Gemischte Aufgaben zu Funktionen

Ordne jedem Funktionsgraphen einen der folgenden Funktionsterme zu.

$f_{1} (x) = x^{2} + 1$
$f_{2} (x) = - 2 x^{2} + 2 x$
$f_{3} (x) = 2 x + 1$
$f_{4} (x) = - 2 x^{2} + 2 x + 1$
$f_{5} (x) = 2 - 0,5 x$
$f_{6} (x) = 0,5 {(x + 2)}^{2} + 1$

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Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Polynomfunktionen
Bestimme den Scheitel der Funktion:
Dazu musst du den Scheitel aus dem Graphen ablesen.
$S = (0,5; 0,5)$
Gehe nun ausgehend vom Scheitel 1 Einheit nach rechts, um den Streckungsfaktor der Parabel zu bestimmen.
$P = (1,5; - 1,5) \in G r a p h$
Die Differenz der y-Werte der beiden Punkte beträgt 2 Einheiten. Da die Funktion, eine Parabel, nach unten geöffnet ist, also insbesondere die Steigung $\leq 0$ ist, muss der Streckungsfaktor -2 heißen.
Überprüfe nun, welche der Funktionen diese Eigenschaften erfüllt. Es existieren in der Funktionenauswahl zwei Parabeln mit Streckungsfaktor -2. Aber nur eine der beiden läuft durch den Punkt $P$ . Teste dies, indem du den Punkt in die Funktionsgleichung einsetzt.
$P \in f_{2}$ .
$\Rightarrow$ Der Graph entspricht der Funktion $f_{2} (x) = - 2 x^{2} + 2 x$ .
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Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Polynomfunktionen
Lese den y-Achsenabschnitt $t$ als Funktionswert an der Stelle $x = 0$ ab.
$P_{1} = (0; 1)$
Der y-Achsenabschnitt $t$ entspricht 1. Bestimme nun die Steigung $m$ der Gerade. Dies gelingt, indem ein zweiten Punkt $P_{2}$ auf dem Graphen gewählt und der Differenzenquotient von $P_{1}$ und $P_{2}$ bestimmt wird.
Wähle z.B. den Punkt $P_{2} = (1; 3)$ auf der Gerade.
$m = \frac{3 - 1}{1 - 0} = \frac{2}{1} = 2$
Mittels Steigung und y-Achsenabschnitt lässt sich die Gerade eindeutig bestimmen.
$\Rightarrow f_{3} (x) = 2 x + 1$
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Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Polynomfunktionen
Vorgehensweise: Bestimmte den Scheitel und den Streckungsfaktor der Parabel.
$S = (- 2; 1)$
Der Scheitel $S$ lässt sich direkt aus der Zeichnung ablesen.
Zur Bestimmung des Streckungsfaktors lese den Funktionswert einer von der Scheitelstelle genau 1 Einheit entfernten Stelle ab. Also wähle z.B. $P = (- 1; 1,5)$ .
Die Differenz der beiden y-Werte von $P$ und $S$ beträgt $0,5$ Einheiten. Also beträgt nach der Wahl von $S$ und $P$ der Streckungsfaktor $0,5$ .
Überprüfe, welche Funktion diese Eigenschaften erfüllt.
$\Rightarrow$ Der Graph entspricht dem Graphen der Funktion $f_{6} (x) = 0,5 {(x + 2)}^{2} + 1$
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Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Polynomfunktionen
Bestimme den Punkt beim x-Wert 0.
Lese diesen aus dem Graphen ab. Dadurch bestimmst du den y-Achsenabschnitt.
$P_{1} = (0; 2)$
Der y-Achsenabschnitt beträgt somit $2$ . Gehe nun eine Einheit nach rechts um die Steigung des Graphen zu bestimmen.
$P_{2} = (1; 1,5)$
Die Differenz der y-Werte der beiden Punkte beträgt 0,5. $P_{2} - P_{1} = (1; - 0,5)$ . Somit beträgt die Steigung der Gerade- $m = 0,5$ .
Überprüfe, welche Funktion diese Eigenschaften erfüllt.
$\Rightarrow$ Der Graph passt zu der Funktion $f_{5} (x) = 2 - 0,5 x$ .
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Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Polynomfunktionen
Bestimme den Scheitel der Funktion.
Dazu musst du den Scheitel $S$ aus dem Graphen ablesen.
$S = (0,5; 1,5)$
Gehe nun ausgehend vom Scheitel 1 Einheit nach rechts, um den Streckungsfaktor zu bestimmen.
$P = (1,5; - 0,5)$ liegt auf dem Graphen und die x-Komponente von $P$ ist eine Einheit von der von $S$ entfernt.
Die Differenz der beiden y-Werte beträgt 2. Da die Funktion im positiven Bereich abnimmt, ist die Steigung negativ, also -2.
Überprüfe welche Funktion zu diesen Eigenschaften passt, also welche Funktion eine Parabel mit Streckungsfaktor -2 ist und die durch $P$ geht.
$\Rightarrow$ Der Graph passt zu der Funktion $f_{4} = - 2 x^{2} + 2 x + 1$
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Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Polynomfunktionen
Vorgehensweise: Aus der Grafik lässt sich ablesen, dass es sich hier um eine quadratische Funktion handelt. Um diese eindeutig zu bestimmen, bestimme den Scheitel und Streckungsfaktor. Denn die Scheitelpunktsform einer quadratischen Funktion lautet:
$f (x) = a * (x - d)^{2} + e$
mit $a$ Streckungsfaktor $S = (d; e)$ Scheitelpunkt und $a, d, e \in ℝ$ .
Bestimme also zunächst den Scheitel der Funktion durch Ablesen.
$S = (0; 1)$
Gehe nun ausgehend vom Scheitel 1 Einheit nach rechts, um den Streckungsfaktor zu bestimmen.
$P = (1; 2)$ liegt auf dem Graphen.
Der Differenzenquotient beider Punkte ist 1, also beträgt der Streckungsfaktor $a = 1$ .
$\Rightarrow$ Der Graph gehört also zu der Funktion $f_{1} (x) = x^{2} + 1$ .
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