Geometrie, Teil A, Aufgabengruppe 1

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Die Aufgabenstellung findest du hier zum Ausdrucken als PDF.

Gegeben ist die Kugel mit Mittelpunkt M(1|4|0) und Radius 6.

(3 BE)

Bestimmen Sie alle Werte $p\in \mathbb{R}$ , für die der Punkt P(5|1|p) auf der Kugel liegt.

(2 BE)

Die Gerade g berührt die Kugel im Punkt B(-3|8|2). Ermitteln Sie eine mögliche Gleichung von g.

Lösung Teilaufgabe a)

Du hast zwei Möglichkeiten zur Lösung der Aufgabe:

Ein Punkt $P$ liegt genau dann auf einer vorgegebenen Kugel, wenn sein Abstand zum Mittelpunkt gleich dem Radius ist. Wenn du diese Bedingung verwendest, brauchst du keine Kugelgleichung.
Du kannst aber als alternative Lösung auch erst die Kugelgleichung aufstellen und in diese die Koordinaten von $P$ einsetzen.

Lösung mit Hilfe der Abstandsbedingung

Der Punkt $P (5 ∣ 1 ∣ p)$ liegt genau dann auf der Kugel mit dem Mittelpunkt $M (1 ∣ 4 ∣ 0)$ und Radius $6$ , wenn der Abstand $d (P; M)$ von $P$ zu $M$ gleich dem Radius $6$ ist.

Den Abstand $d (P; M)$ der beiden Punkte berechnest du als den Betrag des Verbindungsvektors beider Punkte:

$d(P;M)=|\overrightarrow {PM}|$

Bestimme den Verbindungsvektor $\overrightarrow {PM}$ als Differenzvektor der beiden Ortsvektoren $\vec M$ minus $\vec P$ .

$\displaystyle \overrightarrow{PM}$	$=$	$\displaystyle \begin{pmatrix} 1\\4\\0\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}5\\1\\p\end{pmatrix}$
	$=$	$\displaystyle \begin{pmatrix}-4\\3\\-p\end{pmatrix}$
	↓	Verwende die Formel für den Betrag eines Vektors.
$\displaystyle \|\overrightarrow{PM}\|$	$=$	$\displaystyle \left\|\begin{pmatrix} -4\\3\\-p\end {pmatrix}\right\|$
	$=$	$\displaystyle \sqrt{(-4)^2+3^2+(-p)^2}$
	$=$	$\displaystyle \sqrt{25+p^2}$

Setze $|\overrightarrow{PM}|=6$ und löse die Gleichung nach $p$ auf.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcrl}\sqrt{25+p^2}&=&6&|\,\ ^2\\25+p^2&=&36&|\,-25\\p^2&=&11&|\,\sqrt{ }\\p_1&=&\sqrt{11}\\p_2&=&-\sqrt{11}\end{array}$

Es gibt zwei gesuchte Punkte auf der Kugel: $P_1(5|1|\sqrt{11})$ und $P_2(5|1|-\sqrt{11})$ .

Lösung Teilaufgabe b)

Vorüberlegungen zur Lösung

Hier findest du eine nicht gerade alltägliche Aufgabenstellung:

Die Formulierung "Ermitteln Sie eine mögliche Gerade $g$ " lässt vermuten, dass die Aufgabe nicht nur eine Lösung hat. Mit anderen Worten: Es gibt möglicherweise mehrere Geraden, die der Aufgabenstellung entsprechen.

Du wirst also eine "Auswahl" haben und eine solche treffen müssen. (Mathematisch sagt man dazu auch: Die Aufgabe enthält einen oder gar mehrere "Freiheitsgrade".)

Anschaulich kannst du dir überlegen:

Wenn eine Gerade eine Kugel in einem Kugelpunkt berührt, dann liegt sie in der Tangentialebene dieses Punktes. Und es gilt umgekehrt: Jede Gerade in der Tangentialebene, die durch diesen Punkt verläuft, berührt die Kugel.

In der nebenstehenden Skizze erkennst du, dass alle vier Geraden $g_{1}$ bis $g_{4}$ Lösungen der Aufgabe sind.

Die einzige Bedingung, die eine Gerade $g: \vec x=\vec b + \lambda\cdot \vec u$ erfüllen muss, damit sie die Kugel $\mathrm{K}$ mit dem Mittelpunkt $M$ im Punkt $B\in\mathrm{K}$ berührt, ist, dass der Richtungsvektor $\vec u$ auf dem Vektor $\overrightarrow {BM}$ senkrecht steht. D.h. dass gilt: $\vec u \circ \overrightarrow{BM}=0$ .

