Aufgaben zum Schnittwinkel von Geraden und Ebenen

Setze die Richtungsvektoren der Geraden ein. Berechne das Skalarprodukt und die Beträge der Vektoren.

Dies ist augenscheinlich der größere der beiden Schnittwinkel. Der gesuchte (kleinere) Schnittwinkel ist also  $180^\circ-105.8^\circ=74.2^\circ$ .

$\cos\;\left(\mathrm\varphi\right)=\frac{\overrightarrow{\mathrm a}\circ\overrightarrow{\mathrm b}}{\left|\overrightarrow{\mathrm a}\right|\cdot\left|\overrightarrow{\mathrm b}\right|}$

Setze die Richtungsvektoren der Geraden ein. Berechne das  Skalarprodukt und die Beträge der Vektoren.

Setze die Richtungsvektoren der Geraden ein. Berechne das Skalarprodukt und die Beträge der Vektoren.

Verwende die Umkehrfunktion des Cosinus.

$\mathrm g:\;\overrightarrow{\mathrm x}=\begin{pmatrix}-1\\2\\1\end{pmatrix}+\mathrm r\cdot\begin{pmatrix}2\\-1\\-2\end{pmatrix}$  und  $\mathrm E:\;\begin{pmatrix}2\\-3\\1\end{pmatrix}\circ\left[\overrightarrow{\mathrm x}-\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}\right]=0$

Bestimme den Schnittwinkel zwischen dem Normalenvektor

der Ebene und dem Richtungsvektor der Geraden mithilfe des

Skalarprodukts und des Betrags der Vektoren.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{c} \end{array}$$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl}\cos\;(\varphi) &=& \dfrac{\overrightarrow{\mathrm a}\circ\overrightarrow{\mathrm b}}{\left|\overrightarrow{\mathrm a}\right|\cdot\left|\overrightarrow{\mathrm b}\right|}\ =\ \frac{\begin{pmatrix}2\\-1\\-2\end{pmatrix}\circ\begin{pmatrix}2\\-3\\1\end{pmatrix}}{\left|\begin{pmatrix}2\\-1\\-2\end{pmatrix}\right|\cdot\left|\begin{pmatrix}2\\-3\\1\end{pmatrix}\right|} \\ \\ &=& \dfrac{2\cdot2+(-1)\cdot(-3)+(-2)\cdot1}{\sqrt{2^2+(-1)^2+(-2)^2}\cdot\sqrt{2^2+(-3)^2+1^2}} \\ \\ &=& \dfrac{4+3-2}{\sqrt{4+1+4}\cdot\sqrt{4+9+1}} \\ \\ &=& \dfrac5{\sqrt9\cdot\sqrt{14}}\ =\ \dfrac5{3\cdot\sqrt{14}} \end{array}$

Verwende jetzt die Umkehrfunktion des Cosinus um den Winkel $\varphi$ zu bestimmen.

$\mathrm\varphi=\mathrm{arccos}\left(\dfrac5{3\cdot\sqrt{14}}\right)\ =\ 63.55^\circ$

Berechne nun den gesuchten Schnittwinkel mit $\mathrm\alpha=90^\circ-\mathrm\varphi$ .

$\mathrm\alpha=90.00^\circ-63.55^\circ=26.45^\circ$

$\mathrm g:\;\overrightarrow{\mathrm x}=\begin{pmatrix}2\\2\\1\end{pmatrix}+\mathrm r\cdot\begin{pmatrix}1\\-1\\1\end{pmatrix}$  und  $\mathrm E:\;\overrightarrow{\mathrm x}=\begin{pmatrix}1\\1\\5\end{pmatrix}+\mathrm r\cdot\begin{pmatrix}2\\0\\1\end{pmatrix}+\mathrm s\cdot\begin{pmatrix}-1\\-1\\3\end{pmatrix}$

Bestimme zuerst den Normalenvektor der Ebene mit dem Kreuzprodukt:

$\begin{pmatrix}2\\0\\1\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}-1\\-1\\3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\-7\\-2\end{pmatrix}$

