Aufgaben zur Pyramide

1
Die Cheops-Pyramide hat ungefähr die Länge 230m, die Breite 230m und die Höhe 139m. Wie groß ist ihr Volumen?
m³

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Pyramide
Gegeben: $l=230\,\mathrm m$ $b=230\,\mathrm m$ $h=139\,\mathrm m$
Gesucht: $V = ?$
Du brauchst die Formel für das Volumen einer Pyramide.
$\displaystyle V=\frac{1}{3}\cdot G\cdot h$
Das ist die Formel für eine Pyramide. In diese Formel kannst du dann die Zahlen einsetzen.
$\displaystyle V=\frac13\cdot(230\,\mathrm m)^2\cdot139\,\mathrm m$
Das rechnest du aus und rundest das Ergebnis.
$\displaystyle V=2\,451\,033\,\mathrm m^3$
2
In ländlichen Gebieten dürfen Gebäude nur $50 \, \mathrm{m}$ hoch sein, da man sonst eine spezielle Baugenehmigung braucht. Der Kirchturm ist bis zum Dach $30 \, \mathrm{m}$ hoch mit einer quadratischen Grundfläche von $3025 \, \mathrm{dm}^2$ . Das Gesamtvolumen des Kirchturms beträgt $1058{,}75 \, \mathrm{m}^3$ .
Braucht die Gemeinde eine Sonderbaugenehmigung?
m
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Volumen einer Pyramide
Gegebene Maße
Höhe bis zum Dach: $30 \, \mathrm{m}$
Quadratische Grundfläche: $3025 \, \mathrm{dm}^2$
Gesamtvolumen des Kirchturms: $1058{,}75 \, \mathrm{m}^3$
1. Schritt: Vereinheitliche die Größen
$\displaystyle 3025 \, \mathrm{dm}^2 = 30{,}25 \, \mathrm{m}^2$
Es gilt:Deswegen musst du dein Komma bei $3025{,}00 \, \mathrm{dm}$ um zwei Stellen nach links verschieben.
2. Schritt: Berechne das Volumen des Quaders
$\displaystyle V_\mathrm{Quader} = G \cdot h$
Setze die Werte aus der Angabe ein.
$\displaystyle V_\mathrm{Quader} = 30{,}25 \, \mathrm{m}^2 \cdot 30 \, \mathrm{m}$
Beachte, dass sich die Einheiten multiplizieren: $\mathrm{m}^2 \cdot \mathrm{m} = \mathrm{m}^3$ .
$\displaystyle V_\mathrm{Quader} = 907{,}5 \, \mathrm{m}^3$
3. Schritt: Berechne das Volumen des Daches
Das Gesamtvolumen lässt sich aus dem Volumen des Daches und des Quaders berechnen. Dazu muss man diese addieren.
$\displaystyle V_\mathrm{gesamt} = V_\mathrm{Dach} + V_\mathrm{Quader}$
Stelle nach $V_\mathrm{Dach}$ um.
$\displaystyle V_{\mathrm{Dach}}=V_{\mathrm{gesamt}}-V_{\mathrm{Quader}}^{ }$
Setze die Werte aus der Angabe ein.
$\displaystyle V_\mathrm{Dach} = 1058{,}75 \, \mathrm{m}^3 - 907{,}5 \, \mathrm{m}^3$
$\displaystyle V_\mathrm{Dach} = 151{,}25 \, \mathrm{m}^3$
4. Schritt: Berechne die Höhe des Daches
Das Dach ist eine Pyramide. Stelle die Volumenformel für die Pyramide auf.
$\displaystyle V_\mathrm{Dach} = \frac{1}{3} \cdot G \cdot h_\mathrm{Dach}$
Stelle nach $h_\mathrm{Dach}$ um, indem du erst auf beiden Seiten durch $G$ teilst und anschließend mit $3$ multiplizierst, um den Bruch wegzubekommen.
$\displaystyle 3 \cdot \frac{V_\mathrm{Dach}}{G} = h_\mathrm{Dach}$
Setze die Werte aus der Angabe ein.
$\displaystyle h_\mathrm{Dach} = 3 \cdot \frac{151{,}25 \, \mathrm{m}^3}{30{,}25 \, \mathrm{m}^2}$
$\displaystyle h_\mathrm{Dach} = 15 \, \mathrm{m}$
Die Höhe des Daches beträgt $15 \, \mathrm{m}$ .
5. Schritt: Bestimme die Gesamthöhe
Die Gesamthöhe setzt sich aus der Höhe des Quaders und des Daches zusammen. Dazu muss man diese addieren.
$\displaystyle h_{\mathrm{gesamt}}=h_{\mathrm{Quader}}+h_{\mathrm{Dach}}^{ }$
Setze die Werte aus der Angabe ein.
$\displaystyle h_\mathrm{gesamt} = 30 \, \mathrm{m} + 15 \, \mathrm{m}$
$\displaystyle h_\mathrm{gesamt} = 45 \, \mathrm{m}$
Die Gesamthöhe des Kirchturmes beträgt $45 \, \mathrm{m}$ . Deswegen braucht die Gemeinde keine spezielle Baugenehmigung.
Überlege dir zuerst aus welchen Figuren sich ein Turm zusammensetzt.
Tipp: Eine quadratische Grundfläche bedeutet, dass deine Seitenlängen gleich lang sind. Dazu ist es geschickt, alle Größen in eine gleiche Einheit zu bringen. Rechne daher die Quadratdezimeter $\mathrm{dm}^2$ in Quadratmeter $\mathrm{m}^2$ um.

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CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?

Aufgaben zur Pyramide

Gegebene Maße

1. Schritt: Vereinheitliche die Größen

2. Schritt: Berechne das Volumen des Quaders

3. Schritt: Berechne das Volumen des Daches

4. Schritt: Berechne die Höhe des Daches

5. Schritt: Bestimme die Gesamthöhe