Analysis, Teil B, Aufgabengruppe 1

Durch Spiegelung von $G_f$ an der Geraden $x=4$ entsteht der Graph einer in $]-\infty;8[$ definierten Funktion $g$ . Dieser Graph wird mit $G_g$ bezeichnet.

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Zeichnen Sie $G_g$ in Abbildung 1 ein.

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Die beschriebene Spiegelung von $G_f$ an der Geraden $x=4$ kann durch eine Spiegelung von $G_f$ an der y-Achse mit einer anschließenden Verschiebung ersetzt werden. Beschreiben Sie diese Verschiebung und geben Sie $a,b\in\mathbb{R}$ an, sodass $g(x)=f(ax+b)$ für $x\,\in\,]-\infty;8[$ gilt.

Im Folgenden wird die "w-förmige" Kurve $k$ betrachtet, die sich aus dem auf $\,0{,}2\leq x\leq 4\,$ beschränkten Teil von $G_f$ und dem auf $\,4<x\leq7{,}8\,$ beschränkten Teil von $G_g$ zusammensetzt.

Die Kurve $k$ wird um $12$ Einheiten in negative z-Richtung verschoben. Die dabei überstrichene Fläche dient als Modell für ein 12 Meter langes Aquarium, das durch zwei ebene Wände an Vorder- und Rückseite zu einem Becken ergänzt wird (vgl. Abbildung 2). Dabei entspricht eine Längeneinheit im Koordinatensystem einem Meter in der Realität.

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Die Aquariumwände bilden an der Unterseite einen Tunnel, durch den die Besucher hindurchgehen können. Berechnen Sie die Größe des Winkels, den die linke und rechte Tunnelwand miteinander einschließen.

Das Aquarium wird vollständig mit Wasser gefüllt.

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Berechnen Sie die größtmögliche Wassertiefe des Aquariums.

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Das Volumen des Wassers im Aquarium lässt sich analog zum Rauminhalt eines Prismas mit Grundfläche $G$ und Höhe $h$ berechnen. Erläutern Sie, dass der Term $\displaystyle 24\cdot \int_{0{,}2}^4\left(f(0{,}2)-f(x)\right)dx$ das Wasservolumen im vollgefüllten Aquarium in Kubikmetern beschreibt.

In dieser Aufgabe wird durch eine abschnittsweise definierte Funktion ein geometrischer Körper modelliert.

Lösung Teilaufgabe a)

Die aus Aufgabe 1 gegebene Funktion $f$ soll an der Geraden $x=4$ gespiegelt werden.

Spiegele den Graphen von $f$ punktweise.

Folgende Punkte sollten "millimetergenau" passen:

Die Nullstellen und der Tiefpunkt sowie der gemeinsame Schnittpunkt auf der Spiegelungsachse.

In der Skizze sollte deutlich zum Ausdruck kommen, dass die Gerade $x=8$ für den Graphen von $g$ senkrechte Asymptote ist. Achte auch auf das Krümmungsverhalten des Graphen.

Lösung Teilaufgabe b)

Die Spiegelung an der Geraden $x=4$ ist durch eine Spiegelung an der $y$ -Achse und eine anschließende Verschiebung längs der $x$ -Achse zu ersetzen.

Wenn gelten soll, dass

$g(x)=f(ax+b); x\in ]-\infty;8[$ ,

so ist $a=-1$ und entspricht der Spiegelung von $G_f$ an der $y$ -Achse.

Und $b=8$ entspricht einer Verschiebung um $8\,LE$ in Richtung der positiven $x-$ Achse.

Somit gilt:

$g(x)=f(-x+8)$ .

Beachte: Wegen der Spiegelung an der $y$ -Achse ist $b=8$ , also positiv, und nicht wie normalerweise bei einer Verschiebung in positive $x$ -Richtung negativ.

Lösung Teilaufgabe c)

Mit einer abschnittsweise definierten Kurve $k$ und deren räumliche Verschiebung wird ein geometrischer Körper ("Aquarium") modelliert.

Winkelberechnung

Der gesuchte Winkel, den die Tunnelwände miteinander einschließen, entspricht dem Winkel, den in der Querschnittzeichnung der Graphen die Tangenten $t_f$ und $t_g$ miteinander einschließen.

Wegen der Symmetrie von $f$ und $g$ zu $x=4$ , ist $\triangle ABC$ gleichschenklig.

