Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Schnittwinkel in der analytischen Geometrie
Für die Berechnung des Schnittwinkels der beiden Ebenen gilt folgende Formel:
c o s α = ∣ n 1 → ∘ n 2 → ∣ ∣ n 1 → ∣ ⋅ ∣ n 2 → ∣ {\mathbf{cos}\;\mathbf\alpha\;\boldsymbol=\;\frac{\left|\overset{\boldsymbol\rightarrow}{\mathbf n_1}\;\boldsymbol\circ\;\overset{\boldsymbol\rightarrow}{\mathbf n_2}\right|}{\left|\overset{\boldsymbol\rightarrow}{\mathbf n_1}\right|\boldsymbol\cdot\left|\overset{\boldsymbol\rightarrow}{\mathbf n_2}\right|}} cos α = n 1 → ⋅ n 2 → n 1 → ∘ n 2 →
Du benötigst also von den Ebenen die Normalenvektoren und deren Beträge .
Die Ebene E 1 E_1 E 1 Parameterform vor. Der Normalenvektor der Ebene E 1 E_1 E 1
Dazu gibt es zwei Möglichkeiten:
Berechnung des Normalenvektors über das Vektorprodukt der beiden Richtungsvektoren.
Der Normalenvektor steht senkrecht auf den beiden Richtungsvektoren . Das Skalarprodukt zwischen dem Normalenvektor und jedem Richtungsvektor ist gleich null.
Möglichkeit 1 n ⃗ E 1 = ( 2 1 0 ) × ( 0 1 − 1 ) = ( 1 ⋅ ( − 1 ) − 0 ⋅ 1 0 ⋅ 0 − 2 ⋅ ( − 1 ) 2 ⋅ 1 − 1 ⋅ 0 ) = ( − 1 2 2 ) \vec n_{E_1}=\begin{pmatrix}2\\1\\0\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix}0\\1\\-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\cdot (-1)-0\cdot 1\\0\cdot 0-2\cdot (-1)\\2\cdot 1-1\cdot 0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1\\2\\2\end{pmatrix} n E 1 = 2 1 0 × 0 1 − 1 = 1 ⋅ ( − 1 ) − 0 ⋅ 1 0 ⋅ 0 − 2 ⋅ ( − 1 ) 2 ⋅ 1 − 1 ⋅ 0 = − 1 2 2
Möglichkeit 2 ( 2 1 0 ) ∘ ( n 1 n 2 n 3 ) = 0 \begin{pmatrix}2\\1\\0\end{pmatrix}\circ\begin{pmatrix}n_1\\n_2\\n_3\end{pmatrix}=0 2 1 0 ∘ n 1 n 2 n 3 = 0 ( 0 1 − 1 ) ∘ ( n 1 n 2 n 3 ) = 0 \begin{pmatrix}0\\1\\-1\end{pmatrix}\circ\begin{pmatrix}n_1\\n_2\\n_3\end{pmatrix}=0 0 1 − 1 ∘ n 1 n 2 n 3 = 0
Wird jeweils das Skalarprodukt berechnet, so erhältst du zwei Gleichungen.
( I ) : 2 ⋅ n 1 + 1 ⋅ n 2 + 0 ⋅ n 3 = 0 und ( I I ) : 0 ⋅ n 1 + 1 ⋅ n 2 + ( − 1 ) ⋅ n 3 = 0 \def\arraystretch{1.25} \begin{array}{cccccccl}
\;\mathrm{(I)}:\;\;\;2\cdot n_1 & + & 1\cdot n_2 & + & 0\cdot n_3 & = & 0 & \text{und}\\\mathrm{(II)}:\;\;\; 0\cdot n_1 & + &
1\cdot n_2 & + &(-1)\cdot n_3 &=& 0\end{array} ( I ) : 2 ⋅ n 1 ( II ) : 0 ⋅ n 1 + + 1 ⋅ n 2 1 ⋅ n 2 + + 0 ⋅ n 3 ( − 1 ) ⋅ n 3 = = 0 0 und
Aus Gleichung ( I I ) \mathrm{(II)} ( II ) n 2 = n 3 n_2=n_3 n 2 = n 3
Bei zwei Gleichungen mit drei Unbekannten ist eine Variable frei wählbar.
