Aufgaben zum Schnittwinkel von Geraden und Ebenen

Hier findest du Aufgaben zum Schnittwinkel zwischen Geraden und Ebenen. Lerne, mithilfe der Formel Winkel zu berechnen!

1
Bestimme den Schnittwinkel zwischen den beiden Geraden.
1. $g_{1} : \vec{x} = (\begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ - 3 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ - 1 \end{array})$ und $g_{2} : \vec{x} = (\begin{array}{c} 3 \\ 0 \\ - 1 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ - 2 \\ 2 \end{array})$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Skalarprodukt
  Berechne den Schnittwinkel zwischen den beiden Richtungsvektoren mit dem Skalarprodukt.
  $\cos (φ) = \frac{\vec{a} \circ \vec{b}}{| \vec{a} | \cdot | \vec{b} |}$
  Setze die Richtungsvektoren der Geraden ein. Berechne das Skalarprodukt und die Beträge der Vektoren.
  $\cos (φ) = \frac{\vec{a} \circ \vec{b}}{| \vec{a} | \cdot | \vec{b} |}$ $= \frac{(\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ - 1 \end{array}) \circ (\begin{array}{c} 1 \\ - 2 \\ 2 \end{array})}{| (\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ - 1 \end{array}) | \cdot | (\begin{array}{c} 1 \\ - 2 \\ 2 \end{array}) |}$
  