Durchführung der Vorüberlegungen

Überprüfe zunächst, ob der Punkt $B (- 3 ∣ 8 ∣ 2)$ tatsächlich ein Punkt der Kugel ist:

Tatsächlich gilt: $\left|\overrightarrow{BM}\right|=\sqrt{(1+3)^2+(4-8)^2+(-2)^2}=\sqrt{36}=6$

und somit ist $B\in\mathrm{K}$ .

Erstelle die Parametergleichung einer Geraden $g$ durch den Punkt $B (- 3 ∣ 8 ∣ 2)$ mit einem beliebigen Richtungsvektor $\vec u=\begin{pmatrix}u_1\\u_2\\u_3\end{pmatrix}$ .

Anmerkung:

$u_{1}; u_{2}; u_{3}$ können beliebige reelle Zahlen sein. Nur nicht alle drei gleichzeitig $0$ , d.h. es gilt: $u_1^2+u_2^2+u_3^2\neq0$ . $\vec u$ wäre dann ja der Nullvektor und dieser ist kein Richtungsvektor.

$g:\vec x= \begin{pmatrix}-3\\8\\2\end {pmatrix}+\lambda\cdot \begin{pmatrix}u_1\\u_2\\u_3\end {pmatrix}$

Bilde das Skalarprodukt von $\vec u$ mit $\overrightarrow{BM}$ und setze es gleich Null.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl}\begin{pmatrix}1-(-3)\\4-8\\0-2\end{pmatrix}\circ\begin{pmatrix}u_1\\u_2\\u_3\end{pmatrix}&=&0\\\begin{pmatrix}4\\-4\\-2\end{pmatrix}\circ\begin{pmatrix}u_1\\u_2\\u_3\end{pmatrix}&=&0\\4u_1-4u_2-2u_3&=&0\end{array}$

In dieser Gleichung (3 Unbekannte!) gibst du dir für zwei der drei Größen beliebige Werte vor (Du hast also zwei "Freiheitsgrade"!).Z.B.: $\color{red}{u_1=0}$ und $\color{red}{u_2=1}$ und berechnest $u_{3}$ .

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl}\;4\cdot \color{red}{0}-4\cdot \color{red}{1}-2u_3&=&0\\\Rightarrow \color{red}{u_3}&\color{red}{=}&\color{red}{-2}\end{array}$

Gib die gefundene Gerade $g$ an:

Eine der möglichen Geraden, die die Kugel im Punkt $B (- 3 ∣ 8 ∣ 2)$ berührt, hat die Gleichung $\vec x =\begin {pmatrix}-3\\8\\2\end {pmatrix}+\lambda \cdot \begin {pmatrix}0\\1\\-2\end {pmatrix}\,;\lambda\in\mathbb{R}$ .

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Bayerisches Staatsministerium für Unterricht und Kultus (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Für jeden Wert von $a$ mit $a\in\mathbb{R}$ ist eine Gerade $g_{a}$ gegeben durch
$g_a:\vec{X}=\begin{pmatrix}2\\a-4\\4\end{pmatrix}+\lambda\cdot \begin{pmatrix}2\\-2\\1\end{pmatrix},\;\lambda\in\mathbb{R}$ .
a)
(2 BE)
Bestimmen Sie in Abhängigkeit von $a$ die Koordinaten des Punktes, in dem $g_{a}$ die $x_{1} x_{2}$ -Ebene schneidet.
b)
(3 BE)
Für genau einen Wert von $a$ hat die Gerade $g_{a}$ einen Schnittpunkt mit der $x_{3}$ -Achse. Ermitteln Sie die Koordinaten dieses Schnittpunktes.

