Aufgaben zum Schnittwinkel von Geraden und Ebenen

Bestimme den Schnittwinkel zwischen den beiden Geraden.

${\mathrm g}_1:\;\overrightarrow{\mathrm x}=\begin{pmatrix}2\\2\\-3\end{pmatrix}+\mathrm r\cdot\begin{pmatrix}2\\1\\-1\end{pmatrix}$ und ${\mathrm g}_2:\;\overrightarrow{\mathrm x}=\begin{pmatrix}3\\0\\-1\end{pmatrix}+\mathrm r\cdot\begin{pmatrix}1\\-2\\2\end{pmatrix}$
${\mathrm g}_1:\;\overrightarrow{\mathrm x}=\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}+\mathrm r\cdot\begin{pmatrix}1\\2\\1\end{pmatrix}$ und ${\mathrm g}_2:\;\overrightarrow{\mathrm x}=\begin{pmatrix}0\\2\\0\end{pmatrix}+\mathrm r\cdot\begin{pmatrix}3\\3\\3\end{pmatrix}$
${\mathrm g}_1:\;\overrightarrow{\mathrm x}=\begin{pmatrix}1\\-2\\1\end{pmatrix}+\mathrm r\cdot\begin{pmatrix}-4\\-2\\6\end{pmatrix}$ und ${\mathrm g}_2:\;\overrightarrow{\mathrm x}=\begin{pmatrix}-1\\-2\\2\end{pmatrix}+\mathrm r\cdot\begin{pmatrix}-4\\-4\\10\end{pmatrix}$

Bestimme den Schnittwinkel zwischen Gerade und Ebene.

$\mathrm g:\;\overrightarrow{\mathrm x}=\begin{pmatrix}-1\\2\\1\end{pmatrix}+\mathrm r\cdot\begin{pmatrix}2\\-1\\-2\end{pmatrix}$ und $\mathrm E:\;\begin{pmatrix}2\\-3\\1\end{pmatrix}\circ\left[\overrightarrow{\mathrm x}-\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}\right]=0$
$\mathrm g:\;\overrightarrow{\mathrm x}=\begin{pmatrix}2\\2\\1\end{pmatrix}+\mathrm r\cdot\begin{pmatrix}1\\-1\\1\end{pmatrix}$ und $\mathrm E:\;\overrightarrow{\mathrm x}=\begin{pmatrix}1\\1\\5\end{pmatrix}+\mathrm r\cdot\begin{pmatrix}2\\0\\1\end{pmatrix}+\mathrm s\cdot\begin{pmatrix}-1\\-1\\3\end{pmatrix}$
$\mathrm g:\;\overrightarrow{\mathrm x}=\begin{pmatrix}-9\\-4\\20\end{pmatrix}+\mathrm r\cdot\begin{pmatrix}4\\0\\-6\end{pmatrix}$ und $\mathrm E:\;\begin{pmatrix}3\\1\\-1\end{pmatrix}\circ\overrightarrow{\mathrm x}+6=0$
$\mathrm g:\;\overrightarrow{\mathrm x}=\begin{pmatrix}2\\-3\\2\end{pmatrix}+\mathrm r\cdot\begin{pmatrix}1\\-1\\3\end{pmatrix}$ und $\mathrm E:\;\overrightarrow{\mathrm x}=\begin{pmatrix}-3\\1\\1\end{pmatrix}+\mathrm r\cdot\begin{pmatrix}1\\-2\\-1\end{pmatrix}+\mathrm s\cdot\begin{pmatrix}0\\-1\\2\end{pmatrix}$
$\mathrm g:\;\overrightarrow{\mathrm x}=\begin{pmatrix}1\\3\\2\end{pmatrix}+\mathrm r\cdot\begin{pmatrix}2\\1\\0\end{pmatrix}$ und $\mathrm E:\;{\mathrm x}_1+{\mathrm x}_2+2\cdot{\mathrm x}_3-11=0$
$\mathrm g:\;\overrightarrow{\mathrm x}=\begin{pmatrix}2\\3\\-1\end{pmatrix}+\mathrm r\cdot\begin{pmatrix}2\\-3\\1\end{pmatrix}$ und $\mathrm E:\;\begin{pmatrix}3\\4\\-2\end{pmatrix}\circ\overrightarrow{\mathrm x}-4=0$
$\mathrm g:\;\overrightarrow{\mathrm x}=\begin{pmatrix}5\\-1\\3\end{pmatrix}+\mathrm r\cdot\begin{pmatrix}7\\-2\\1\end{pmatrix}$ und $\mathrm E:\;{\mathrm x}_1-4\cdot{\mathrm x}_3-5=0$

Berechne den Schnittwinkel zwischen den beiden Ebenen.