  $= \frac{2 - 2 - 2}{\sqrt{6} \cdot \sqrt{9}}$
  $= \frac{- 2}{3 \cdot \sqrt{6}}$
  Verwende die Umkehrfunktion des Cosinus.
  $φ = \arccos (\frac{- 2}{3 \cdot \sqrt{6}})$ $= {105,8}^{\circ}$
  Dies ist augenscheinlich der größere der beiden Schnittwinkel. Der gesuchte (kleinere) Schnittwinkel ist also $180^{\circ} - {105.8}^{\circ} = {74.2}^{\circ}$ .
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2. $g_{1} : \vec{x} = (\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 0 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 1 \end{array})$ und $g_{2} : \vec{x} = (\begin{array}{c} 0 \\ 2 \\ 0 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 3 \\ 3 \\ 3 \end{array})$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Skalarprodukt
  Berechne den Schnittwinkel zwischen den beiden Richtungsvektoren mit dem Skalarprodukt.
  $\cos (φ) = \frac{\vec{a} \circ \vec{b}}{| \vec{a} | \cdot | \vec{b} |}$
  Setze die Richtungsvektoren der Geraden ein. Berechne das Skalarprodukt und die Beträge der Vektoren.
  $\cos (φ) = \frac{\vec{a} \circ \vec{b}}{| \vec{a} | \cdot | \vec{b} |}$
     $\begin{array}{l} = \frac{(\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 1 \end{array}) \circ (\begin{array}{c} 3 \\ 3 \\ 3 \end{array})}{| (\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 1 \end{array}) | \cdot | (\begin{array}{c} 3 \\ 3 \\ 3 \end{array}) |} \end{array}$
     $\begin{array}{l} = \frac{1 \cdot 3 + 2 \cdot 3 + 1 \cdot 3}{\sqrt{1^{2} + 2^{2} + 1^{2}} \cdot \sqrt{3^{2} + 3^{2} + 3^{2}}} \end{array}$
     $= \frac{12}{\sqrt{6} \cdot \sqrt{27}}$
     $= \frac{12}{9 \cdot \sqrt{2}}$
  Verwende die Umkehrfunktion des Cosinus
  $φ = \arccos (\frac{12}{9 \cdot \sqrt{2}})$
     $= {19.47}^{\circ}$
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3. $g_{1} : \vec{x} = (\begin{array}{c} 1 \\ - 2 \\ 1 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} - 4 \\ - 2 \\ 6 \end{array})$ und $g_{2} : \vec{x} = (\begin{array}{c} - 1 \\ - 2 \\ 2 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} - 4 \\ - 4 \\ 10 \end{array})$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Skalarprodukt
  Berechne den Schnittwinkel zwischen den beiden Richtungsvektoren mit dem Skalarprodukt.
  $\cos (φ) = \frac{\vec{a} \circ \vec{b}}{| \vec{a} | \cdot | \vec{b} |}$
  Setze die Richtungsvektoren der Geraden ein. Berechne das Skalarprodukt und die Beträge der Vektoren.
  $\cos (φ) = \frac{\vec{a} \circ \vec{b}}{| \vec{a} | \cdot | \vec{b} |}$
     $\begin{array}{l} = \frac{(\begin{array}{c} - 4 \\ - 2 \\ 6 \end{array}) \circ (\begin{array}{c} - 4 \\ - 4 \\ 10 \end{array})}{| (\begin{array}{c} - 4 \\ - 2 \\ 6 \end{array}) | \cdot | (\begin{array}{c} - 4 \\ - 4 \\ 10 \end{array}) |} \end{array}$
     $\begin{array}{l} = \frac{(- 4) \cdot (- 4) + (- 2) \cdot (- 4) + 6 \cdot 10}{\sqrt{(- 4)^{2} + (- 2)^{2} + 6^{2}} \cdot \sqrt{(- 4)^{2} + (- 4)^{2} + 10^{2}}} \end{array}$
     $= \frac{84}{\sqrt{56} \cdot \sqrt{132}}$
     $= \frac{84}{2 \cdot \sqrt{14} \cdot 2 \cdot \sqrt{33}}$
     $= \frac{21}{\sqrt{462}}$
  Verwende die Umkehrfunktion des Cosinus.
  $φ = \arccos (\frac{21}{\sqrt{462}})$
     $= {12.31}^{\circ}$
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2
Bestimme den Schnittwinkel zwischen Gerade und Ebene.
1. $g : \vec{x} = (\begin{array}{c} - 1 \\ 2 \\ 1 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 2 \\ - 1 \\ - 2 \end{array})$ und $E : (\begin{array}{c} 2 \\ - 3 \\ 1 \end{array}) \circ [\vec{x} - (\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 1 \end{array})] = 0$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Schnittwinkel zwischen Gerade und Ebene berechnen
  $g : \vec{x} = (\begin{array}{c} - 1 \\ 2 \\ 1 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 2 \\ - 1 \\ - 2 \end{array})$ und $E : (\begin{array}{c} 2 \\ - 3 \\ 1 \end{array}) \circ [\vec{x} - (\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 1 \end{array})] = 0$
  Bestimme den Schnittwinkel zwischen dem Normalenvektor