Setze z.B. n 3 = 2 n_3=2 n 3 = 2 n 2 n_2 n 2 2 2 2
Mit Gleichung ( I ) \mathrm{(I)} ( I ) 2 ⋅ n 1 + 1 ⋅ 2 + 0 ⋅ 2 = 0 ⇒ n 1 = − 1 2\cdot n_1+1\cdot 2+0\cdot 2=0\;\Rightarrow\;n_1=-1 2 ⋅ n 1 + 1 ⋅ 2 + 0 ⋅ 2 = 0 ⇒ n 1 = − 1
Damit ist n ⃗ E 1 = ( − 1 2 2 ) \vec n_{E_1}=\begin{pmatrix}-1\\2\\2\end{pmatrix}
n E 1 = − 1 2 2
Der Normalenvektor der Ebene E 2 E_2 E 2
n ⃗ E 2 = ( 1 0 − 1 ) \vec n_{E_2}=\begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix} n E 2 = 1 0 − 1
Berechne nun die Beträge der beiden Normalenvektoren.
∣ n ⃗ E 1 ∣ = ( − 1 ) 2 + 2 2 + 2 2 = 9 = 3 |\vec{n}_{E_1}|=\sqrt{(-1)^2+2^2+2^2}=\sqrt{9}=3 ∣ n E 1 ∣ = ( − 1 ) 2 + 2 2 + 2 2 = 9 = 3
∣ n ⃗ E 2 ∣ = 1 2 + 0 2 + ( − 1 ) 2 = 2 |\vec{n}_{E_2}|=\sqrt{1^2+0^2+(-1)^2}=\sqrt{2} ∣ n E 2 ∣ = 1 2 + 0 2 + ( − 1 ) 2 = 2
Setze in die Formel für die Winkelberechnung ein:
c o s α \displaystyle \mathbf{cos}\;\mathbf\alpha\; cos α = = = ∣ n 1 → ∘ n 2 → ∣ ∣ n 1 → ∣ ⋅ ∣ n 2 → ∣ \displaystyle \frac{\left|\overset{\boldsymbol\rightarrow}{\mathbf n_1}\;\boldsymbol\circ\;\overset{\boldsymbol\rightarrow}{\mathbf n_2}\right|}{\left|\overset{\boldsymbol\rightarrow}{\mathbf n_1}\right|\boldsymbol\cdot\left|\overset{\boldsymbol\rightarrow}{\mathbf n_2}\right|} n 1 → ⋅ n 2 → n 1 → ∘ n 2 → ↓ Setze die berechneten Werte ein.
= = = ∣ ( − 1 2 2 ) ∘ ( 1 0 − 1 ) ∣ 3 ⋅ 2 \displaystyle \dfrac{\left|\begin{pmatrix}-1\\2\\2\end{pmatrix}\circ\begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix}\right|}{3\cdot\sqrt{2}} 3 ⋅ 2 − 1 2 2 ∘ 1 0 − 1 ↓ Berechne das Skalarprodukt.
= = = ∣ ( − 1 ) ⋅ 1 + 2 ⋅ 0 + 2 ⋅ ( − 1 ) ∣ 3 ⋅ 2 \displaystyle \dfrac{\left|(-1)\cdot1+2\cdot 0+2\cdot (-1)\right|}{3\cdot\sqrt{2}} 3 ⋅ 2 ∣ ( − 1 ) ⋅ 1 + 2 ⋅ 0 + 2 ⋅ ( − 1 ) ∣ ↓ Berechne die Produkte und fasse zusammen.
= = = ∣ − 3 ∣ 3 ⋅ 2 \displaystyle \dfrac{\left|-3\right|}{3\cdot\sqrt{2}} 3 ⋅ 2 ∣ − 3 ∣ ↓ Berechne den Betrag.
= = = 3 3 ⋅ 2 \displaystyle \dfrac{3}{3\cdot\sqrt{2}} 3 ⋅ 2 3 ↓ Kürze mit 3.
= = = 1 2 \displaystyle \dfrac{1}{\sqrt{2}} 2 1
Du hast die Gleichung c o s α = 1 2 \mathbf{cos}\;\mathbf\alpha\;=\dfrac{1}{\sqrt{2}} cos α = 2 1
Durch Anwendung der Umkehrfunktion des Kosinus kannst du den Winkel α \alpha α cos − 1 ( x ) \cos^{-1}(x) cos − 1 ( x )
α = arccos ( 1 2 ) = 4 5 ∘ \alpha=\arccos\left(\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)=45^\circ α = arccos ( 2 1 ) = 4 5 ∘
Antwort: Der Schnittwinkel α \alpha α 4 5 ∘ 45^\circ 4 5 ∘
Zusätzliche graphische Darstellung, die in der Aufgabenstellung nicht gefordert ist 
