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Aufgaben zum Schnittwinkel von Geraden und Ebenen

Hier findest du Aufgaben zum Schnittwinkel zwischen Geraden und Ebenen. Lerne, mithilfe der Formel Winkel zu berechnen!

  1. 1

    Bestimme den Schnittwinkel zwischen den beiden Geraden.

    1. g1:  x=(223)+r(211){\mathrm g}_1:\;\overrightarrow{\mathrm x}=\begin{pmatrix}2\\2\\-3\end{pmatrix}+\mathrm r\cdot\begin{pmatrix}2\\1\\-1\end{pmatrix}   und   g2:  x=(301)+r(122){\mathrm g}_2:\;\overrightarrow{\mathrm x}=\begin{pmatrix}3\\0\\-1\end{pmatrix}+\mathrm r\cdot\begin{pmatrix}1\\-2\\2\end{pmatrix}

    2. g1:  x=(010)+r(121){\mathrm g}_1:\;\overrightarrow{\mathrm x}=\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}+\mathrm r\cdot\begin{pmatrix}1\\2\\1\end{pmatrix}   und   g2:  x=(020)+r(333){\mathrm g}_2:\;\overrightarrow{\mathrm x}=\begin{pmatrix}0\\2\\0\end{pmatrix}+\mathrm r\cdot\begin{pmatrix}3\\3\\3\end{pmatrix}

    3. g1:  x=(121)+r(426){\mathrm g}_1:\;\overrightarrow{\mathrm x}=\begin{pmatrix}1\\-2\\1\end{pmatrix}+\mathrm r\cdot\begin{pmatrix}-4\\-2\\6\end{pmatrix}   und   g2:  x=(122)+r(4410){\mathrm g}_2:\;\overrightarrow{\mathrm x}=\begin{pmatrix}-1\\-2\\2\end{pmatrix}+\mathrm r\cdot\begin{pmatrix}-4\\-4\\10\end{pmatrix}

  2. 2

    Bestimme den Schnittwinkel zwischen Gerade und Ebene.

    1. g:  x=(121)+r(212)\mathrm g:\;\overrightarrow{\mathrm x}=\begin{pmatrix}-1\\2\\1\end{pmatrix}+\mathrm r\cdot\begin{pmatrix}2\\-1\\-2\end{pmatrix}   und   E:  (231)[x(101)]=0\mathrm E:\;\begin{pmatrix}2\\-3\\1\end{pmatrix}\circ\left[\overrightarrow{\mathrm x}-\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}\right]=0

    2. g:  x=(221)+r(111)\mathrm g:\;\overrightarrow{\mathrm x}=\begin{pmatrix}2\\2\\1\end{pmatrix}+\mathrm r\cdot\begin{pmatrix}1\\-1\\1\end{pmatrix}   und   E:  x=(115)+r(201)+s(113)\mathrm E:\;\overrightarrow{\mathrm x}=\begin{pmatrix}1\\1\\5\end{pmatrix}+\mathrm r\cdot\begin{pmatrix}2\\0\\1\end{pmatrix}+\mathrm s\cdot\begin{pmatrix}-1\\-1\\3\end{pmatrix}

    3. g:  x=(9420)+r(406)\mathrm g:\;\overrightarrow{\mathrm x}=\begin{pmatrix}-9\\-4\\20\end{pmatrix}+\mathrm r\cdot\begin{pmatrix}4\\0\\-6\end{pmatrix}   und   E:  (311)x+6=0\mathrm E:\;\begin{pmatrix}3\\1\\-1\end{pmatrix}\circ\overrightarrow{\mathrm x}+6=0

    4. g:  x=(232)+r(113)\mathrm g:\;\overrightarrow{\mathrm x}=\begin{pmatrix}2\\-3\\2\end{pmatrix}+\mathrm r\cdot\begin{pmatrix}1\\-1\\3\end{pmatrix}   und   E:  x=(311)+r(121)+s(012)\mathrm E:\;\overrightarrow{\mathrm x}=\begin{pmatrix}-3\\1\\1\end{pmatrix}+\mathrm r\cdot\begin{pmatrix}1\\-2\\-1\end{pmatrix}+\mathrm s\cdot\begin{pmatrix}0\\-1\\2\end{pmatrix}

    5. g:  x=(132)+r(210)\mathrm g:\;\overrightarrow{\mathrm x}=\begin{pmatrix}1\\3\\2\end{pmatrix}+\mathrm r\cdot\begin{pmatrix}2\\1\\0\end{pmatrix}   und   E:  x1+x2+2x311=0\mathrm E:\;{\mathrm x}_1+{\mathrm x}_2+2\cdot{\mathrm x}_3-11=0

    6. g:  x=(231)+r(231)\mathrm g:\;\overrightarrow{\mathrm x}=\begin{pmatrix}2\\3\\-1\end{pmatrix}+\mathrm r\cdot\begin{pmatrix}2\\-3\\1\end{pmatrix}   und   E:  (342)x4=0\mathrm E:\;\begin{pmatrix}3\\4\\-2\end{pmatrix}\circ\overrightarrow{\mathrm x}-4=0

    7. g:  x=(513)+r(721)\mathrm g:\;\overrightarrow{\mathrm x}=\begin{pmatrix}5\\-1\\3\end{pmatrix}+\mathrm r\cdot\begin{pmatrix}7\\-2\\1\end{pmatrix}   und   E:  x14x35=0\mathrm E:\;{\mathrm x}_1-4\cdot{\mathrm x}_3-5=0

  3. 3

    Berechne den Schnittwinkel zwischen den beiden Ebenen.

