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Gegeben ist die in R+\mathbb{R}^+ definierte Funktion f:x2((lnx)21)f:x\mapsto \displaystyle 2\cdot \left(\left(lnx\right)^2-1\right). Abbildung 1 zeigt den Graphen GfG_f von ff.

Abbildung 1

a)

(5 BE)

Zeigen Sie, dass x=e1x=e^{-1} und x=ex=e die einzigen Nullstellen von ff sind, und berechnen Sie die Koordinaten des Tiefpunkts TT von GfG_f.

(zur Kontrolle: f(x)=4xlnx)f'(x)=\frac{4}{x} \cdot lnx)

b)

(6 BE)

Zeigen Sie, dass GfG_f genau einen Wendepunkt WW besitzt, und bestimmen Sie dessen Koordinaten sowie die Gleichung der Tangente an GfG_f im Punkt WW.

(zur Kontrolle: x-Koordinate von WW: e)

c)

(6 BE)

Begründen Sie, dass limx0f(x)=\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0}f'(x)=-\infty und limx+f(x)=0\displaystyle \lim_{x\rightarrow+\infty}f'(x)=0 gilt. Geben Sie f(0,5)f'(0{,}5) und f(10)f'(10) auf eine Dezimale genau an und zeichnen Sie den Graphen der Ableitungsfunktion ff' unter Berücksichtigung aller bisherigen Ergebnisse in Abbildung 1 ein.

d)

(3 BE)

Begründen Sie unter Zuhilfenahme von Abbildung 1, dass es zwei Werte c]0;6]c\in\, ]0;6] gibt, für die gilt:e1cf(x)dx=0\displaystyle \int_{e^{-1}}^cf(x)dx=0.

Die gebrochen-rationale Funktion h:x1,5x4,5+1xh:x\,\mapsto\,1{,}5x-4{,}5+\frac{1}{x} mit xRx\,\in\,\mathbb{R}\ {0} stellt in einem gewissen Bereich eine gute Näherung für ff dar.

e)

(2 BE)

Geben Sie die Gleichungen der beiden Asymptoten des Graphen von hh an.

f)

(5 BE)

Im IV. Quadranten schließt GfG_f zusammen mit der x-Achse und den Geraden mit den Gleichungen x=1x=1 und x=2x=2 ein Flächenstück ein, dessen Inhalt etwa 1,6231{,}623 beträgt. Ermitteln Sie die prozentuale Abweichung von diesem Wert, wenn bei der Berechnung des Flächeninhalts die Funktion hh als Näherung für die Funktion ff verwendet wird.