Aufgaben zum Schnittwinkel von Geraden und Ebenen
Hier findest du Aufgaben zum Schnittwinkel zwischen Geraden und Ebenen. Lerne, mithilfe der Formel Winkel zu berechnen!
- 1
Bestimme den Schnittwinkel zwischen den beiden Geraden.
g1:x=22−3+r⋅21−1 und g2:x=30−1+r⋅1−22
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Skalarprodukt
Berechne den Schnittwinkel zwischen den beiden Richtungsvektoren mit dem Skalarprodukt.
cos(φ)=∣a∣⋅ba∘b
Setze die Richtungsvektoren der Geraden ein. Berechne das Skalarprodukt und die Beträge der Vektoren.
cos(φ)=∣a∣⋅ba∘b =(21−1)⋅(1−22)(21−1)∘(1−22)
=6⋅92−2−2
=3⋅6−2
Verwende die Umkehrfunktion des Cosinus.
φ=arccos(3⋅6−2)=105,8∘
Dies ist augenscheinlich der größere der beiden Schnittwinkel. Der gesuchte (kleinere) Schnittwinkel ist also 180∘−105.8∘=74.2∘ .
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g1:x=010+r⋅121 und g2:x=020+r⋅333
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Skalarprodukt
Berechne den Schnittwinkel zwischen den beiden Richtungsvektoren mit dem Skalarprodukt.
cos(φ)=∣a∣⋅ba∘b
Setze die Richtungsvektoren der Geraden ein. Berechne das Skalarprodukt und die Beträge der Vektoren.
cos(φ)=∣a∣⋅ba∘b
=(121)⋅(333)(121)∘(333)
=12+22+12⋅32+32+321⋅3+2⋅3+1⋅3
=6⋅2712
=9⋅212
Verwende die Umkehrfunktion des Cosinus
φ=arccos(9⋅212)
=19.47∘
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g1:x=1−21+r⋅−4−26 und g2:x=−1−22+r⋅−4−410
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Skalarprodukt
Berechne den Schnittwinkel zwischen den beiden Richtungsvektoren mit dem Skalarprodukt.
cos(φ)=∣a∣⋅ba∘b
Setze die Richtungsvektoren der Geraden ein. Berechne das Skalarprodukt und die Beträge der Vektoren.
cos(φ)=∣a∣⋅ba∘b
=(−4−26)⋅(−4−410)(−4−26)∘(−4−410)
=(−4)2+(−2)2+62⋅(−4)2+(−4)2+102(−4)⋅(−4)+(−2)⋅(−4)+6⋅10
=56⋅13284
=2⋅14⋅2⋅3384
=46221
Verwende die Umkehrfunktion des Cosinus.
φ=arccos(46221)
=12.31∘
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- 2
Bestimme den Schnittwinkel zwischen Gerade und Ebene.
g:x=−121+r⋅2−1−2 und E:2−31∘x−101=0
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Schnittwinkel zwischen Gerade und Ebene berechnen
g:x=−121+r⋅2−1−2 und E:2−31∘x−101=0
Bestimme den Schnittwinkel zwischen dem Normalenvektor
der Ebene und dem Richtungsvektor der Geraden mithilfe des
Skalarprodukts und des Betrags der Vektoren.
cos(φ)====a⋅ba∘b = (2−1−2)⋅(2−31)(2−1−2)∘(2−31)22+(−1)2+(−2)2⋅22+(−3)2+122⋅2+(−1)⋅(−3)+(−2)⋅14+1+4⋅4+9+14+3−29⋅145 = 3⋅145
Verwende jetzt die Umkehrfunktion des Cosinus um den Winkel φ zu bestimmen.
φ=arccos(3⋅145) = 63.55∘
Berechne nun den gesuchten Schnittwinkel mit α=90∘−φ .