Bestimme jetzt den Schnittwinkel zwischen dem Normalenvektor

der Ebene und dem Richtungsvektor der Geraden mithilfe des

Skalarprodukts und der Beträge der Vektoren.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl}\cos\;(\varphi) &=& \dfrac{\overrightarrow{\mathrm a}\circ\overrightarrow{\mathrm b}}{\left|\overrightarrow{\mathrm a}\right|\cdot\left|\overrightarrow{\mathrm b}\right|}\ =\ \frac{\begin{pmatrix}1\\-7\\-2\end{pmatrix}\circ\begin{pmatrix}1\\-1\\1\end{pmatrix}}{\left|\begin{pmatrix}1\\-7\\-2\end{pmatrix}\right|\cdot\left|\begin{pmatrix}1\\-1\\1\end{pmatrix}\right|} \\ \\ &=& \dfrac{1\cdot1+(-7)\cdot(-1)+(-2)\cdot1}{\sqrt{1^2+(-7)^2+(-2)^2}\cdot\sqrt{1^2+(-1)^2+1^2}} \\ \\ &=& \dfrac{1+7-2}{\sqrt{1+49+4}\cdot\sqrt{1+1+1}} \\ \\ &=& \dfrac6{\sqrt{54}\cdot\sqrt3}\ =\ \dfrac6{3\cdot\sqrt{18}} \end{array}$

Verwende die Umkehrfunktion des Cosinus um den Winkel $\varphi$ zu bestimmen.

$\mathrm{\varphi}\ =\ \mathrm{\arccos}\left(\dfrac{5}{3\cdot\sqrt{14}}\right)\ =\ 61.87^\circ$

Berechne nun den gesuchten Schnittwinkel mit  $\mathrm\alpha=90^\circ-\mathrm\varphi$.

$\mathrm\alpha=90.00^\circ-61.87^\circ=28.13^\circ$

$\mathrm g:\;\overrightarrow{\mathrm x}=\begin{pmatrix}-9\\-4\\20\end{pmatrix}+\mathrm r\cdot\begin{pmatrix}4\\0\\-6\end{pmatrix}$  und  $\mathrm E:\;\begin{pmatrix}3\\1\\-1\end{pmatrix}\circ\overrightarrow{\mathrm x}+6\;=0$

Bestimme den Schnittwinkel zwischen dem Normalenvektor

der Ebene und dem Richtungsvektor der Geraden mithilfe des

Skalarprodukts und des Betrags der Vektoren.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl}\cos\;(\varphi) &=& \dfrac{\overrightarrow{\mathrm a}\circ\overrightarrow{\mathrm b}}{\left|\overrightarrow{\mathrm a}\right|\cdot\left|\overrightarrow{\mathrm b}\right|}\ =\ \frac{\begin{pmatrix}4\\0\\-6\end{pmatrix}\circ\begin{pmatrix}3\\1\\-1\end{pmatrix}}{\left|\begin{pmatrix}4\\0\\-6\end{pmatrix}\right|\cdot\left|\begin{pmatrix}3\\1\\-1\end{pmatrix}\right|} \\ \\ &=& \dfrac{4\cdot3+0\cdot1+(-6)\cdot(-1)}{\sqrt{4^2+0^2+(-6)^2}\cdot\sqrt{3^2+1^2+(-1)^2}} \\ \\ &=& \dfrac{12+6}{\sqrt{16+0+36}\cdot\sqrt{9+1+1}} \\ \\ &=& \dfrac{18}{\sqrt{52}\cdot\sqrt{11}}\ =\ \dfrac{18}{2\cdot\sqrt{143}} \end{array}$

Verwende die Umkehrfunktion des Cosinus um den Winkel $\varphi$ zu bestimmen.

$\mathrm{\varphi}=\mathrm{\arccos}\left(\dfrac{18}{2\cdot\sqrt{143}}\right)=41.18^\circ$

Berechne nun den gesuchten Schnittwinkel mit  $\mathrm\alpha=90^\circ-\mathrm\varphi$ .

$\mathrm\alpha=90.00^\circ-41.18^\circ= 48.82^\circ$

$\mathrm g:\;\overrightarrow{\mathrm x}=\begin{pmatrix}2\\-3\\2\end{pmatrix}+\mathrm r\cdot\begin{pmatrix}1\\-1\\3\end{pmatrix}$  und  $\mathrm E:\;\overrightarrow{\mathrm x}=\begin{pmatrix}-3\\1\\1\end{pmatrix}+\mathrm r\cdot\begin{pmatrix}1\\-2\\-1\end{pmatrix}+\mathrm s\cdot\begin{pmatrix}0\\-1\\2\end{pmatrix}$

Bestimme zuerst den Normalenvektor der Ebene mit dem Kreuzprodukt:

