$\mathrm{g}:\overrightarrow{\mathrm{x}}=\left(\begin{array}{c}-1\\ 2\\ 1\end{array}\right)+\mathrm{r}\cdot \left(\begin{array}{c}2\\ -1\\ -2\end{array}\right)$  und  $\mathrm{E}:\left(\begin{array}{c}2\\ -3\\ 1\end{array}\right)\circ [\overrightarrow{\mathrm{x}}-\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 1\end{array}\right)]=0$

Bestimme den Schnittwinkel zwischen dem Normalenvektor

der Ebene und dem Richtungsvektor der Geraden mithilfe des

Skalarprodukts und des Betrags der Vektoren.

$\begin{array}{}\end{array}$$\begin{array}{rcl}\cos (\phi )& =& {\displaystyle \frac{\overrightarrow{\mathrm{a}}\circ \overrightarrow{\mathrm{b}}}{\left|\overrightarrow{\mathrm{a}}\right|\cdot \left|\overrightarrow{\mathrm{b}}\right|}}=\frac{\left(\begin{array}{c}2\\ -1\\ -2\end{array}\right)\circ \left(\begin{array}{c}2\\ -3\\ 1\end{array}\right)}{\left|\left(\begin{array}{c}2\\ -1\\ -2\end{array}\right)\right|\cdot \left|\left(\begin{array}{c}2\\ -3\\ 1\end{array}\right)\right|}\\ & & \\ & =& {\displaystyle \frac{2\cdot 2+(-1)\cdot (-3)+(-2)\cdot 1}{\sqrt{2^2+(-1{)}^2+(-2{)}^2}\cdot \sqrt{2^2+(-3{)}^2+1^2}}}\\ & & \\ & =& {\displaystyle \frac{4+3-2}{\sqrt{4+1+4}\cdot \sqrt{4+9+1}}}\\ & & \\ & =& {\displaystyle \frac{5}{\sqrt{9}\cdot \sqrt{14}}}={\displaystyle \frac{5}{3\cdot \sqrt{14}}}\end{array}$

Verwende jetzt die Umkehrfunktion des Cosinus um den Winkel $\phi$ zu bestimmen.

$\mathrm{\phi }=\arccos \left({\displaystyle \frac{5}{3\cdot \sqrt{14}}}\right)={63.55}^{\circ }$

Berechne nun den gesuchten Schnittwinkel mit $\mathrm{\alpha }={90}^{\circ }-\mathrm{\phi }$ .

$\mathrm{\alpha }={90.00}^{\circ }-{63.55}^{\circ }={26.45}^{\circ }$

$\mathrm{g}:\overrightarrow{\mathrm{x}}=\left(\begin{array}{c}2\\ 2\\ 1\end{array}\right)+\mathrm{r}\cdot \left(\begin{array}{c}1\\ -1\\ 1\end{array}\right)$  und  $\mathrm{E}:\overrightarrow{\mathrm{x}}=\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 5\end{array}\right)+\mathrm{r}\cdot \left(\begin{array}{c}2\\ 0\\ 1\end{array}\right)+\mathrm{s}\cdot \left(\begin{array}{c}-1\\ -1\\ 3\end{array}\right)$

Bestimme zuerst den Normalenvektor der Ebene mit dem Kreuzprodukt:

$\left(\begin{array}{c}2\\ 0\\ 1\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-1\\ -1\\ 3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1\\ -7\\ -2\end{array}\right)$

Bestimme jetzt den Schnittwinkel zwischen dem Normalenvektor

der Ebene und dem Richtungsvektor der Geraden mithilfe des

Skalarprodukts und der Beträge der Vektoren.

$\begin{array}{rcl}\cos (\phi )& =& {\displaystyle \frac{\overrightarrow{\mathrm{a}}\circ \overrightarrow{\mathrm{b}}}{\left|\overrightarrow{\mathrm{a}}\right|\cdot \left|\overrightarrow{\mathrm{b}}\right|}}=\frac{\left(\begin{array}{c}1\\ -7\\ -2\end{array}\right)\circ \left(\begin{array}{c}1\\ -1\\ 1\end{array}\right)}{\left|\left(\begin{array}{c}1\\ -7\\ -2\end{array}\right)\right|\cdot \left|\left(\begin{array}{c}1\\ -1\\ 1\end{array}\right)\right|}\\ & & \\ & =& {\displaystyle \frac{1\cdot 1+(-7)\cdot (-1)+(-2)\cdot 1}{\sqrt{1^2+(-7{)}^2+(-2{)}^2}\cdot \sqrt{1^2+(-1{)}^2+1^2}}}\\ & & \\ & =& {\displaystyle \frac{1+7-2}{\sqrt{1+49+4}\cdot \sqrt{1+1+1}}}\\ & & \\ & =& {\displaystyle \frac{6}{\sqrt{54}\cdot \sqrt{3}}}={\displaystyle \frac{6}{3\cdot \sqrt{18}}}\end{array}$

Verwende die Umkehrfunktion des Cosinus um den Winkel $\phi$ zu bestimmen.

