. Es ist uns allen hinlänglich aus der Schule bekannt und gilt heute das verbreitetste Zahlensystem der Welt. Die Arbeit mit Ziffern und Zahlen des Dezimalsystems umgibt uns in allen Lebenslagen von der Supermarktkasse bis hin zur Hochschulmathematik.

Definition

Das Dezimalsystem ist ein Stellenwert-Zahlensystem zur Basis 10.

${R_D = 10(Basis) \space Z_D = \{0{,}1,2{,}3,4{,}5,6{,}7,8{,}9\}}$

Wobei R für die Basis (hier 10) und Z für die Menge seiner Ziffern steht. Es werden also die Ziffern: 0 (Null), 1 (Eins), 2 (Zwei), 3 (Drei), 4 (Vier), 5 (Fünf), 6 (Sechs), 7 (Sieben), 8 (Acht), 9 (Neun) genutzt.

Bildlich gesprochen wird eine Menge von <n> Elementen in Bündel zur Basis 10 gebracht.

Im Beispiel haben wir 23 blaue Kreise die ein 2-Zehner und ein 3 Einer-Bündel ergeben und somit die Zahl 23

Darstellung

Zur Darstellung einer Zahl im Dezimalsystem werden die Ziffern ohne Trennzeichen hintereinander geschrieben. Ihr Stellenwert entspricht der zur Stelle passenden Zehnerpotenz. Die höchstwertige Stelle wird ganz links und die niederwertigeren Stellen in absteigender Reihenfolge rechts davon aufgeschrieben.

Beachte, die Stellenzählung beginnt mit 0

Somit wird z.B. die Zahl

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{ccc} & \\ & & & \textbf{Sechshunderteinunddreissig} \\ & \end{array}$

wie folgt dargestellt:

	Hunderter	Zehner	Einer
Stellennummer:	2	1	0
Stellenwert:	$6*10^2$	$3*10^1$	$1*10^0$
Zahl:	$600$	$30$	$1$

Addiert man nun die einzelnen Stellenwerte, bekommt man den Gesamtwert der Dezimalzahl:

$600+30+1=631$

Umrechnen in andere Stellenwertsysteme

Das Umrechnen von Dezimalzahlen in z.B. Binärzahlen ist, anders als beim Umrechnen von Binärzahlen z.B. in Hexadezimalzahlen, etwas komplexer, dass die Basis 10 des Dezimalsystems keine Potenz des Binärsystems (Basis 2) ist.

Deshalb nutzt man oft die Divisionsmethode (Restverfahren), die wie folgt funktioniert:

Um z.B. die Dezimalzahl 15 in eine Binärzahl umzurechnen, wird 15 solange durch 2 ganzzahlig dividiert (modulo), bis man als Ergebnis 0 erreicht. Der jeweilige Rest wird verkettet und stellt somit die Binärzahl dar.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{cccccc} & \textbf{15} & \textbf{:} & \textbf{2} & \textbf{=} & \textbf{7} & \textbf{Rest: 1} \\ & \textbf{7} & \textbf{:} & \textbf{2} & \textbf{=} & \textbf{3} & \textbf{Rest: 1} \\ & \textbf{3} & \textbf{:} & \textbf{2} & \textbf{=} & \textbf{1} & \textbf{Rest: 1} \\ & \textbf{1} & \textbf{:} & \textbf{2} & \textbf{=} & \textbf{0} & \textbf{Rest: 1} \end{array}$

Somit ergibt sich für $15_{10}$ die Binärzahl: $\textbf{1111}_2$

Anwendungen

Anwendungen zum Dezimalsystem, was soll man dazu sagen. Alles was uns zahlenmäßig umgibt, von der Supermarktkasse bis zum Mathezeugnis.

Aber es gibt auch historische Anwendungen, wie den Addiator von Carl Kübler (Berlin) aus den 1920'er Jahren. [2]

Diesen kleinen Rechner mit Zahnstangen kann man für die Addition und die Subtraktion nutzen und er wurde in seiner Zeit so etwas wie der Taschenrechner der Generation.

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Quellen

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