Aufgaben zum Schnittwinkel von Geraden und Ebenen

Welchen Winkel schließen die Ebenen

$E_1:\;\vec X=\begin{pmatrix}3\\0\\0\end{pmatrix}+r\cdot \begin{pmatrix}2\\1\\0\end{pmatrix}+ s \cdot \begin{pmatrix}0\\1\\-1\end{pmatrix}$ und $E_2:\; x_1-x_3=3$ ein?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Schnittwinkel in der analytischen Geometrie

Für die Berechnung des Schnittwinkels der beiden Ebenen gilt folgende Formel:

${\mathbf{cos}\;\mathbf\alpha\;\boldsymbol=\;\frac{\left|\overset{\boldsymbol\rightarrow}{\mathbf n_1}\;\boldsymbol\circ\;\overset{\boldsymbol\rightarrow}{\mathbf n_2}\right|}{\left|\overset{\boldsymbol\rightarrow}{\mathbf n_1}\right|\boldsymbol\cdot\left|\overset{\boldsymbol\rightarrow}{\mathbf n_2}\right|}}$

Du benötigst also von den Ebenen die Normalenvektoren und deren Beträge.

Die Ebene $E_{1}$ liegt in der Parameterform vor. Der Normalenvektor der Ebene $E_{1}$ muss also berechnet werden.

Dazu gibt es zwei Möglichkeiten:

Berechnung des Normalenvektors über das Vektorprodukt der beiden Richtungsvektoren.
Der Normalenvektor steht senkrecht auf den beiden Richtungsvektoren. Das Skalarprodukt zwischen dem Normalenvektor und jedem Richtungsvektor ist gleich null.

Möglichkeit 1

$\vec n_{E_1}=\begin{pmatrix}2\\1\\0\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix}0\\1\\-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\cdot (-1)-0\cdot 1\\0\cdot 0-2\cdot (-1)\\2\cdot 1-1\cdot 0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1\\2\\2\end{pmatrix}$

Möglichkeit 2

$\begin{pmatrix}2\\1\\0\end{pmatrix}\circ\begin{pmatrix}n_1\\n_2\\n_3\end{pmatrix}=0$ und $\begin{pmatrix}0\\1\\-1\end{pmatrix}\circ\begin{pmatrix}n_1\\n_2\\n_3\end{pmatrix}=0$

Wird jeweils das Skalarprodukt berechnet, so erhältst du zwei Gleichungen.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{cccccccl} \;\mathrm{(I)}:\;\;\;2\cdot n_1 & + & 1\cdot n_2 & + & 0\cdot n_3 & = & 0 & \text{und}\\\mathrm{(II)}:\;\;\; 0\cdot n_1 & + & 1\cdot n_2 & + &(-1)\cdot n_3 &=& 0\end{array}$

Aus Gleichung $\mathrm{(II)}$ folgt $n_{2} = n_{3}$

Bei zwei Gleichungen mit drei Unbekannten ist eine Variable frei wählbar.

Setze z.B. $n_{3} = 2$ . Dann ist $n_{2}$ auch gleich $2$ .

Mit Gleichung $\mathrm{(I)}$ folgt dann: $2\cdot n_1+1\cdot 2+0\cdot 2=0\;\Rightarrow\;n_1=-1$

Damit ist $\vec n_{E_1}=\begin{pmatrix}-1\\2\\2\end{pmatrix}$ .

Der Normalenvektor der Ebene $E_{2}$ kann abgelesen werden.

$\vec n_{E_2}=\begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix}$

Berechne nun die Beträge der beiden Normalenvektoren.

$|\vec{n}_{E_1}|=\sqrt{(-1)^2+2^2+2^2}=\sqrt{9}=3$

$|\vec{n}_{E_2}|=\sqrt{1^2+0^2+(-1)^2}=\sqrt{2}$

Setze in die Formel für die Winkelberechnung ein:

$\displaystyle \mathbf{cos}\;\mathbf\alpha\;$	$=$	$\displaystyle \frac{\left\|\overset{\boldsymbol\rightarrow}{\mathbf n_1}\;\boldsymbol\circ\;\overset{\boldsymbol\rightarrow}{\mathbf n_2}\right\|}{\left\|\overset{\boldsymbol\rightarrow}{\mathbf n_1}\right\|\boldsymbol\cdot\left\|\overset{\boldsymbol\rightarrow}{\mathbf n_2}\right\|}$
	↓	Setze die berechneten Werte ein.
	$=$	$\displaystyle \dfrac{\left\|\begin{pmatrix}-1\\2\\2\end{pmatrix}\circ\begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix}\right\|}{3\cdot\sqrt{2}}$
	↓	Berechne das Skalarprodukt.
	$=$	$\displaystyle \dfrac{\left\|(-1)\cdot1+2\cdot 0+2\cdot (-1)\right\|}{3\cdot\sqrt{2}}$
	↓	Berechne die Produkte und fasse zusammen.
	$=$	$\displaystyle \dfrac{\left\|-3\right\|}{3\cdot\sqrt{2}}$
	↓	Berechne den Betrag.
	$=$	$\displaystyle \dfrac{3}{3\cdot\sqrt{2}}$
	↓	Kürze mit 3.
	$=$	$\displaystyle \dfrac{1}{\sqrt{2}}$

Du hast die Gleichung $\mathbf{cos}\;\mathbf\alpha\;=\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ erhalten.

Durch Anwendung der Umkehrfunktion des Kosinus kannst du den Winkel $\alpha$ berechnen. Benutze auf dem Taschenrechner die Funktion $\cos^{-1}(x)$ .

$\alpha=\arccos\left(\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)=45^\circ$

Antwort: Der Schnittwinkel $\alpha$ zwischen den beiden Ebenen beträgt $45^\circ$ .

Zusätzliche graphische Darstellung, die in der Aufgabenstellung nicht gefordert ist

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