    1. E1:  (213)[x(111)]\displaystyle {\mathrm E}_1:\;\begin{pmatrix}2\\-1\\3\end{pmatrix}\circ\left[\overrightarrow{\mathrm x}-\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}\right]==0\displaystyle 0
      E2:  (121)[x(212)]\displaystyle {\mathrm E}_2:\;\begin{pmatrix}1\\2\\-1\end{pmatrix}\cdot\left[\overrightarrow{\mathrm x}-\begin{pmatrix}-2\\1\\-2\end{pmatrix}\right]==0\displaystyle 0
    2. E1:  x\displaystyle {\mathrm E}_1:\;\overrightarrow{\mathrm x}==(403)+r(010)+s(203)\displaystyle \begin{pmatrix}4\\0\\-3\end{pmatrix}+\mathrm r\cdot\begin{pmatrix}0\\-1\\0\end{pmatrix}+\mathrm s\cdot\begin{pmatrix}-2\\0\\3\end{pmatrix}
      E2:  x\displaystyle {\mathrm E}_2:\;\overrightarrow{\mathrm x}==(230)+r(001)+s(213)\displaystyle \begin{pmatrix}-2\\3\\0\end{pmatrix}+\mathrm r\cdot\begin{pmatrix}0\\0\\-1\end{pmatrix}+\mathrm s\cdot\begin{pmatrix}2\\-1\\3\end{pmatrix}
    3. E1:  (321)x2\displaystyle {\mathrm E}_1:\;\begin{pmatrix}-3\\-2\\1\end{pmatrix}\circ\overrightarrow{\mathrm x}-2==0\displaystyle 0
      E2:  (321)x+1\displaystyle {\mathrm E}_2:\;\begin{pmatrix}-3\\-2\\-1\end{pmatrix}\circ\overrightarrow{\mathrm x}+1==0\displaystyle 0
    4. E1:  x\displaystyle {\mathrm E}_1:\;\overrightarrow{\mathrm x}==(121)+r(211)+s(121)\displaystyle \begin{pmatrix}1\\-2\\1\end{pmatrix}+\mathrm r\cdot\begin{pmatrix}2\\-1\\1\end{pmatrix}+\mathrm s\cdot\begin{pmatrix}1\\-2\\1\end{pmatrix}
      E2:  x\displaystyle {\mathrm E}_2:\;\overrightarrow{\mathrm x}==(213)+r(102)+s(110)\displaystyle \begin{pmatrix}2\\1\\-3\end{pmatrix}+\mathrm r\cdot\begin{pmatrix}1\\0\\-2\end{pmatrix}+\mathrm s\cdot\begin{pmatrix}-1\\1\\0\end{pmatrix}
    5. E1:  5x1+2x2+3x330\displaystyle {\mathrm E}_1:\;5\cdot{\mathrm x}_1+2\cdot{\mathrm x}_2+3\cdot{\mathrm x}_3-30==0\displaystyle 0
      E2:  10x1+7x212x345\displaystyle {\mathrm E}_2:\;10\cdot{\mathrm x}_1+7\cdot{\mathrm x}_2-12\cdot{\mathrm x}_3-45==0\displaystyle 0
    6. E1:  (101)x2\displaystyle {\mathrm E}_1:\;\begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix}\circ\overrightarrow{\mathrm x}-2==0\displaystyle 0
      E2:  x1+x2x31\displaystyle {\mathrm E}_2:\;-{\mathrm x}_1+{\mathrm x}_2-{\mathrm x}_3-1==0\displaystyle 0
    7. E1:  x\displaystyle {\mathrm E}_1:\;\overrightarrow{\mathrm x}==(111)+r(011)+s(222)\displaystyle \begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}+\mathrm r\cdot\begin{pmatrix}0\\-1\\1\end{pmatrix}+\mathrm s\cdot\begin{pmatrix}2\\-2\\-2\end{pmatrix}
      E2:  x\displaystyle {\mathrm E}_2:\;\overrightarrow{\mathrm x}==(011)+r(213)+s(221)\displaystyle \begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}+\mathrm r\cdot\begin{pmatrix}2\\-1\\-3\end{pmatrix}+\mathrm s\cdot\begin{pmatrix}2\\-2\\-1\end{pmatrix}
  4. 4

    Welchen Winkel schließen die Ebenen

    E1:  X=(300)+r(210)+s(011)E_1:\;\vec X=\begin{pmatrix}3\\0\\0\end{pmatrix}+r\cdot \begin{pmatrix}2\\1\\0\end{pmatrix}+ s \cdot \begin{pmatrix}0\\1\\-1\end{pmatrix} und E2:  x1x3=3E_2:\; x_1-x_3=3 ein?


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