Gemischte Aufgaben zu Funktionen

Gegeben ist die Funktion $f (x) = \frac{l n (x^{2})}{x}$ mit $D_{f} = D_{m a x}$ .

Gib die Definitionsmenge $D_{f}$ , die Gleichung aller Asymptoten und das Verhalten an den Rändern des Definitionsbereichs an.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Definitionsmenge
Bei der Bestimmung der Definitionsmenge musst du hier zweierlei Sachen beachten:
Den Nenner der Funktion.
Die $\ln$ -Funktion im Zähler.
Die Definitionslücke im Nenner entspricht der Nullstelle im Nenner. In unserem Fall also:
$x = 0 \Rightarrow D_{f} = ℝ \ {0}$
Die Definitionsmenge der $\ln$ -Funktion ist $D_{\ln} = ℝ^{+}$ . Da das Argument des natürlichen Logarithmus $x^{2}$ ist, kann es nie negativ werden. Die einzige Stelle, an der es Probleme gibt, ist die Null. Da diese bereits ausgeschlossen ist, lautet der Definitionsbereich
$D_{f} = ℝ \ {0}$
Verhalten an den Rändern des Definitionsbereichs
Um die Gleichung aller Asymptoten leicht angeben zu können, untersuchst du zuerst das Verhaten an den Rändern des Definitionsbereichs.Die Ränder sind
$\infty$ und $- \infty$
$0^{+}$ und $0^{-}$ (Also annähernd an die Null von rechts bzw. von links)
Die Formelsammlung oder Merkhilfe liefert $\lim_{x \to \pm \infty} \frac{\ln (x^{2})}{x} = 0$
Für $x \to 0$ gilt $\lim_{x \to 0} \ln (x^{2}) = - \infty$ , da das Quadrat innen den Verlauf des Logarithmus nicht verändert. Teilt man durch ein sehr kleines $x$ , also eine Zahl die fast 0 ist, so wird der Betrag des Ergebnisses sogar nochmal größer. Insgesamt gilt deshalb:
$\lim_{x \to 0^{+}} \frac{\ln (x^{2})}{x} = - \infty$
$\lim_{x \to 0^{-}} \frac{\ln (x^{2})}{x} = + \infty$
Asymptotengleichungen
Die senkrechten Asymptoten lassen sich aus der Definitionsmenge ableiten, Die waagerechte Asymptote kannst du hier aus dem Verhalten im Unendlichen ableiten.
senkrechte Asymptote: $x = 0$ waagerechte Asymptote: $y = 0$
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Untersuche die angegebene Funktion auf Symmetrie.

Untersuche die Funktion auf gemeinsame Punkte mit den Koordinatenachsen.

Untersuche das Monotonieverhalten der Funktion und gib Lage und Art aller Extremstellen an.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Monotonieverhalten bestimmen

Zur Lösung der Aufgabe musst du das Monotonieverhalten bestimmen.In dieser Aufgabe bestimmst du das Verhalten mithilfe einer Monotonietabelle,natürlich ist es auch mithilfe der 2. Ableitung möglich.

1. Ableitung bilden

Zum Ableiten benötigst du

die Quotientenregel, wegen des Bruches.
die Ableitung vom $\ln$ .
die Kettenregel, wegen des $x^{2}$ im $\ln$ .

$f (x)$	$=$	$\frac{\ln (x^{2})}{x}$
	↓	Wende zuerst die Quotientenregel an. ( $□^{'}$ ) bedeutet die Ableitung von $□$ .
$f ´ (x)$	$=$	$\frac{(\ln (x^{2})) ´ \cdot x - (x) ´ \cdot \ln (x^{2})}{x^{2}}$
	↓	Die Ableitung von $x$ ist $1$ .Bide die Ableitung von $\ln (x^{2})$ mithilfe der Kettenregel und der Ableitungsregel vom $\ln$ .
$f ´ (x)$	$=$	$\frac{\frac{1}{x^{2}} \cdot 2 x \cdot x - 1 \cdot \ln (x^{2})}{x^{2}}$
	↓	Verrechne.
$f ´ (x)$	$=$	$\frac{2 - \ln (x^{2})}{x^{2}}$

Nullstellen der Ableitung bestimmen

Die Nullstellen der ersten Ableitung sind die Punkte, in der die Funktion die Steigung Null und somit waagerechte Tangenten besitzt. Diese Punkte sind die Kandidaten für die Extremstellen.

$f ´ (x)$	$=$	$\frac{2 - \ln (x^{2})}{x^{2}}$
	↓	Setze die Ableitung gleich 0.
$\frac{2 - \ln (x^{2})}{x^{2}}$	$=$	$0$	$\cdot x^{2}$
	↓	Multipliziere mit $x^{2}$ , um den Nenner zu entfernen.
$2 - \ln (x^{2})$	$=$	$0$	$+ \ln (x^{2})$
	↓	Bringe den $\ln$ isoliert auf eine Seite.
$2$	$=$	$\ln (x^{2})$	$e^{}$
	↓	Verwende die Logarithmus-Rechenregel: $\ln (x^{r}) = r \cdot \ln (x)$
$e^{2}$	$=$	$x^{2}$	$\sqrt{}$
	↓	Ziehe auf beiden Seiten die Wurzel.
$x$	$=$	$\pm e$

Es gibt also die zwei Extremstellen-Kandidaten $e$ und $- e$ .

Monotonietabelle

In der Monotonietabelle betrachtest du jeweils die Bereiche links und rechts von deiner Extremstelle und Polstellen untersuchst, wie sich die Ableitung und somit die Steigung in diesen Bereichen verhält.