  der Ebene und dem Richtungsvektor der Geraden mithilfe des
  Skalarprodukts und des Betrags der Vektoren.
  $\begin{array}{c} \end{array}$ $\begin{array}{rcl} \cos (φ) & = & \frac{\vec{a} \circ \vec{b}}{| \vec{a} | \cdot | \vec{b} |} = \frac{(\begin{array}{c} 2 \\ - 1 \\ - 2 \end{array}) \circ (\begin{array}{c} 2 \\ - 3 \\ 1 \end{array})}{| (\begin{array}{c} 2 \\ - 1 \\ - 2 \end{array}) | \cdot | (\begin{array}{c} 2 \\ - 3 \\ 1 \end{array}) |} \\ = & \frac{2 \cdot 2 + (- 1) \cdot (- 3) + (- 2) \cdot 1}{\sqrt{2^{2} + (- 1)^{2} + (- 2)^{2}} \cdot \sqrt{2^{2} + (- 3)^{2} + 1^{2}}} \\ = & \frac{4 + 3 - 2}{\sqrt{4 + 1 + 4} \cdot \sqrt{4 + 9 + 1}} \\ = & \frac{5}{\sqrt{9} \cdot \sqrt{14}} = \frac{5}{3 \cdot \sqrt{14}} \end{array}$
  Verwende jetzt die Umkehrfunktion des Cosinus um den Winkel $φ$ zu bestimmen.
  $φ = \arccos (\frac{5}{3 \cdot \sqrt{14}}) = {63.55}^{\circ}$
  Berechne nun den gesuchten Schnittwinkel mit $α = 90^{\circ} - φ$ .
  $α = {90.00}^{\circ} - {63.55}^{\circ} = {26.45}^{\circ}$
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2. $g : \vec{x} = (\begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ 1 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ - 1 \\ 1 \end{array})$ und $E : \vec{x} = (\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 5 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 2 \\ 0 \\ 1 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{c} - 1 \\ - 1 \\ 3 \end{array})$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Schnittwinkel zwischen Gerade und Ebene berechnen
  $g : \vec{x} = (\begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ 1 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ - 1 \\ 1 \end{array})$ und $E : \vec{x} = (\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 5 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 2 \\ 0 \\ 1 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{c} - 1 \\ - 1 \\ 3 \end{array})$
  Bestimme zuerst den Normalenvektor der Ebene mit dem Kreuzprodukt:
  $(\begin{array}{c} 2 \\ 0 \\ 1 \end{array}) \times (\begin{array}{c} - 1 \\ - 1 \\ 3 \end{array}) = (\begin{array}{c} 1 \\ - 7 \\ - 2 \end{array})$
  Bestimme jetzt den Schnittwinkel zwischen dem Normalenvektor
  der Ebene und dem Richtungsvektor der Geraden mithilfe des
  Skalarprodukts und der Beträge der Vektoren.
  $\begin{array}{rcl} \cos (φ) & = & \frac{\vec{a} \circ \vec{b}}{| \vec{a} | \cdot | \vec{b} |} = \frac{(\begin{array}{c} 1 \\ - 7 \\ - 2 \end{array}) \circ (\begin{array}{c} 1 \\ - 1 \\ 1 \end{array})}{| (\begin{array}{c} 1 \\ - 7 \\ - 2 \end{array}) | \cdot | (\begin{array}{c} 1 \\ - 1 \\ 1 \end{array}) |} \\ = & \frac{1 \cdot 1 + (- 7) \cdot (- 1) + (- 2) \cdot 1}{\sqrt{1^{2} + (- 7)^{2} + (- 2)^{2}} \cdot \sqrt{1^{2} + (- 1)^{2} + 1^{2}}} \\ = & \frac{1 + 7 - 2}{\sqrt{1 + 49 + 4} \cdot \sqrt{1 + 1 + 1}} \\ = & \frac{6}{\sqrt{54} \cdot \sqrt{3}} = \frac{6}{3 \cdot \sqrt{18}} \end{array}$
  Verwende die Umkehrfunktion des Cosinus um den Winkel $φ$ zu bestimmen.
  $φ = \arccos (\frac{5}{3 \cdot \sqrt{14}}) = {61.87}^{\circ}$
  Berechne nun den gesuchten Schnittwinkel mit $α = 90^{\circ} - φ$ .
  $α = {90.00}^{\circ} - {61.87}^{\circ} = {28.13}^{\circ}$
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3. $g : \vec{x} = (\begin{array}{c} - 9 \\ - 4 \\ 20 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 4 \\ 0 \\ - 6 \end{array})$ und $E : (\begin{array}{c} 3 \\ 1 \\ - 1 \end{array}) \circ \vec{x} + 6 = 0$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Schnittwinkel zwischen Gerade und Ebene berechnen
  $g : \vec{x} = (\begin{array}{c} - 9 \\ - 4 \\ 20 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 4 \\ 0 \\ - 6 \end{array})$ und $E : (\begin{array}{c} 3 \\ 1 \\ - 1 \end{array}) \circ \vec{x} + 6 = 0$
  Bestimme den Schnittwinkel zwischen dem Normalenvektor
  der Ebene und dem Richtungsvektor der Geraden mithilfe des
  Skalarprodukts und des Betrags der Vektoren.
