Aufgaben zu Termen mit Variablen in Sachzusammenhängen

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123mathe.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Rudolf Brinkmann
Gegeben ist ein Quadrat mit der Seitenlänge $a = 5 cm$ . Bestimme den Term $A (x)$ für den Flächeninhalt des Dreiecks $A B C$ .

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Flächeninhalt von Dreiecken
Für den Flächeninhalt des $gelben$ Dreiecks gilt also:
$A_{△ gelb} = A_{□} - A_{△ grün} - 2 \cdot A_{△ orange}$
Das $grüne$ Dreieck hat die Grundseite $x$ und die Höhe $x$ , also den Flächeninhalt: $A_{△ grün} = \frac{1}{2} \cdot x \cdot x = \frac{1}{2} x^{2} .$
Ein oranges Dreieck hat die Grundseite $a = 5$ und die Höhe $a - x = 5 - x$ , als Flächeninhalt also: $A_{△ orange} = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot (5 - x) = \frac{1}{2} \cdot 25 - \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot x = 12,5 - 2,5 \cdot x$
Das Quadrat hat die Seitenlänge $a = 5$ und damit den Flächeninhalt: $A_{□} = 5^{2} = 25$ .
Jetzt kannst du diese Terme in die Formel für den Flächeninhalt des gelben Dreiecks $A_{△ gelb} = A_{□} - A_{△ grün} - 2 \cdot A_{△ orange}$ einsetzen und erhältst:
$\begin{array}{lr} A_{△ gelb} & = & 25 - \frac{1}{2} x^{2} - 2 (12,5 - 2,5 x) \\ = & 25 - \frac{1}{2} x^{2} - 25 + 5 x \\ = & - \frac{1}{2} x^{2} + 5 x \end{array}$
Der Term $A (x)$ für den Flächeninhalt des Dreiecks $A B C$ lautet:
$A (x) = - \frac{1}{2} x^{2} + 5 x$
Den Flächeninhalt des gelben Dreiecks kannst du bestimmen, indem du die Flächeninhalte der beiden Dreiecke in Orange und des Dreiecks in Grün vom Flächeninhalt des Quadrats abziehst. Beachte dabei, dass die Dreiecke in Orange denselben Flächeninhalt haben.
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strobl-f.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Franz Strobl
Beim Zerschneiden einer rechteckigen Pizza in $n$ waagrechte und $n$ senkrechte Streifen entstehen
Eckstücke (E),
reine Randstücke (R)
und Innenstücke (I),
siehe Abbildung für $n = 4$ .
Stelle Terme auf, die die Zahl der Randstücke bzw. die Zahl der Innenstücke in Abhängigkeit von der Streifenzahl $n$ beschreiben.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Terme aufstellen
Term für Randstücke
$T_{R} (n) = 4 \cdot (n - 2)$
$n - 2$ ist die Anzahl der Randstücke auf einer Seite des Quadrats. Das musst du dann noch mit 4 multiplizieren, weil das Rechteck 4 Seiten hat.
Term für Innenstücke
$T_{I} (n) = (n - 2) \cdot (n - 2)$
$(n - 2)$ ist die Anzahl der Pizzastücke in einer Reihe minus die Rand- oder Endstücke in der Reihe.
Zur Kontrolle kannst du zur Zahl der Innen-und Randstücke die Zahl der Eckstücke ( 4 Stück ) dazuzählen und vereinfachen, dann muss sich die Gesamtzahl der Stücke $(n^{2})$ ergeben.
$\Rightarrow 4 (n - 2) + {(n - 2)}^{2} + 4 =$
$= 4 n - 8 + n^{2} - 2 n - 2 n + 4 + 4$
$= n^{2}$
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In das Quadrat ist ein grau gefärbter "Doppelpfeil" eingezeichnet.
Gib den Flächeninhalt des Doppelpfeils in Abhängigkeit von $x$ und $y$ an.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Flächeninhalt eines Quadrats
Funktionen aufstellen
Formel für das Quadrat aufstellen:
$A_{□} = a^{2}$
$a = x + y$
$A_{□} = {(x + y)}^{2}$
Formel für das Dreieck aufstellen:
$A_{△} = \frac{1}{2} \cdot g \cdot h$
$g$ und $h$ entsprechen $y$ , da es ein rechtwinkliges Dreieck ist.
$A_{△ ∡ 90^{o}} = \frac{1}{2} y^{2}$
Das ist die Fläche für eines der beiden Dreiecke.
Formel für die Fläche des Pfeils aufstellen:
$A_{\Leftrightarrow} = A_{□} - 2 A_{△} =$
Substrahiere die Fläche der beiden Dreiecke von der Fläche des Quadrats.
$= {(x + y)}^{2} - y^{2}$
1.Binomische Formel anwenden.
$= (x^{2} + 2 xy + y^{2}) - y^{2}$
$= x^{2} + 2 x y$

Der Spielfeldrand eines Fußballfeldes der Breite $b$ und Länge $l$ soll von den Zuschauern den Abstand $x$ haben.