α=90.00∘−63.55∘=26.45∘
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g:x=221+r⋅1−11 und E:x=115+r⋅201+s⋅−1−13
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Schnittwinkel zwischen Gerade und Ebene berechnen
g:x=221+r⋅1−11 und E:x=115+r⋅201+s⋅−1−13
Bestimme zuerst den Normalenvektor der Ebene mit dem Kreuzprodukt:
201×−1−13=1−7−2
Bestimme jetzt den Schnittwinkel zwischen dem Normalenvektor
der Ebene und dem Richtungsvektor der Geraden mithilfe des
Skalarprodukts und der Beträge der Vektoren.
cos(φ)====a⋅ba∘b = (1−7−2)⋅(1−11)(1−7−2)∘(1−11)12+(−7)2+(−2)2⋅12+(−1)2+121⋅1+(−7)⋅(−1)+(−2)⋅11+49+4⋅1+1+11+7−254⋅36 = 3⋅186
Verwende die Umkehrfunktion des Cosinus um den Winkel φ zu bestimmen.
φ = arccos(3⋅145) = 61.87∘
Berechne nun den gesuchten Schnittwinkel mit α=90∘−φ.
α=90.00∘−61.87∘=28.13∘
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g:x=−9−420+r⋅40−6 und E:31−1∘x+6=0
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Schnittwinkel zwischen Gerade und Ebene berechnen
g:x=−9−420+r⋅40−6 und E:31−1∘x+6=0
Bestimme den Schnittwinkel zwischen dem Normalenvektor
der Ebene und dem Richtungsvektor der Geraden mithilfe des
Skalarprodukts und des Betrags der Vektoren.
cos(φ)====a⋅ba∘b = (40−6)⋅(31−1)(40−6)∘(31−1)42+02+(−6)2⋅32+12+(−1)24⋅3+0⋅1+(−6)⋅(−1)16+0+36⋅9+1+112+652⋅1118 = 2⋅14318
Verwende die Umkehrfunktion des Cosinus um den Winkel φ zu bestimmen.
φ=arccos(2⋅14318)=41.18∘
Berechne nun den gesuchten Schnittwinkel mit α=90∘−φ .
α=90.00∘−41.18∘=48.82∘
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g:x=2−32+r⋅1−13 und E:x=−311+r⋅1−2−1+s⋅0−12
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Schnittwinkel zwischen Gerade und Ebene berechnen
g:x=2−32+r⋅1−13 und E:x=−311+r⋅1−2−1+s⋅0−12
Bestimme zuerst den Normalenvektor der Ebene mit dem Kreuzprodukt:
1−2−1×0−12=−5−2−1
Bestimme den Schnittwinkel zwischen dem Normalenvektor
der Ebene und dem Richtungsvektor der Geraden mithilfe des
Skalarprodukts und des Betrags der Vektoren.
cos(φ)====a⋅ba∘b = (1−13)⋅(−5−2−1)(1−13)∘(−5−2−1)12+(−1)2+32⋅(−5)2+(−2)2+(−1)21⋅(−5)+(−1)⋅(−2)+3⋅(−1)1+1+9⋅25+4+1−5+2−311⋅30−6 = 330−6
Verwende die Umkehrfunktion des Cosinus um den Winkel φ zu bestimmen.
φ=arccos(330−6)=109.3∘
Berechne nun den gesuchten Schnittwinkel mit α=90∘−φ .
α=90.00∘−109.3∘=−19.3∘
Der eingeschlossene Winkel beträgt also 19.3∘. Die Negativität des Ergebnisses oben folgt nur aus der speziellen Wahl der Richtungsvektoren.
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g:x=132+r⋅210 und E:x1+x2+2⋅x3−11=0
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Schnittwinkel zwischen Gerade und Ebene berechnen
g:x=132+r⋅210 und E:x1+x2+2⋅x3−11=0
Bestimme den Schnittwinkel zwischen dem Normalenvektor
der Ebene und dem Richtungsvektor der Geraden mithilfe des
Skalarprodukts und des Betrags der Vektoren.
cos(φ)====a⋅ba∘b = (210)⋅(112)(210)∘(112)22+12+02⋅12+12+222⋅1+1⋅1+0⋅24+1+0⋅1+1+42+15⋅63 = 303
Verwende die Umkehrfunktion des Cosinus um den Winkel φ zu bestimmen.