  $\begin{array}{rcl} \cos (φ) & = & \frac{\vec{a} \circ \vec{b}}{| \vec{a} | \cdot | \vec{b} |} = \frac{(\begin{array}{c} 4 \\ 0 \\ - 6 \end{array}) \circ (\begin{array}{c} 3 \\ 1 \\ - 1 \end{array})}{| (\begin{array}{c} 4 \\ 0 \\ - 6 \end{array}) | \cdot | (\begin{array}{c} 3 \\ 1 \\ - 1 \end{array}) |} \\ = & \frac{4 \cdot 3 + 0 \cdot 1 + (- 6) \cdot (- 1)}{\sqrt{4^{2} + 0^{2} + (- 6)^{2}} \cdot \sqrt{3^{2} + 1^{2} + (- 1)^{2}}} \\ = & \frac{12 + 6}{\sqrt{16 + 0 + 36} \cdot \sqrt{9 + 1 + 1}} \\ = & \frac{18}{\sqrt{52} \cdot \sqrt{11}} = \frac{18}{2 \cdot \sqrt{143}} \end{array}$
  Verwende die Umkehrfunktion des Cosinus um den Winkel $φ$ zu bestimmen.
  $φ = \arccos (\frac{18}{2 \cdot \sqrt{143}}) = {41.18}^{\circ}$
  Berechne nun den gesuchten Schnittwinkel mit $α = 90^{\circ} - φ$ .
  $α = {90.00}^{\circ} - {41.18}^{\circ} = {48.82}^{\circ}$
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4. $g : \vec{x} = (\begin{array}{c} 2 \\ - 3 \\ 2 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ - 1 \\ 3 \end{array})$ und $E : \vec{x} = (\begin{array}{c} - 3 \\ 1 \\ 1 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ - 2 \\ - 1 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{c} 0 \\ - 1 \\ 2 \end{array})$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Schnittwinkel zwischen Gerade und Ebene berechnen
  $g : \vec{x} = (\begin{array}{c} 2 \\ - 3 \\ 2 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ - 1 \\ 3 \end{array})$ und $E : \vec{x} = (\begin{array}{c} - 3 \\ 1 \\ 1 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ - 2 \\ - 1 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{c} 0 \\ - 1 \\ 2 \end{array})$
  Bestimme zuerst den Normalenvektor der Ebene mit dem Kreuzprodukt:
  $(\begin{array}{c} 1 \\ - 2 \\ - 1 \end{array}) \times (\begin{array}{c} 0 \\ - 1 \\ 2 \end{array}) = (\begin{array}{c} - 5 \\ - 2 \\ - 1 \end{array})$
  Bestimme den Schnittwinkel zwischen dem Normalenvektor
  der Ebene und dem Richtungsvektor der Geraden mithilfe des
  Skalarprodukts und des Betrags der Vektoren.
  $\begin{array}{rcl} \cos (φ) & = & \frac{\vec{a} \circ \vec{b}}{| \vec{a} | \cdot | \vec{b} |} = \frac{(\begin{array}{c} 1 \\ - 1 \\ 3 \end{array}) \circ (\begin{array}{c} - 5 \\ - 2 \\ - 1 \end{array})}{| (\begin{array}{c} 1 \\ - 1 \\ 3 \end{array}) | \cdot | (\begin{array}{c} - 5 \\ - 2 \\ - 1 \end{array}) |} \\ = & \frac{1 \cdot (- 5) + (- 1) \cdot (- 2) + 3 \cdot (- 1)}{\sqrt{1^{2} + (- 1)^{2} + 3^{2}} \cdot \sqrt{(- 5)^{2} + (- 2)^{2} + (- 1)^{2}}} \\ = & \frac{- 5 + 2 - 3}{\sqrt{1 + 1 + 9} \cdot \sqrt{25 + 4 + 1}} \\ = & \frac{- 6}{\sqrt{11} \cdot \sqrt{30}} = \frac{- 6}{\sqrt{330}} \end{array}$
  Verwende die Umkehrfunktion des Cosinus um den Winkel $φ$ zu bestimmen.
  $φ = \arccos (\frac{- 6}{\sqrt{330}}) = {109.3}^{\circ}$
  Berechne nun den gesuchten Schnittwinkel mit $α = 90^{\circ} - φ$ .
  $α = {90.00}^{\circ} - {109.3}^{\circ} = - {19.3}^{\circ}$
  Der eingeschlossene Winkel beträgt also ${19.3}^{\circ}$ . Die Negativität des Ergebnisses oben folgt nur aus der speziellen Wahl der Richtungsvektoren.
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5. $g : \vec{x} = (\begin{array}{c} 1 \\ 3 \\ 2 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ 0 \end{array})$ und $E : x_{1} + x_{2} + 2 \cdot x_{3} - 11 = 0$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Schnittwinkel zwischen Gerade und Ebene berechnen
  $g : \vec{x} = (\begin{array}{c} 1 \\ 3 \\ 2 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ 0 \end{array})$ und $E : x_{1} + x_{2} + 2 \cdot x_{3} - 11 = 0$
  Bestimme den Schnittwinkel zwischen dem Normalenvektor
  der Ebene und dem Richtungsvektor der Geraden mithilfe des
  Skalarprodukts und des Betrags der Vektoren.
  $\begin{array}{rcl} \cos (φ) & = & \frac{\vec{a} \circ \vec{b}}{| \vec{a} | \cdot | \vec{b} |} = \frac{(\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ 0 \end{array}) \circ (\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 2 \end{array})}{| (\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ 0 \end{array}) | \cdot | (\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 2 \end{array}) |} \\ = & \frac{2 \cdot 1 + 1 \cdot 1 + 0 \cdot 2}{\sqrt{2^{2} + 1^{2} + 0^{2}} \cdot \sqrt{1^{2} + 1^{2} + 2^{2}}} \\ = & \frac{2 + 1}{\sqrt{4 + 1 + 0} \cdot \sqrt{1 + 1 + 4}} \\ = & \frac{3}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{6}} = \frac{3}{\sqrt{30}} \end{array}$
