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Gegeben ist die in + definierte Funktion f:x2((lnx)21). Abbildung 1 zeigt den Graphen Gf von f.

Abbildung 1

a)

(5 BE)

Zeigen Sie, dass x=e1 und x=e die einzigen Nullstellen von f sind, und berechnen Sie die Koordinaten des Tiefpunkts T von Gf.

(zur Kontrolle: f(x)=4xlnx)

b)

(6 BE)

Zeigen Sie, dass Gf genau einen Wendepunkt W besitzt, und bestimmen Sie dessen Koordinaten sowie die Gleichung der Tangente an Gf im Punkt W.

(zur Kontrolle: x-Koordinate von W: e)

c)

(6 BE)

Begründen Sie, dass limx0f(x)= und limx+f(x)=0 gilt. Geben Sie f(0,5) und f(10) auf eine Dezimale genau an und zeichnen Sie den Graphen der Ableitungsfunktion f unter Berücksichtigung aller bisherigen Ergebnisse in Abbildung 1 ein.

d)

(3 BE)

Begründen Sie unter Zuhilfenahme von Abbildung 1, dass es zwei Werte c]0;6] gibt, für die gilt:e1cf(x)dx=0.

Die gebrochen-rationale Funktion h:x1,5x4,5+1x mit x\ {0} stellt in einem gewissen Bereich eine gute Näherung für f dar.

e)

(2 BE)

Geben Sie die Gleichungen der beiden Asymptoten des Graphen von h an.

f)

(5 BE)

Im IV. Quadranten schließt Gf zusammen mit der x-Achse und den Geraden mit den Gleichungen x=1 und x=2 ein Flächenstück ein, dessen Inhalt etwa 1,623 beträgt. Ermitteln Sie die prozentuale Abweichung von diesem Wert, wenn bei der Berechnung des Flächeninhalts die Funktion h als Näherung für die Funktion f verwendet wird.