Aufgaben zum Schnittwinkel von Geraden und Ebenen

Welchen Winkel schließen die Ebenen

$E_{1} : \vec{X} = (\begin{array}{c} 3 \\ 0 \\ 0 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ 0 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ - 1 \end{array})$ und $E_{2} : x_{1} - x_{3} = 3$ ein?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Schnittwinkel in der analytischen Geometrie

Für die Berechnung des Schnittwinkels der beiden Ebenen gilt folgende Formel:

$𝐜 𝐨 𝐬 𝛂 = \frac{| \vec{𝐧_{1}} \circ \vec{𝐧_{2}} |}{| \vec{𝐧_{1}} | \cdot | \vec{𝐧_{2}} |}$

Du benötigst also von den Ebenen die Normalenvektoren und deren Beträge.

Die Ebene $E_{1}$ liegt in der Parameterform vor. Der Normalenvektor der Ebene $E_{1}$ muss also berechnet werden.

Dazu gibt es zwei Möglichkeiten:

Berechnung des Normalenvektors über das Vektorprodukt der beiden Richtungsvektoren.
Der Normalenvektor steht senkrecht auf den beiden Richtungsvektoren. Das Skalarprodukt zwischen dem Normalenvektor und jedem Richtungsvektor ist gleich null.

Möglichkeit 1

${\vec{n}}_{E_{1}} = (\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ 0 \end{array}) \times (\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ - 1 \end{array}) = (\begin{array}{c} 1 \cdot (- 1) - 0 \cdot 1 \\ 0 \cdot 0 - 2 \cdot (- 1) \\ 2 \cdot 1 - 1 \cdot 0 \end{array}) = (\begin{array}{c} - 1 \\ 2 \\ 2 \end{array})$

Möglichkeit 2

$(\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ 0 \end{array}) \circ (\begin{array}{c} n_{1} \\ n_{2} \\ n_{3} \end{array}) = 0$ und $(\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ - 1 \end{array}) \circ (\begin{array}{c} n_{1} \\ n_{2} \\ n_{3} \end{array}) = 0$

Wird jeweils das Skalarprodukt berechnet, so erhältst du zwei Gleichungen.

$\begin{array}{cccccccl} (I) : 2 \cdot n_{1} & + & 1 \cdot n_{2} & + & 0 \cdot n_{3} & = & 0 & und \\ (I I) : 0 \cdot n_{1} & + & 1 \cdot n_{2} & + & (- 1) \cdot n_{3} & = & 0 \end{array}$

Aus Gleichung $(I I)$ folgt $n_{2} = n_{3}$

Bei zwei Gleichungen mit drei Unbekannten ist eine Variable frei wählbar.

Setze z.B. $n_{3} = 2$ . Dann ist $n_{2}$ auch gleich $2$ .

Mit Gleichung $(I)$ folgt dann: $2 \cdot n_{1} + 1 \cdot 2 + 0 \cdot 2 = 0 \Rightarrow n_{1} = - 1$

Damit ist ${\vec{n}}_{E_{1}} = (\begin{array}{c} - 1 \\ 2 \\ 2 \end{array})$ .

Der Normalenvektor der Ebene $E_{2}$ kann abgelesen werden.

${\vec{n}}_{E_{2}} = (\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ - 1 \end{array})$

Berechne nun die Beträge der beiden Normalenvektoren.

$| {\vec{n}}_{E_{1}} | = \sqrt{(- 1)^{2} + 2^{2} + 2^{2}} = \sqrt{9} = 3$

$| {\vec{n}}_{E_{2}} | = \sqrt{1^{2} + 0^{2} + (- 1)^{2}} = \sqrt{2}$

Setze in die Formel für die Winkelberechnung ein:

$𝐜 𝐨 𝐬 𝛂$	$=$	$\frac{\| \vec{𝐧_{1}} \circ \vec{𝐧_{2}} \|}{\| \vec{𝐧_{1}} \| \cdot \| \vec{𝐧_{2}} \|}$
	↓	Setze die berechneten Werte ein.
	$=$	$\frac{\| (\begin{array}{c} - 1 \\ 2 \\ 2 \end{array}) \circ (\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ - 1 \end{array}) \|}{3 \cdot \sqrt{2}}$
	↓	Berechne das Skalarprodukt.
	$=$	$\frac{\| (- 1) \cdot 1 + 2 \cdot 0 + 2 \cdot (- 1) \|}{3 \cdot \sqrt{2}}$
	↓	Berechne die Produkte und fasse zusammen.
	$=$	$\frac{\| - 3 \|}{3 \cdot \sqrt{2}}$
	↓	Berechne den Betrag.
	$=$	$\frac{3}{3 \cdot \sqrt{2}}$
	↓	Kürze mit 3.
	$=$	$\frac{1}{\sqrt{2}}$

Du hast die Gleichung $𝐜 𝐨 𝐬 𝛂 = \frac{1}{\sqrt{2}}$ erhalten.

Durch Anwendung der Umkehrfunktion des Kosinus kannst du den Winkel $α$ berechnen. Benutze auf dem Taschenrechner die Funktion $\cos^{- 1} (x)$ .

$α = \arccos (\frac{1}{\sqrt{2}}) = 45^{\circ}$

Antwort: Der Schnittwinkel $α$ zwischen den beiden Ebenen beträgt $45^{\circ}$ .

Zusätzliche graphische Darstellung, die in der Aufgabenstellung nicht gefordert ist

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