  Verwende die Umkehrfunktion des Cosinus um den Winkel $φ$ zu bestimmen.
  $φ = \arccos (\frac{3}{\sqrt{30}}) = {56.79}^{\circ}$
  Berechne nun den gesuchten Schnittwinkel mit $α = 90^{\circ} - φ$ .
  $α = {90.00}^{\circ} - {56.79}^{\circ} = {33.21}^{\circ}$
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6. $g : \vec{x} = (\begin{array}{c} 2 \\ 3 \\ - 1 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 2 \\ - 3 \\ 1 \end{array})$ und $E : (\begin{array}{c} 3 \\ 4 \\ - 2 \end{array}) \circ \vec{x} - 4 = 0$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Schnittwinkel zwischen Gerade und Ebene berechnen
  $g : \vec{x} = (\begin{array}{c} 2 \\ 3 \\ - 1 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 2 \\ - 3 \\ 1 \end{array})$ und $E : (\begin{array}{c} 3 \\ 4 \\ - 2 \end{array}) \circ \vec{x} - 4 = 0$
  Bestimme den Schnittwinkel zwischen dem Normalenvektor
  der Ebene und dem Richtungsvektor der Geraden mithilfe des
  Skalarprodukts und des Betrags der Vektoren.
  $\begin{array}{rcl} \cos (φ) & = & \frac{\vec{a} \circ \vec{b}}{| \vec{a} | \cdot | \vec{b} |} = \frac{(\begin{array}{c} 2 \\ - 3 \\ 1 \end{array}) \circ (\begin{array}{c} 3 \\ 4 \\ - 2 \end{array})}{| (\begin{array}{c} 2 \\ - 3 \\ 1 \end{array}) | \cdot | (\begin{array}{c} 3 \\ 4 \\ - 2 \end{array}) |} \\ = & \frac{2 \cdot 3 + (- 3) \cdot 4 + 1 \cdot (- 2)}{\sqrt{2^{2} + (- 3)^{2} + 1^{2}} \cdot \sqrt{3^{2} + 4^{2} + (- 2)^{2}}} \\ = & \frac{6 - 12 - 2}{\sqrt{4 + 9 + 1} \cdot \sqrt{9 + 16 + 4}} \\ = & \frac{- 8}{\sqrt{14} \cdot \sqrt{29}} = \frac{- 8}{\sqrt{406}} \end{array}$
  Verwende die Umkehrfunktion des Cosinus um den Winkel $φ$ zu bestimmen.
  $φ = \arccos (\frac{- 8}{\sqrt{406}}) = {113.4}^{\circ}$
  Berechne nun den gesuchten Schnittwinkel mit $α = 90^{\circ} - φ$ .
  $α = {90.00}^{\circ} - {113.4}^{\circ} = - {23.4}^{\circ}$
  Der eingeschlossene Winkel beträgt also ${23.4}^{\circ}$ . Die Negativität des Ergebnisses oben folgt nur aus der speziellen Wahl der Richtungsvektoren.
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7. $g : \vec{x} = (\begin{array}{c} 5 \\ - 1 \\ 3 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 7 \\ - 2 \\ 1 \end{array})$ und $E : x_{1} - 4 \cdot x_{3} - 5 = 0$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Schnittwinkel zwischen Gerade und Ebene berechnen
  $g : \vec{x} = (\begin{array}{c} 5 \\ - 1 \\ 3 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 7 \\ - 2 \\ 1 \end{array})$ und $E : x_{1} - 4 \cdot x_{3} - 5 = 0$
  Bestimme den Schnittwinkel zwischen dem Normalenvektor
  der Ebene und dem Richtungsvektor der Geraden mithilfe des
  Skalarprodukts und des Betrags der Vektoren.
  $\begin{array}{rcl} \cos (φ) & = & \frac{\vec{a} \circ \vec{b}}{| \vec{a} | \cdot | \vec{b} |} = \frac{(\begin{array}{c} 7 \\ - 2 \\ 1 \end{array}) \circ (\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ - 4 \end{array})}{| (\begin{array}{c} 7 \\ - 2 \\ 1 \end{array}) | \cdot | (\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ - 4 \end{array}) |} \\ = & \frac{7 \cdot 1 + (- 2) \cdot 0 + 1 \cdot (- 4)}{\sqrt{7^{2} + (- 2)^{2} + 1^{2}} \cdot \sqrt{1^{2} + 0^{2} + (- 4)^{2}}} \\ = & \frac{7 - 4}{\sqrt{49 + 4 + 1} \cdot \sqrt{1 + 16}} \\ = & \frac{3}{\sqrt{54} \cdot \sqrt{17}} = \frac{1}{\sqrt{102}} \end{array}$
  Verwende die Umkehrfunktion des Cosinus um den Winkel $φ$ zu bestimmen.
  $φ = \arccos (\frac{1}{\sqrt{102}}) = {84.32}^{\circ}$
  Berechne nun den gesuchten Schnittwinkel mit $α = 90^{\circ} - φ$ .
  $α = {90.00}^{\circ} - {84.32}^{\circ} = {5.68}^{\circ}$
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Berechne den Schnittwinkel zwischen den beiden Ebenen.