$\mathrm{\phi }=\arccos \left({\displaystyle \frac{5}{3\cdot \sqrt{14}}}\right)={61.87}^{\circ }$

Berechne nun den gesuchten Schnittwinkel mit  $\mathrm{\alpha }={90}^{\circ }-\mathrm{\phi }$.

$\mathrm{\alpha }={90.00}^{\circ }-{61.87}^{\circ }={28.13}^{\circ }$

$\mathrm{g}:\overrightarrow{\mathrm{x}}=\left(\begin{array}{c}-9\\ -4\\ 20\end{array}\right)+\mathrm{r}\cdot \left(\begin{array}{c}4\\ 0\\ -6\end{array}\right)$  und  $\mathrm{E}:\left(\begin{array}{c}3\\ 1\\ -1\end{array}\right)\circ \overrightarrow{\mathrm{x}}+6=0$

Bestimme den Schnittwinkel zwischen dem Normalenvektor

der Ebene und dem Richtungsvektor der Geraden mithilfe des

Skalarprodukts und des Betrags der Vektoren.

$\begin{array}{rcl}\cos (\phi )& =& {\displaystyle \frac{\overrightarrow{\mathrm{a}}\circ \overrightarrow{\mathrm{b}}}{\left|\overrightarrow{\mathrm{a}}\right|\cdot \left|\overrightarrow{\mathrm{b}}\right|}}=\frac{\left(\begin{array}{c}4\\ 0\\ -6\end{array}\right)\circ \left(\begin{array}{c}3\\ 1\\ -1\end{array}\right)}{\left|\left(\begin{array}{c}4\\ 0\\ -6\end{array}\right)\right|\cdot \left|\left(\begin{array}{c}3\\ 1\\ -1\end{array}\right)\right|}\\ & & \\ & =& {\displaystyle \frac{4\cdot 3+0\cdot 1+(-6)\cdot (-1)}{\sqrt{4^2+0^2+(-6{)}^2}\cdot \sqrt{3^2+1^2+(-1{)}^2}}}\\ & & \\ & =& {\displaystyle \frac{12+6}{\sqrt{16+0+36}\cdot \sqrt{9+1+1}}}\\ & & \\ & =& {\displaystyle \frac{18}{\sqrt{52}\cdot \sqrt{11}}}={\displaystyle \frac{18}{2\cdot \sqrt{143}}}\end{array}$

Verwende die Umkehrfunktion des Cosinus um den Winkel $\phi$ zu bestimmen.

$\mathrm{\phi }=\arccos \left({\displaystyle \frac{18}{2\cdot \sqrt{143}}}\right)={41.18}^{\circ }$

Berechne nun den gesuchten Schnittwinkel mit  $\mathrm{\alpha }={90}^{\circ }-\mathrm{\phi }$ .

$\mathrm{\alpha }={90.00}^{\circ }-{41.18}^{\circ }={48.82}^{\circ }$

$\mathrm{g}:\overrightarrow{\mathrm{x}}=\left(\begin{array}{c}2\\ -3\\ 2\end{array}\right)+\mathrm{r}\cdot \left(\begin{array}{c}1\\ -1\\ 3\end{array}\right)$  und  $\mathrm{E}:\overrightarrow{\mathrm{x}}=\left(\begin{array}{c}-3\\ 1\\ 1\end{array}\right)+\mathrm{r}\cdot \left(\begin{array}{c}1\\ -2\\ -1\end{array}\right)+\mathrm{s}\cdot \left(\begin{array}{c}0\\ -1\\ 2\end{array}\right)$

Bestimme zuerst den Normalenvektor der Ebene mit dem Kreuzprodukt:

$\left(\begin{array}{c}1\\ -2\\ -1\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}0\\ -1\\ 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-5\\ -2\\ -1\end{array}\right)$

Bestimme den Schnittwinkel zwischen dem Normalenvektor

der Ebene und dem Richtungsvektor der Geraden mithilfe des

Skalarprodukts und des Betrags der Vektoren.