$x$	$x < - e$	$x = - e$	$- e < x < 0$	$x = 0$	$0 < x < e$	$x = e$	$x > e$
$f^{'} (x)$	$< 0$	$0$	$> 0$	/	$> 0$	$0$	$< 0$
$G_{f}$	smf	TIP	sms	POL	sms	HOP	smf

smf= streng monoton fallend sms= streng monoton steigend TIP= Tiefpunkt/Minimum HOP= Hochpunkt/Maximum POL= Polstelle der Funktion

Lage und Art der Extremstellen

Die x-Koordinate und die Art der Extremstelle ergibt sich direkt aus der Erstellung der Tabelle.

Die Nullstellen $e$ und $- e$ der Ableitung liefern jeweils einen Extrempunkt. Die Tabelle sagt dir ausßerdem, dass bei $e$ ein Hochpunkt liegt und bei $- e$ ein Tiefpunkt.

Um die Lage der Extremstelle anzugeben, muss noch die y-Koordinate berechnet werden. Setze dazu in die Funktion $f$ ein:

Hochpunkt: $f (e) = \frac{l n (e^{2})}{e} = \frac{2}{e}$ $\Rightarrow H O P (e | \frac{2}{e})$

TiefpunktDer Tiefpunkt kann auch mittels $f (- e)$ ausgerechnet werden. Du kannst aber auch die Punktsymmetrie ausnutzen: $\Rightarrow T I P (- e | - \frac{2}{e})$

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Zeige, dass $F (x) = \frac{1}{4} (l n (x^{2}))^{2}$ eine Stammfunktion von $f$ ist und bestimme den Funktionsterm derjenigen Stammfunktion, die durch den Punkt $P (1 | 5)$ verläuft.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Stammfunktion
Um zu zeigen, dass eine Funktion Stammfunktion einer anderen Funktion ist, ist es am einfachsten, den Stammfunktionskandidaten abzuleiten.
$F (x)$ $=$ $\frac{1}{4} {(\ln (x^{2}))}^{2}$
↓
Zur Ableitung benötigst du zweimal die Kettenregel und die Ableitungsregel des $\ln$ .
$F ´ (x)$ $=$ $2 \cdot \frac{1}{4} (\ln (x^{2})) \cdot \frac{1}{x^{2}} \cdot 2 x$
↓
Berechne.
$F ´ (x)$ $=$ $\frac{\ln (x^{2})}{x^{2}}$
$=$ $f (x)$
Ja, F ist eine Stammfunktion von f.
Gesucht ist nun die Stammfunktion, die durch den Punkt $P (1 | 5)$ verläuft.
Alle Stammfunktionen von f haben für $c \in ℝ$ die Gestalt
$F_{c} (x) = \frac{1}{4} (\ln (x^{2})^{2} + c$

Setze den Punkt in die allgemeine Stammfunktion ein:
$5 = \frac{1}{4} (\ln (1^{2}))^{2} + c$
Berechne auf der rechten Seite mithilfe von $\ln (1) = 0$ .
$5 = c$
Gesucht ist also die Stammfunktion
$F_{5} (x) = \frac{1}{4} (\ln (x^{2}))^{2} + 5$
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Verhalten an den Rändern des Definitionsbereichs

Asymptotengleichungen

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Schnittpunkt mit der y-Achse

Schnittpunkte mit der x-Achse

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1. Ableitung bilden

Nullstellen der Ableitung bestimmen

Monotonietabelle

Lage und Art der Extremstellen

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$f (x)$	$=$	$\frac{\ln (x^{2})}{x}$
	↓	Setze $- x$ in die Funktion ein.
$f (- x)$	$=$	$\frac{\ln ({(- x)}^{2})}{- x}$
	↓	Hat $- x$ einen geraden Exponenten, so kann das Minus weggelassen werden. Bei einem ungeraden Exponenten zieht man das Minus nach vorne.
	$=$	$- \frac{\ln (x^{2})}{x}$
	↓	Vergleiche mit $f (x)$ .
	$=$	$- f (x)$
	↓	Insgesamt gilt also $f (- x) = - f (x)$ und damit ist die Funktion punktsymmetrisch.

$f (x)$	$=$	$0$
	↓	Setze den Funktionsterm gleich 0.
$\frac{\ln (x^{2})}{x}$	$=$	$0$	$\cdot x$
	↓	keinen Nenner mehr gibt.
$\ln (x^{2})$	$=$	$0$	$\cdot e^{0}$
	↓	Löse den $\ln$ mithilfe seiner Umkehrfunktion $e$ auf.
$x^{2}$	$=$	$e^{0}$
	↓	Berechne $e^{0}$ .
$x^{2}$	$=$	$1$	$\pm \sqrt{}$
	↓	Ziehe die Wurzel. Beachte, dass es sowohl eine positive als auch eine negative Lösung geben kann.
$x_{1}$	$=$	$1$
$x_{2}$	$=$	$- 1$

$F (x)$	$=$	$\frac{1}{4} {(\ln (x^{2}))}^{2}$
	↓	Zur Ableitung benötigst du zweimal die Kettenregel und die Ableitungsregel des $\ln$ .
$F ´ (x)$	$=$	$2 \cdot \frac{1}{4} (\ln (x^{2})) \cdot \frac{1}{x^{2}} \cdot 2 x$
	↓	Berechne.
$F ´ (x)$	$=$	$\frac{\ln (x^{2})}{x^{2}}$
	$=$	$f (x)$