$E_{1} : (\begin{array}{c} 2 \\ - 1 \\ 3 \end{array}) \circ [\vec{x} - (\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array})]$	$=$	$0$
$E_{2} : (\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ - 1 \end{array}) \cdot [\vec{x} - (\begin{array}{c} - 2 \\ 1 \\ - 2 \end{array})]$	$=$	$0$

$E_{1} : \vec{x}$	$=$	$(\begin{array}{c} 4 \\ 0 \\ - 3 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 0 \\ - 1 \\ 0 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{c} - 2 \\ 0 \\ 3 \end{array})$
$E_{2} : \vec{x}$	$=$	$(\begin{array}{c} - 2 \\ 3 \\ 0 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ - 1 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{c} 2 \\ - 1 \\ 3 \end{array})$

$E_{1} : (\begin{array}{c} - 3 \\ - 2 \\ 1 \end{array}) \circ \vec{x} - 2$	$=$	$0$
$E_{2} : (\begin{array}{c} - 3 \\ - 2 \\ - 1 \end{array}) \circ \vec{x} + 1$	$=$	$0$

$E_{1} : \vec{x}$	$=$	$(\begin{array}{c} 1 \\ - 2 \\ 1 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 2 \\ - 1 \\ 1 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ - 2 \\ 1 \end{array})$
$E_{2} : \vec{x}$	$=$	$(\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ - 3 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ - 2 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{c} - 1 \\ 1 \\ 0 \end{array})$

$E_{1} : 5 \cdot x_{1} + 2 \cdot x_{2} + 3 \cdot x_{3} - 30$	$=$	$0$
$E_{2} : 10 \cdot x_{1} + 7 \cdot x_{2} - 12 \cdot x_{3} - 45$	$=$	$0$