φ=arccos(303)=56.79∘
Berechne nun den gesuchten Schnittwinkel mit α=90∘−φ .
α=90.00∘−56.79∘=33.21∘
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g:x=23−1+r⋅2−31 und E:34−2∘x−4=0
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Schnittwinkel zwischen Gerade und Ebene berechnen
g:x=23−1+r⋅2−31 und E:34−2∘x−4=0
Bestimme den Schnittwinkel zwischen dem Normalenvektor
der Ebene und dem Richtungsvektor der Geraden mithilfe des
Skalarprodukts und des Betrags der Vektoren.
cos(φ)====a⋅ba∘b = (2−31)⋅(34−2)(2−31)∘(34−2)22+(−3)2+12⋅32+42+(−2)22⋅3+(−3)⋅4+1⋅(−2)4+9+1⋅9+16+46−12−214⋅29−8 = 406−8
Verwende die Umkehrfunktion des Cosinus um den Winkel φ zu bestimmen.
φ=arccos(406−8)=113.4∘
Berechne nun den gesuchten Schnittwinkel mit α=90∘−φ .
α=90.00∘−113.4∘=−23.4∘
Der eingeschlossene Winkel beträgt also 23.4∘. Die Negativität des Ergebnisses oben folgt nur aus der speziellen Wahl der Richtungsvektoren.
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g:x=5−13+r⋅7−21 und E:x1−4⋅x3−5=0
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Schnittwinkel zwischen Gerade und Ebene berechnen
g:x=5−13+r⋅7−21 und E:x1−4⋅x3−5=0
Bestimme den Schnittwinkel zwischen dem Normalenvektor
der Ebene und dem Richtungsvektor der Geraden mithilfe des
Skalarprodukts und des Betrags der Vektoren.
cos(φ)====a⋅ba∘b = (7−21)⋅(10−4)(7−21)∘(10−4)72+(−2)2+12⋅12+02+(−4)27⋅1+(−2)⋅0+1⋅(−4)49+4+1⋅1+167−454⋅173 = 1021
Verwende die Umkehrfunktion des Cosinus um den Winkel φ zu bestimmen.
φ=arccos(1021)=84.32∘
Berechne nun den gesuchten Schnittwinkel mit α=90∘−φ .
α=90.00∘−84.32∘=5.68∘
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- 3
Berechne den Schnittwinkel zwischen den beiden Ebenen.
E1:2−13∘x−111 = 0 E2:12−1⋅x−−21−2 = 0 Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Schnittwinkel berechnen
E1:2−13∘x−111 = 0 E2:12−1∘x−−21−2 = 0 ↓ Bestimme den Schnittwinkel zwischen den Normalenvektoren der Ebenen mit dem Skalarprodukt.
cos(φ) = a⋅ba∘b ↓ Setze die beiden Vektoren ein.
= 2−13⋅12−12−13∘12−1 ↓ Berechne im Zähler das Skalarprodukt und im Nenner die Beträge der Vektoren.
= 22+(−1)2+32⋅12+22+(−1)22⋅1+(−1)⋅2+3⋅(−1) = 4+1+9⋅1+4+12−2−3 = 14⋅6−3=2⋅21−3 ↓ Bilde den Wert der Umkehrfunktion des Cosinus um den Winkel zu bestimmen.
φ = arccos(2⋅21−3)=109.1∘ ↓ Dies ist augenscheinlich der größere der beiden Schnittwinkel.
Der gesuchte Schnittwinkel ist also 180∘−109.1∘=70.9∘.
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E1:x =