$\begin{array}{rcl}\cos (\phi )& =& {\displaystyle \frac{\overrightarrow{\mathrm{a}}\circ \overrightarrow{\mathrm{b}}}{\left|\overrightarrow{\mathrm{a}}\right|\cdot \left|\overrightarrow{\mathrm{b}}\right|}}=\frac{\left(\begin{array}{c}1\\ -1\\ 3\end{array}\right)\circ \left(\begin{array}{c}-5\\ -2\\ -1\end{array}\right)}{\left|\left(\begin{array}{c}1\\ -1\\ 3\end{array}\right)\right|\cdot \left|\left(\begin{array}{c}-5\\ -2\\ -1\end{array}\right)\right|}\\ & & \\ & =& {\displaystyle \frac{1\cdot (-5)+(-1)\cdot (-2)+3\cdot (-1)}{\sqrt{1^2+(-1{)}^2+3^2}\cdot \sqrt{(-5{)}^2+(-2{)}^2+(-1{)}^2}}}\\ & & \\ & =& {\displaystyle \frac{-5+2-3}{\sqrt{1+1+9}\cdot \sqrt{25+4+1}}}\\ & & \\ & =& {\displaystyle \frac{-6}{\sqrt{11}\cdot \sqrt{30}}}={\displaystyle \frac{-6}{\sqrt{330}}}\end{array}$

Verwende die Umkehrfunktion des Cosinus um den Winkel $\phi$ zu bestimmen.

$\mathrm{\phi }=\arccos \left({\displaystyle \frac{-6}{\sqrt{330}}}\right)={109.3}^{\circ }$

Berechne nun den gesuchten Schnittwinkel mit  $\mathrm{\alpha }={90}^{\circ }-\mathrm{\phi }$ .

$\mathrm{\alpha }={90.00}^{\circ }-{109.3}^{\circ }=-{19.3}^{\circ }$

Der eingeschlossene Winkel beträgt also ${19.3}^{\circ }$. Die Negativität des Ergebnisses oben folgt nur aus der speziellen Wahl der Richtungsvektoren.

$\mathrm{g}:\overrightarrow{\mathrm{x}}=\left(\begin{array}{c}1\\ 3\\ 2\end{array}\right)+\mathrm{r}\cdot \left(\begin{array}{c}2\\ 1\\ 0\end{array}\right)$  und  $\mathrm{E}:{\mathrm{x}}_1+{\mathrm{x}}_2+2\cdot {\mathrm{x}}_3-11=0$

Bestimme den Schnittwinkel zwischen dem Normalenvektor

der Ebene und dem Richtungsvektor der Geraden mithilfe des

Skalarprodukts und des Betrags der Vektoren.

$\begin{array}{rcl}\cos (\phi )& =& {\displaystyle \frac{\overrightarrow{\mathrm{a}}\circ \overrightarrow{\mathrm{b}}}{\left|\overrightarrow{\mathrm{a}}\right|\cdot \left|\overrightarrow{\mathrm{b}}\right|}}=\frac{\left(\begin{array}{c}2\\ 1\\ 0\end{array}\right)\circ \left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 2\end{array}\right)}{\left|\left(\begin{array}{c}2\\ 1\\ 0\end{array}\right)\right|\cdot \left|\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 2\end{array}\right)\right|}\\ & & \\ & =& {\displaystyle \frac{2\cdot 1+1\cdot 1+0\cdot 2}{\sqrt{2^2+1^2+0^2}\cdot \sqrt{1^2+1^2+2^2}}}\\ & & \\ & =& {\displaystyle \frac{2+1}{\sqrt{4+1+0}\cdot \sqrt{1+1+4}}}\\ & & \\ & =& {\displaystyle \frac{3}{\sqrt{5}\cdot \sqrt{6}}}={\displaystyle \frac{3}{\sqrt{30}}}\end{array}$

Verwende die Umkehrfunktion des Cosinus um den Winkel $\phi$ zu bestimmen.

$\mathrm{\phi }=\arccos \left({\displaystyle \frac{3}{\sqrt{30}}}\right)={56.79}^{\circ }$

Berechne nun den gesuchten Schnittwinkel mit  $\mathrm{\alpha }={90}^{\circ }-\mathrm{\phi }$ .

$\mathrm{\alpha }={90.00}^{\circ }-{56.79}^{\circ }={33.21}^{\circ }$

$\mathrm{g}:\overrightarrow{\mathrm{x}}=\left(\begin{array}{c}2\\ 3\\ -1\end{array}\right)+\mathrm{r}\cdot \left(\begin{array}{c}2\\ -3\\ 1\end{array}\right)$  und  $\mathrm{E}:\left(\begin{array}{c}3\\ 4\\ -2\end{array}\right)\circ \overrightarrow{\mathrm{x}}-4=0$

Bestimme den Schnittwinkel zwischen dem Normalenvektor

der Ebene und dem Richtungsvektor der Geraden mithilfe des

Skalarprodukts und des Betrags der Vektoren.