$E_{1} : (\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ - 1 \end{array}) \circ \vec{x} - 2$	$=$	$0$
$E_{2} : - x_{1} + x_{2} - x_{3} - 1$	$=$	$0$

$E_{1} : \vec{x}$	$=$	$(\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 0 \\ - 1 \\ 1 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{c} 2 \\ - 2 \\ - 2 \end{array})$
$E_{2} : \vec{x}$	$=$	$(\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 1 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 2 \\ - 1 \\ - 3 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{c} 2 \\ - 2 \\ - 1 \end{array})$

Welchen Winkel schließen die Ebenen

$E_{1} : \vec{X} = (\begin{array}{c} 3 \\ 0 \\ 0 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ 0 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ - 1 \end{array})$ und $E_{2} : x_{1} - x_{3} = 3$ ein?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Schnittwinkel in der analytischen Geometrie

Für die Berechnung des Schnittwinkels der beiden Ebenen gilt folgende Formel:

$𝐜 𝐨 𝐬 𝛂 = \frac{| \vec{𝐧_{1}} \circ \vec{𝐧_{2}} |}{| \vec{𝐧_{1}} | \cdot | \vec{𝐧_{2}} |}$

Du benötigst also von den Ebenen die Normalenvektoren und deren Beträge.

Die Ebene $E_{1}$ liegt in der Parameterform vor. Der Normalenvektor der Ebene $E_{1}$ muss also berechnet werden.

Dazu gibt es zwei Möglichkeiten:

Berechnung des Normalenvektors über das Vektorprodukt der beiden Richtungsvektoren.
Der Normalenvektor steht senkrecht auf den beiden Richtungsvektoren. Das Skalarprodukt zwischen dem Normalenvektor und jedem Richtungsvektor ist gleich null.

Möglichkeit 1

${\vec{n}}_{E_{1}} = (\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ 0 \end{array}) \times (\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ - 1 \end{array}) = (\begin{array}{c} 1 \cdot (- 1) - 0 \cdot 1 \\ 0 \cdot 0 - 2 \cdot (- 1) \\ 2 \cdot 1 - 1 \cdot 0 \end{array}) = (\begin{array}{c} - 1 \\ 2 \\ 2 \end{array})$

Möglichkeit 2

$(\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ 0 \end{array}) \circ (\begin{array}{c} n_{1} \\ n_{2} \\ n_{3} \end{array}) = 0$ und $(\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ - 1 \end{array}) \circ (\begin{array}{c} n_{1} \\ n_{2} \\ n_{3} \end{array}) = 0$

Wird jeweils das Skalarprodukt berechnet, so erhältst du zwei Gleichungen.

$\begin{array}{cccccccl} (I) : 2 \cdot n_{1} & + & 1 \cdot n_{2} & + & 0 \cdot n_{3} & = & 0 & und \\ (I I) : 0 \cdot n_{1} & + & 1 \cdot n_{2} & + & (- 1) \cdot n_{3} & = & 0 \end{array}$

Aus Gleichung $(I I)$ folgt $n_{2} = n_{3}$

Bei zwei Gleichungen mit drei Unbekannten ist eine Variable frei wählbar.

Setze z.B. $n_{3} = 2$ . Dann ist $n_{2}$ auch gleich $2$ .

Mit Gleichung $(I)$ folgt dann: $2 \cdot n_{1} + 1 \cdot 2 + 0 \cdot 2 = 0 \Rightarrow n_{1} = - 1$

Damit ist ${\vec{n}}_{E_{1}} = (\begin{array}{c} - 1 \\ 2 \\ 2 \end{array})$ .

Der Normalenvektor der Ebene $E_{2}$ kann abgelesen werden.

${\vec{n}}_{E_{2}} = (\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ - 1 \end{array})$

Berechne nun die Beträge der beiden Normalenvektoren.