$\displaystyle {\mathrm E}_1:\;\begin{pmatrix}2\\-1\\3\end{pmatrix}\circ\left[\overrightarrow{\mathrm x}-\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}\right]$	$=$	$\displaystyle 0$
$\displaystyle {\mathrm E}_2:\;\begin{pmatrix}1\\2\\-1\end{pmatrix}\cdot\left[\overrightarrow{\mathrm x}-\begin{pmatrix}-2\\1\\-2\end{pmatrix}\right]$	$=$	$\displaystyle 0$

$\displaystyle {\mathrm E}_1:\;\overrightarrow{\mathrm x}$	$=$	$\displaystyle \begin{pmatrix}4\\0\\-3\end{pmatrix}+\mathrm r\cdot\begin{pmatrix}0\\-1\\0\end{pmatrix}+\mathrm s\cdot\begin{pmatrix}-2\\0\\3\end{pmatrix}$
$\displaystyle {\mathrm E}_2:\;\overrightarrow{\mathrm x}$	$=$	$\displaystyle \begin{pmatrix}-2\\3\\0\end{pmatrix}+\mathrm r\cdot\begin{pmatrix}0\\0\\-1\end{pmatrix}+\mathrm s\cdot\begin{pmatrix}2\\-1\\3\end{pmatrix}$

$\displaystyle {\mathrm E}_1:\;\begin{pmatrix}-3\\-2\\1\end{pmatrix}\circ\overrightarrow{\mathrm x}-2$	$=$	$\displaystyle 0$
$\displaystyle {\mathrm E}_2:\;\begin{pmatrix}-3\\-2\\-1\end{pmatrix}\circ\overrightarrow{\mathrm x}+1$	$=$	$\displaystyle 0$

$\displaystyle {\mathrm E}_1:\;\overrightarrow{\mathrm x}$	$=$	$\displaystyle \begin{pmatrix}1\\-2\\1\end{pmatrix}+\mathrm r\cdot\begin{pmatrix}2\\-1\\1\end{pmatrix}+\mathrm s\cdot\begin{pmatrix}1\\-2\\1\end{pmatrix}$
$\displaystyle {\mathrm E}_2:\;\overrightarrow{\mathrm x}$	$=$	$\displaystyle \begin{pmatrix}2\\1\\-3\end{pmatrix}+\mathrm r\cdot\begin{pmatrix}1\\0\\-2\end{pmatrix}+\mathrm s\cdot\begin{pmatrix}-1\\1\\0\end{pmatrix}$

$\displaystyle {\mathrm E}_1:\;5\cdot{\mathrm x}_1+2\cdot{\mathrm x}_2+3\cdot{\mathrm x}_3-30$	$=$	$\displaystyle 0$
$\displaystyle {\mathrm E}_2:\;10\cdot{\mathrm x}_1+7\cdot{\mathrm x}_2-12\cdot{\mathrm x}_3-45$	$=$	$\displaystyle 0$

$\displaystyle {\mathrm E}_1:\;\begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix}\circ\overrightarrow{\mathrm x}-2$	$=$	$\displaystyle 0$
$\displaystyle {\mathrm E}_2:\;-{\mathrm x}_1+{\mathrm x}_2-{\mathrm x}_3-1$	$=$	$\displaystyle 0$

$\displaystyle {\mathrm E}_1:\;\overrightarrow{\mathrm x}$	$=$	$\displaystyle \begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}+\mathrm r\cdot\begin{pmatrix}0\\-1\\1\end{pmatrix}+\mathrm s\cdot\begin{pmatrix}2\\-2\\-2\end{pmatrix}$
$\displaystyle {\mathrm E}_2:\;\overrightarrow{\mathrm x}$	$=$	$\displaystyle \begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}+\mathrm r\cdot\begin{pmatrix}2\\-1\\-3\end{pmatrix}+\mathrm s\cdot\begin{pmatrix}2\\-2\\-1\end{pmatrix}$

4

Welchen Winkel schließen die Ebenen

$E_1:\;\vec X=\begin{pmatrix}3\\0\\0\end{pmatrix}+r\cdot \begin{pmatrix}2\\1\\0\end{pmatrix}+ s \cdot \begin{pmatrix}0\\1\\-1\end{pmatrix}$ und $E_2:\; x_1-x_3=3$ ein?