$\begin{array}{rcl}\cos (\phi )& =& {\displaystyle \frac{\overrightarrow{\mathrm{a}}\circ \overrightarrow{\mathrm{b}}}{\left|\overrightarrow{\mathrm{a}}\right|\cdot \left|\overrightarrow{\mathrm{b}}\right|}}=\frac{\left(\begin{array}{c}2\\ -3\\ 1\end{array}\right)\circ \left(\begin{array}{c}3\\ 4\\ -2\end{array}\right)}{\left|\left(\begin{array}{c}2\\ -3\\ 1\end{array}\right)\right|\cdot \left|\left(\begin{array}{c}3\\ 4\\ -2\end{array}\right)\right|}\\ & & \\ & =& {\displaystyle \frac{2\cdot 3+(-3)\cdot 4+1\cdot (-2)}{\sqrt{2^2+(-3{)}^2+1^2}\cdot \sqrt{3^2+4^2+(-2{)}^2}}}\\ & & \\ & =& {\displaystyle \frac{6-12-2}{\sqrt{4+9+1}\cdot \sqrt{9+16+4}}}\\ & & \\ & =& {\displaystyle \frac{-8}{\sqrt{14}\cdot \sqrt{29}}}={\displaystyle \frac{-8}{\sqrt{406}}}\end{array}$

Verwende die Umkehrfunktion des Cosinus um den Winkel $\phi$ zu bestimmen.

$\mathrm{\phi }=\arccos \left({\displaystyle \frac{-8}{\sqrt{406}}}\right)={113.4}^{\circ }$

Berechne nun den gesuchten Schnittwinkel mit  $\mathrm{\alpha }={90}^{\circ }-\mathrm{\phi }$ .

$\mathrm{\alpha }={90.00}^{\circ }-{113.4}^{\circ }=-{23.4}^{\circ }$

Der eingeschlossene Winkel beträgt also ${23.4}^{\circ }$. Die Negativität des Ergebnisses oben folgt nur aus der speziellen Wahl der Richtungsvektoren.

$\mathrm{g}:\overrightarrow{\mathrm{x}}=\left(\begin{array}{c}5\\ -1\\ 3\end{array}\right)+\mathrm{r}\cdot \left(\begin{array}{c}7\\ -2\\ 1\end{array}\right)$  und  $\mathrm{E}:{\mathrm{x}}_1-4\cdot {\mathrm{x}}_3-5=0$

Bestimme den Schnittwinkel zwischen dem Normalenvektor

der Ebene und dem Richtungsvektor der Geraden mithilfe des

Skalarprodukts und des Betrags der Vektoren.

$\begin{array}{rcl}\cos (\phi )& =& {\displaystyle \frac{\overrightarrow{\mathrm{a}}\circ \overrightarrow{\mathrm{b}}}{\left|\overrightarrow{\mathrm{a}}\right|\cdot \left|\overrightarrow{\mathrm{b}}\right|}}=\frac{\left(\begin{array}{c}7\\ -2\\ 1\end{array}\right)\circ \left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ -4\end{array}\right)}{\left|\left(\begin{array}{c}7\\ -2\\ 1\end{array}\right)\right|\cdot \left|\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ -4\end{array}\right)\right|}\\ & & \\ & =& {\displaystyle \frac{7\cdot 1+(-2)\cdot 0+1\cdot (-4)}{\sqrt{7^2+(-2{)}^2+1^2}\cdot \sqrt{1^2+0^2+(-4{)}^2}}}\\ & & \\ & =& {\displaystyle \frac{7-4}{\sqrt{49+4+1}\cdot \sqrt{1+16}}}\\ & & \\ & =& {\displaystyle \frac{3}{\sqrt{54}\cdot \sqrt{17}}}={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{102}}}\end{array}$

Verwende die Umkehrfunktion des Cosinus um den Winkel $\phi$ zu bestimmen.

$\mathrm{\phi }=\arccos \left({\displaystyle \frac{1}{\sqrt{102}}}\right)={84.32}^{\circ }$

Berechne nun den gesuchten Schnittwinkel mit  $\mathrm{\alpha }={90}^{\circ }-\mathrm{\phi }$ .

$\mathrm{\alpha }={90.00}^{\circ }-{84.32}^{\circ }={5.68}^{\circ }$