$| {\vec{n}}_{E_{1}} | = \sqrt{(- 1)^{2} + 2^{2} + 2^{2}} = \sqrt{9} = 3$

$| {\vec{n}}_{E_{2}} | = \sqrt{1^{2} + 0^{2} + (- 1)^{2}} = \sqrt{2}$

Setze in die Formel für die Winkelberechnung ein:

$𝐜 𝐨 𝐬 𝛂$	$=$	$\frac{\| \vec{𝐧_{1}} \circ \vec{𝐧_{2}} \|}{\| \vec{𝐧_{1}} \| \cdot \| \vec{𝐧_{2}} \|}$
	↓	Setze die berechneten Werte ein.
	$=$	$\frac{\| (\begin{array}{c} - 1 \\ 2 \\ 2 \end{array}) \circ (\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ - 1 \end{array}) \|}{3 \cdot \sqrt{2}}$
	↓	Berechne das Skalarprodukt.
	$=$	$\frac{\| (- 1) \cdot 1 + 2 \cdot 0 + 2 \cdot (- 1) \|}{3 \cdot \sqrt{2}}$
	↓	Berechne die Produkte und fasse zusammen.
	$=$	$\frac{\| - 3 \|}{3 \cdot \sqrt{2}}$
	↓	Berechne den Betrag.
	$=$	$\frac{3}{3 \cdot \sqrt{2}}$
	↓	Kürze mit 3.
	$=$	$\frac{1}{\sqrt{2}}$

Du hast die Gleichung $𝐜 𝐨 𝐬 𝛂 = \frac{1}{\sqrt{2}}$ erhalten.

Durch Anwendung der Umkehrfunktion des Kosinus kannst du den Winkel $α$ berechnen. Benutze auf dem Taschenrechner die Funktion $\cos^{- 1} (x)$ .

$α = \arccos (\frac{1}{\sqrt{2}}) = 45^{\circ}$

Antwort: Der Schnittwinkel $α$ zwischen den beiden Ebenen beträgt $45^{\circ}$ .

Zusätzliche graphische Darstellung, die in der Aufgabenstellung nicht gefordert ist

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CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?

$E_{1} : (\begin{array}{c} 2 \\ - 1 \\ 3 \end{array}) \circ [\vec{x} - (\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array})]$	$=$	$0$
$E_{2} : (\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ - 1 \end{array}) \circ [\vec{x} - (\begin{array}{c} - 2 \\ 1 \\ - 2 \end{array})]$	$=$	$0$
	↓	Bestimme den Schnittwinkel zwischen den Normalenvektoren der Ebenen mit dem Skalarprodukt.
$\cos (φ)$	$=$	$\frac{\vec{a} \circ \vec{b}}{\| \vec{a} \| \cdot \| \vec{b} \|}$
	↓	Setze die beiden Vektoren ein.
	$=$	$\frac{(\begin{array}{c} 2 \\ - 1 \\ 3 \end{array}) \circ (\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ - 1 \end{array})}{\| (\begin{array}{c} 2 \\ - 1 \\ 3 \end{array}) \| \cdot \| (\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ - 1 \end{array}) \|}$
	↓	Berechne im Zähler das Skalarprodukt und im Nenner die Beträge der Vektoren.
	$=$	$\frac{2 \cdot 1 + (- 1) \cdot 2 + 3 \cdot (- 1)}{\sqrt{2^{2} + (- 1)^{2} + 3^{2}} \cdot \sqrt{1^{2} + 2^{2} + (- 1)^{2}}}$
	$=$	$\frac{2 - 2 - 3}{\sqrt{4 + 1 + 9} \cdot \sqrt{1 + 4 + 1}}$
	$=$	$\frac{- 3}{\sqrt{14} \cdot \sqrt{6}} = \frac{- 3}{2 \cdot \sqrt{21}}$
	↓	Bilde den Wert der Umkehrfunktion des Cosinus um den Winkel zu bestimmen.
$φ$	$=$	$\arccos (\frac{- 3}{2 \cdot \sqrt{21}}) = {109.1}^{\circ}$
	↓	Dies ist augenscheinlich der größere der beiden Schnittwinkel. Der gesuchte Schnittwinkel ist also $180^{\circ} - {109.1}^{\circ} = {70.9}^{\circ}$ .

Aufgaben zum Schnittwinkel von Geraden und Ebenen

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Möglichkeit 1

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