Lösung Aufgabe a)
In der Aufgabe wird der Schnittpunkt einer Geraden mit einer Koordinatenebene verlangt.
Gegeben ist die von einem Parameter $a$ abhängige Geradengleichung
$\displaystyle g_a: \vec X=\begin{pmatrix}2\\a-4\\4\end{pmatrix} + \lambda\cdot \begin{pmatrix}2\\-2\\1\end{pmatrix};\;\lambda\in \mathrm{R}\;;a\in \mathrm{R}$
Man nennt solche eine Menge von (unendlich vielen) Geraden auch eine "Geradenschar" und $a$ den "Scharparameter").
Gesucht ist der von $a$ abhängige Schnittpunkt der Schargeraden mit der Koordinatenebene $E_{x_1x_2}$ .
Eine Gerade $g_{a}$ schneidet die Koordinatenebene $E_{x_1x_2}$ dann, wenn die $x_{3}$ -Koordinate des Ortsvektors $\vec X$ der Geradengleichung Null ist.
Damit erhältst du folgende Vektorgleichung:
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{ccll}\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\ \color{red}{0}\end{pmatrix}&=&\begin{pmatrix}2\\a-4\\\color{red}{4}\end{pmatrix}+\lambda \cdot \begin{pmatrix}2\\-2\\\color{red}{1}\end{pmatrix}& \quad\text{lies die 3. Zeile als Gleichung}\\0&=&4+\lambda\cdot1&\quad\text{löse nach}\,\lambda\,\text{auf}\\\lambda&=&-4 \end{array}$
Mit $\lambda=-4$ erhältst du den Schnittpunkt der Geradenschar $g_{a}$ mit der $x_{1} x_{2}$ -Ebene in Abhängigkeit vom Scharparameter $a$ so:
$\overrightarrow{S_{x_1x_2}}=\begin{pmatrix}2\\a-4\\4\end{pmatrix}+(-4)\cdot\begin{pmatrix}2\\-2\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-6\\a+4\\0\end{pmatrix}$
Der Schnittpunkt der Geradenschar $g_{a}$ mit der $x_{1} x_{2}$ -Ebene hat die Koordinaten $(- 6 ∣ a + 4 ∣ 0)$ .
Lösung Aufgabe b)
In der Aufgabe geht es um den Schnitt räumlicher Geraden mit der Lösbarkeit eines linearen Gleichungssystems.
Vorüberlegung
Eine Gerade, die zu einer Ebene nicht parallel ist, schneidet diese - wie auch Teilaufgabe a) zeigt - stets in genau einem Punkt.
Ob eine Gerade im Raum jedoch auch eine nicht zu ihr parallele Gerade schneidet, ist nicht sicher. Beide Geraden können - wie man sagt - "windschief"- zueinander verlaufen.
Du musst zeigen, dass genau eine Gerade der Schar $g_{a}$ die $x_{3}$ -Achse schneidet und somit zu ihr nicht windschief ist.
Du musst also zeigen, dass die Vektorgleichung
$\begin{pmatrix}\color{red}{0}\\\color{green}{0}\\x_3\end{pmatrix}\overset{\color{red}{\displaystyle?}}{=}\begin{pmatrix}\color{red}{2}\\\color{green}{a-4}\\4\end{pmatrix}+\lambda\cdot\begin{pmatrix}\color{red}{2}\\\color{green}{-2}\\1\end{pmatrix}$ genau einen Wert $a$ und ein $\lambda$ als Lösung besitzt.
Schreibe die ersten beiden Zeilen der Vektorgleichung als ein Gleichungssystem von zwei Gleichungen mit den Unbekannten $a$ und $\lambda$ .
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rccll}\color{red}{\mathrm{I}}&\color{red}{0}&\color{red}{=}&\color{red}{2+2\lambda}&\color{red}{\quad\Rightarrow}\\\color{green}{\mathrm{II}}&\color{green}{0}&\color{green}{=}&\color{green}{a-4-2\lambda}\end{array}$
$\lambda=-1$
$\lambda$ $\text{in}$ $\mathrm{II}$ $\text{einsetzen}$
$\mathrm{II'}\quad0\quad=\;\;a-4+2\quad\quad\Rightarrow\quad\; a=2$
Mit $a = 2$ ergibt sich für $\lambda=-1$ ein Schnittpunkt der Geraden $g_{2}$ mit der $x_{3}$ _Achse:
$\displaystyle \overrightarrow{S}_{x_3}=\begin{pmatrix}2\\2-4\\4\end{pmatrix}+(-1)\cdot\begin{pmatrix}2\\-2\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\3\end{pmatrix}.$
Also der Punkt S(0|0|3).

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Geometrie, Teil A, Aufgabengruppe 1

Lösung Teilaufgabe a)

Lösung mit Hilfe der Abstandsbedingung

Lösung Teilaufgabe b)

Durchführung der Vorüberlegungen

Lösung Aufgabe a)

Lösung Aufgabe b)

Vorüberlegung