$\begin{pmatrix}1\\-2\\-1\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}0\\-1\\2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-5\\-2\\-1\end{pmatrix}$

Bestimme den Schnittwinkel zwischen dem Normalenvektor

der Ebene und dem Richtungsvektor der Geraden mithilfe des

Skalarprodukts und des Betrags der Vektoren.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl}\cos\;(\varphi) &=& \dfrac{\overrightarrow{\mathrm a}\circ\overrightarrow{\mathrm b}}{\left|\overrightarrow{\mathrm a}\right|\cdot\left|\overrightarrow{\mathrm b}\right|}\ =\ \frac{\begin{pmatrix}1\\-1\\3\end{pmatrix}\circ\begin{pmatrix}-5\\-2\\-1\end{pmatrix}}{\left|\begin{pmatrix}1\\-1\\3\end{pmatrix}\right|\cdot\left|\begin{pmatrix}-5\\-2\\-1\end{pmatrix}\right|} \\ \\ &=& \dfrac{1\cdot(-5)+(-1)\cdot(-2)+3\cdot(-1)}{\sqrt{1^2+(-1)^2+3^2}\cdot\sqrt{(-5)^2+(-2)^2+(-1)^2}} \\ \\ &=& \dfrac{-5+2-3}{\sqrt{1+1+9}\cdot\sqrt{25+4+1}} \\ \\ &=& \dfrac{-6}{\sqrt{11}\cdot\sqrt{30}}\ =\ \dfrac{-6}{\sqrt{330}} \end{array}$

Verwende die Umkehrfunktion des Cosinus um den Winkel $\varphi$ zu bestimmen.

$\mathrm{\varphi}=\mathrm{\arccos}\left(\dfrac{-6}{\sqrt{330}}\right)= 109.3^\circ$

Berechne nun den gesuchten Schnittwinkel mit  $\mathrm\alpha=90^\circ-\mathrm\varphi$ .

$\mathrm\alpha=90.00^\circ-109.3^\circ= -19.3^\circ$

Der eingeschlossene Winkel beträgt also $19.3^\circ$. Die Negativität des Ergebnisses oben folgt nur aus der speziellen Wahl der Richtungsvektoren.

$\mathrm g:\;\overrightarrow{\mathrm x}=\begin{pmatrix}1\\3\\2\end{pmatrix}+\mathrm r\cdot\begin{pmatrix}2\\1\\0\end{pmatrix}$  und  $\mathrm E:\;{\mathrm x}_1+{\mathrm x}_2+2\cdot{\mathrm x}_3-11\;=0$

Bestimme den Schnittwinkel zwischen dem Normalenvektor

der Ebene und dem Richtungsvektor der Geraden mithilfe des

Skalarprodukts und des Betrags der Vektoren.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl}\cos\;(\varphi) &=& \dfrac{\overrightarrow{\mathrm a}\circ\overrightarrow{\mathrm b}}{\left|\overrightarrow{\mathrm a}\right|\cdot\left|\overrightarrow{\mathrm b}\right|}\ =\ \frac{\begin{pmatrix}2\\1\\0\end{pmatrix}\circ\begin{pmatrix}1\\1\\2\end{pmatrix}}{\left|\begin{pmatrix}2\\1\\0\end{pmatrix}\right|\cdot\left|\begin{pmatrix}1\\1\\2\end{pmatrix}\right|} \\ \\ &=& \dfrac{2\cdot1+1\cdot1+0\cdot2}{\sqrt{2^2+1^2+0^2}\cdot\sqrt{1^2+1^2+2^2}} \\ \\ &=& \dfrac{2+1}{\sqrt{4+1+0}\cdot\sqrt{1+1+4}} \\ \\ &=& \dfrac3{\sqrt5\cdot\sqrt6}\ =\ \dfrac3{\sqrt{30}} \end{array}$

Verwende die Umkehrfunktion des Cosinus um den Winkel $\varphi$ zu bestimmen.

$\mathrm{\varphi}=\mathrm{\arccos}\left(\dfrac{3}{\sqrt{30}}\right)= 56.79^\circ$

Berechne nun den gesuchten Schnittwinkel mit  $\mathrm\alpha=90^\circ-\mathrm\varphi$ .