Christian, Monika und Peter schreiben Terme auf, die den Flächeninhalt der Sicherheitszone beschreiben:

Christian: $2 \cdot (l + x) \cdot x + 2 \cdot (b + x) \cdot x$
Monika: $(2 x + l) \cdot (2 x + b) - l \cdot b$
Peter: $x \cdot (l + x + x) \cdot 2 + x \cdot b \cdot 2$

Beschreibe – gegebenenfalls mit Hilfe einer Skizze – wie die drei jeweils ihren Term gefunden haben könnten.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Terme
Skizze Christian:
Skizze Monika:
Skizze Peter:
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Zeige, dass die Terme äquivalent sind.

Klaus stellt den Term $2 \cdot l \cdot x + 2 \cdot b \cdot x$ auf und behauptet, dass dieser auch den Flächeninhalt der Sicherheitszone beschreibt. Was meinst du dazu?

$\begin{array}{rcl} 2 \cdot l \cdot x + 2 \cdot b \cdot x & \overset{?}{=} & 4 x^{2} + 2 x b + 2 l x \\ 2 l x + 2 b x & \neq & 4 x^{2} + 2 x b + 2 l x \end{array}$
$\Rightarrow$ Klaus Term beschreibt nicht den Flächeninhalt der Sicherheitszone da sein Term nicht äquivalent zu den anderen ist. Sein Term beschreibt nur den Flächeninhalt der Quadrate über den Seiten des Spielfeldes $l$ bzw. $b$ .
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In der Münchner Allianz-Arena ist das Spielfeld $105 m$ lang und $68 m$ breit. Der Sicherheitsabstand beträgt $7,5 m$ . Welchen Flächeninhalt hat die Sicherheitszone?

Term: $4 x^{2} + 2 x b + 2 x l$
Variablen durch gegebene Zahlen ersetzen.
$\begin{array}{l} 4 \cdot {7,5}^{2} + 2 \cdot 68 \cdot 7,5 + 2 \cdot 7,5 \cdot 105 \\ = 4 \cdot 7,52 + 2 \cdot 68 \cdot 7,5 + 2 \cdot 7,5 \cdot 105 \\ = 225 + 1020 + 1575 \\ = 2820 \end{array}$
$\Rightarrow$ Antwort: Der Flächeninhalt der Sicherheitszone beträgt $2820 m^{2}$ .
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Dieses Werk steht unter der freien Lizenz
CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?

$Term von Christian$	$=$	$Term von Monika$
	↓	Setze die Terme von Monika und Christian ein.
$2 \cdot (l + x) \cdot x + 2 \cdot (b + x) \cdot x$	$=$	$(2 x + l) \cdot (2 x + b) - l \cdot b$
	↓	Umformen & Klammer ausmultiplizieren.
$2 l x + 2 x^{2} + 2 b x + 2 x^{2}$	$=$	$4 x^{2} + 2 x b + 2 x l + l b - l b$
	↓	Zusammenfassen.
$2 l x + 4 x^{2} + 2 b x$	$=$	$4 x^{2} + 2 x b + 2 x l ✓$

$Term von Peter$	$=$	$Term von Monika$
	↓	Setze die Terme von Monika und Peter ein.
$x \cdot (l + x + x) \cdot 2 + x \cdot b \cdot 2$	$=$	$(2 x + l) \cdot (2 x + b) - l \cdot b$
	↓	Umformen & Klammer ausmultiplizieren.
$2 x l + 2 x^{2} + 2 x^{2} + 2 b x$	$=$	$4 x^{2} + 2 x b + 2 x l + l b - l b$
	↓	Zusammenfassen.
$2 x l + 4 x^{2} + 2 b x$	$=$	$4 x^{2} + 2 x b + 2 x l ✓$

Aufgaben zu Termen mit Variablen in Sachzusammenhängen

Term für Randstücke

Term für Innenstücke

Funktionen aufstellen

Formel für das Quadrat aufstellen:

Formel für das Dreieck aufstellen:

Formel für die Fläche des Pfeils aufstellen:

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Term Christian = Term Monika?

Term Peter = Term Monika

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