$f'(x)=\frac{4}{x}\cdot \ln\,x$

Berechne $f'(4)$ :

$f'(4)=\ln\,4$

$f'(4)$ ist die Steigung der Tangente $t_f$ . Berechne den Steigungswinkel:

$\displaystyle tan\,\alpha$	$=$	$\displaystyle f'(4)$
	$=$	$\displaystyle \ln\,4$	$\displaystyle \tan^{-1}$
$\displaystyle \alpha$	$=$	$\displaystyle \tan^{-1}(ln\,4)$
	$≈$	$\displaystyle 54{,}2°%$

Berechne $\varphi$ über die Winkelsumme des Dreiecks $ABC$ .

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcll}\varphi+\alpha+\alpha&=&180°&|-2\alpha\\\varphi&\approx&180°-108{,}4°\\\varphi&\approx&71{,}6°\end{array}$

Der Winkel, unter dem sich die rechte und linke Tunnelwand schneiden beträgt rund $71{,}6°$ .

Alternative Winkelberechnung

Mit der Formel für das Additionstheorem des Tangens kann der Schnittwinkel $\varphi$ direkt berechnet werden:

$\displaystyle |tan(\underbrace{\alpha-\beta}_{\varphi})|=|\frac{tan\,\alpha-tan\,\beta}{1+tan\,\alpha\cdot tan\,\beta}|$

Setze in die Formel für das Additionstheorem des Tangens ein:

$tan\,\alpha=f'(4)=ln\,4$

$tan\,\beta=g'(4)=-ln\,4$

$tan\,\varphi=\displaystyle\frac{ln\,4-(-ln\,4)}{1-(ln\,4)^2}$

$\quad\;\varphi=\displaystyle tan^{-1}\left(\frac{2\cdot ln\,4}{1-{(ln\,4)}^2}\right)$

$\quad\;\varphi\approx 71{,}6°$

Lösung Teilaufgabe d)

Der größtmögliche Wasserstand im Aquarium ist zu berechnen.

Mit

$\def\arraystretch{1.25} k(x) = \left\{\begin{array}{cll}f(x)&\text{für}&0{,}2\leq x\leq4\\g(x)&\text{für}&4<x\leq7{,}8\end{array}\right.$

berechnet sich die tiefste Wasserstelle so:

$f(0{,}2)-f(1)=2\cdot \left((ln\,0{,}2)^2-1\right)-(-2)\approx 5{,}18$

Die größtmögliche Wassertiefe des Aquariums beträgt ca. $5{,}18$ Meter.

Lösung Teilaufgabe e)

Die Aufgabe nimmt Bezug auf auf den Satz von Cavalieri.

Dieser besagt:

Zwei Körper besitzen dasselbe Volumen, wenn alle ihre Schnittflächen in Ebenen parallel zu einer Grundebene in entsprechenden Höhen den gleichen Flächeninhalt haben.

Für das Prisma leitet man hieraus die Formel für sein Volumen ab:

$\; V_{Prisma}= \text{Grundfläche mal Höhe}$ .

In Übertragung der Überlegung auf das Aquarium gilt somit:

$\quad\quad\quad \quad V_{Aquarium} = \text{w-Fläche mal 12 LE}$

Volumenberechnung

Die Fläche der Vorderseite des Aquariums ist im Modell der Inhalt der von der Geraden $y=f(0{,}2)$ und den Graphen der Funktionen $f$ und $g$ begrenzten Fläche.

Da es sich um eine zur Geraden $x=4$ symmetrische Fläche handelt, gilt:

$\displaystyle\quad\quad\quad A_{Vorderseite}=2\cdot A_{halbes W}=2\cdot\int_{0{,}2}^4(f(0{,}2)-f(x))dx$ .

In Analogie zur Volumenformel für das Prisma gilt dann wegen der Höhe $h=12$ des Aquariums für dessen Volumen:

$\quad\quad\quad \;V_{Aquarium}=12\cdot A_{Vorderseite}$

$\displaystyle\quad\;\quad\quad V_{Aquarium}=24\cdot \int_{0{,}2}^4(f(0{,}2)-f(x))dx$

Da eine Längeneinheit bei der Modellierung einem Meter in der Realität entspricht, beschreibt der gewonnene Term das Wasservolumen des vollgefüllten Aquariums in Kubikmetern.

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