$\mathrm\alpha=90.00^\circ-56.79^\circ=33.21^\circ$

$\mathrm g:\;\overrightarrow{\mathrm x}=\begin{pmatrix}2\\3\\-1\end{pmatrix}+\mathrm r\cdot\begin{pmatrix}2\\-3\\1\end{pmatrix}$  und  $\mathrm E:\;\begin{pmatrix}3\\4\\-2\end{pmatrix}\circ\overrightarrow{\mathrm x}-4\;=0$

Bestimme den Schnittwinkel zwischen dem Normalenvektor

der Ebene und dem Richtungsvektor der Geraden mithilfe des

Skalarprodukts und des Betrags der Vektoren.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl}\cos\;(\varphi) &=& \dfrac{\overrightarrow{\mathrm a}\circ\overrightarrow{\mathrm b}}{\left|\overrightarrow{\mathrm a}\right|\cdot\left|\overrightarrow{\mathrm b}\right|}\ =\ \frac{\begin{pmatrix}2\\-3\\1\end{pmatrix}\circ\begin{pmatrix}3\\4\\-2\end{pmatrix}}{\left|\begin{pmatrix}2\\-3\\1\end{pmatrix}\right|\cdot\left|\begin{pmatrix}3\\4\\-2\end{pmatrix}\right|} \\ \\ &=& \dfrac{2\cdot3+(-3)\cdot4+1\cdot(-2)}{\sqrt{2^2+(-3)^2+1^2}\cdot\sqrt{3^2+4^2+(-2)^2}} \\ \\ &=& \dfrac{6-12-2}{\sqrt{4+9+1}\cdot\sqrt{9+16+4}} \\ \\ &=& \dfrac{-8}{\sqrt{14}\cdot\sqrt{29}}\ =\ \dfrac{-8}{\sqrt{406}} \end{array}$

Verwende die Umkehrfunktion des Cosinus um den Winkel $\varphi$ zu bestimmen.

$\mathrm{\varphi}=\mathrm{\arccos}\left(\dfrac{-8}{\sqrt{406}}\right)= 113.4^\circ$

Berechne nun den gesuchten Schnittwinkel mit  $\mathrm\alpha=90^\circ-\mathrm\varphi$ .

$\mathrm\alpha=90.00^\circ-113.4^\circ= -23.4^\circ$

Der eingeschlossene Winkel beträgt also $23.4^\circ$. Die Negativität des Ergebnisses oben folgt nur aus der speziellen Wahl der Richtungsvektoren.

$\mathrm g:\;\overrightarrow{\mathrm x}=\begin{pmatrix}5\\-1\\3\end{pmatrix}+\mathrm r\cdot\begin{pmatrix}7\\-2\\1\end{pmatrix}$  und  $\mathrm E:\;{\mathrm x}_1-4\cdot{\mathrm x}_3-5=0$

Bestimme den Schnittwinkel zwischen dem Normalenvektor

der Ebene und dem Richtungsvektor der Geraden mithilfe des

Skalarprodukts und des Betrags der Vektoren.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl}\cos\;(\varphi) &=& \dfrac{\overrightarrow{\mathrm a}\circ\overrightarrow{\mathrm b}}{\left|\overrightarrow{\mathrm a}\right|\cdot\left|\overrightarrow{\mathrm b}\right|}\ =\ \frac{\begin{pmatrix}7\\-2\\1\end{pmatrix}\circ\begin{pmatrix}1\\0\\-4\end{pmatrix}}{\left|\begin{pmatrix}7\\-2\\1\end{pmatrix}\right|\cdot\left|\begin{pmatrix}1\\0\\-4\end{pmatrix}\right|} \\ \\ &=& \dfrac{7\cdot1+(-2)\cdot0+1\cdot(-4)}{\sqrt{7^2+(-2)^2+1^2}\cdot\sqrt{1^2+0^2+(-4)^2}} \\ \\ &=& \dfrac{7-4}{\sqrt{49+4+1}\cdot\sqrt{1+16}} \\ \\ &=& \dfrac3{\sqrt{54}\cdot\sqrt{17}}\ =\ \dfrac1{\sqrt{102}} \end{array}$

Verwende die Umkehrfunktion des Cosinus um den Winkel $\varphi$ zu bestimmen.

$\mathrm{\varphi}=\mathrm{\arccos}\left(\dfrac{1}{\sqrt{102}}\right)= 84.32^\circ$

Berechne nun den gesuchten Schnittwinkel mit  $\mathrm\alpha=90^\circ-\mathrm\varphi$ .

$\mathrm\alpha=90.00^\circ-84.32^\circ= 5.68^\circ$