Berechne den Schnittwinkel zwischen den beiden Richtungsvektoren mit dem Skalarprodukt.

$\cos\;\left(\mathrm\varphi\right)=\frac{\overrightarrow{\mathrm a}\circ\overrightarrow{\mathrm b}}{\left|\overrightarrow{\mathrm a}\right|\cdot\left|\overrightarrow{\mathrm b}\right|}$

$\cos\;\left(\mathrm\varphi\right)=\frac{\overrightarrow{\mathrm a}\circ\overrightarrow{\mathrm b}}{\left|\overrightarrow{\mathrm a}\right|\cdot\left|\overrightarrow{\mathrm b}\right|}$    $=\frac{\begin{pmatrix}2\\1\\-1\end{pmatrix}\circ\begin{pmatrix}1\\-2\\2\end{pmatrix}}{\left|\begin{pmatrix}2\\1\\-1\end{pmatrix}\right|\cdot\left|\begin{pmatrix}1\\-2\\2\end{pmatrix}\right|}$

$=\frac{2-2-2}{\sqrt6\cdot\sqrt9}$

$=\frac{-2}{3\cdot\sqrt6}$

Verwende die Umkehrfunktion des Cosinus.

$\mathrm\varphi=\arccos\;\left(\frac{-2}{3\cdot\sqrt6}\right)$$=105{,}8^\circ$

Berechne den Schnittwinkel zwischen den beiden Richtungsvektoren mit dem Skalarprodukt.

$\cos\;\left(\mathrm\varphi\right)=\frac{\overrightarrow{\mathrm a}\circ\overrightarrow{\mathrm b}}{\left|\overrightarrow{\mathrm a}\right|\cdot\left|\overrightarrow{\mathrm b}\right|}$

                 $=\frac{\begin{pmatrix}1\\2\\1\end{pmatrix}\circ\begin{pmatrix}3\\3\\3\end{pmatrix}}{\left|\begin{pmatrix}1\\2\\1\end{pmatrix}\right|\cdot\left|\begin{pmatrix}3\\3\\3\end{pmatrix}\right|}\\$

                 $=\frac{1\cdot3+2\cdot3+1\cdot3}{\sqrt{1^2+2^2+1^2}\cdot\sqrt{3^2+3^2+3^2}}\\$

                 $=\frac{12}{\sqrt6\cdot\sqrt{27}}$

                 $=\frac{12}{9\cdot\sqrt2}$

Verwende die Umkehrfunktion des Cosinus

$\mathrm\varphi=\arccos\;\left(\frac{12}{9\cdot\sqrt2}\right)$

     $=19.47^\circ$

Berechne den Schnittwinkel zwischen den beiden Richtungsvektoren mit dem Skalarprodukt.

$\cos\;\left(\mathrm\varphi\right)=\frac{\overrightarrow{\mathrm a}\circ\overrightarrow{\mathrm b}}{\left|\overrightarrow{\mathrm a}\right|\cdot\left|\overrightarrow{\mathrm b}\right|}$

$\cos\;\left(\mathrm\varphi\right)=\frac{\overrightarrow{\mathrm a}\circ\overrightarrow{\mathrm b}}{\left|\overrightarrow{\mathrm a}\right|\cdot\left|\overrightarrow{\mathrm b}\right|}$

               $=\frac{\begin{pmatrix}-4\\-2\\6\end{pmatrix}\circ\begin{pmatrix}-4\\-4\\10\end{pmatrix}}{\left|\begin{pmatrix}-4\\-2\\6\end{pmatrix}\right|\cdot\left|\begin{pmatrix}-4\\-4\\10\end{pmatrix}\right|}\\$

               $=\frac{\left(-4\right)\cdot\left(-4\right)+(-2)\cdot(-4)+6\cdot10}{\sqrt{(-4)^2+(-2)^2+6^2}\cdot\sqrt{(-4)^2+(-4)^2+10^2}}\\$

               $=\frac{84}{\sqrt{56}\cdot\sqrt{132}}$

               $=\frac{84}{2\cdot\sqrt{14}\cdot2\cdot\sqrt{33}}$

               $=\frac{21}{\sqrt{462}}$

$\mathrm\varphi=\arccos\;\left(\frac{21}{\sqrt{462}}\right)$

     $=12.31^\circ$