Aufgaben zum Schnittwinkel von Geraden und Ebenen

Bestimme den Schnittwinkel zwischen Gerade und Ebene.

$\mathrm g:\;\overrightarrow{\mathrm x}=\begin{pmatrix}-1\\2\\1\end{pmatrix}+\mathrm r\cdot\begin{pmatrix}2\\-1\\-2\end{pmatrix}$ und $\mathrm E:\;\begin{pmatrix}2\\-3\\1\end{pmatrix}\circ\left[\overrightarrow{\mathrm x}-\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}\right]=0$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Schnittwinkel zwischen Gerade und Ebene berechnen
$\mathrm g:\;\overrightarrow{\mathrm x}=\begin{pmatrix}-1\\2\\1\end{pmatrix}+\mathrm r\cdot\begin{pmatrix}2\\-1\\-2\end{pmatrix}$ und $\mathrm E:\;\begin{pmatrix}2\\-3\\1\end{pmatrix}\circ\left[\overrightarrow{\mathrm x}-\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}\right]=0$
Bestimme den Schnittwinkel zwischen dem Normalenvektor
der Ebene und dem Richtungsvektor der Geraden mithilfe des
Skalarprodukts und des Betrags der Vektoren.
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{c} \end{array}$ $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl}\cos\;(\varphi) &=& \dfrac{\overrightarrow{\mathrm a}\circ\overrightarrow{\mathrm b}}{\left|\overrightarrow{\mathrm a}\right|\cdot\left|\overrightarrow{\mathrm b}\right|}\ =\ \frac{\begin{pmatrix}2\\-1\\-2\end{pmatrix}\circ\begin{pmatrix}2\\-3\\1\end{pmatrix}}{\left|\begin{pmatrix}2\\-1\\-2\end{pmatrix}\right|\cdot\left|\begin{pmatrix}2\\-3\\1\end{pmatrix}\right|} \\ \\ &=& \dfrac{2\cdot2+(-1)\cdot(-3)+(-2)\cdot1}{\sqrt{2^2+(-1)^2+(-2)^2}\cdot\sqrt{2^2+(-3)^2+1^2}} \\ \\ &=& \dfrac{4+3-2}{\sqrt{4+1+4}\cdot\sqrt{4+9+1}} \\ \\ &=& \dfrac5{\sqrt9\cdot\sqrt{14}}\ =\ \dfrac5{3\cdot\sqrt{14}} \end{array}$
Verwende jetzt die Umkehrfunktion des Cosinus um den Winkel $\varphi$ zu bestimmen.
$\mathrm\varphi=\mathrm{arccos}\left(\dfrac5{3\cdot\sqrt{14}}\right)\ =\ 63.55^\circ$
Berechne nun den gesuchten Schnittwinkel mit $\mathrm\alpha=90^\circ-\mathrm\varphi$ .
$\mathrm\alpha=90.00^\circ-63.55^\circ=26.45^\circ$
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$\mathrm g:\;\overrightarrow{\mathrm x}=\begin{pmatrix}2\\2\\1\end{pmatrix}+\mathrm r\cdot\begin{pmatrix}1\\-1\\1\end{pmatrix}$ und $\mathrm E:\;\overrightarrow{\mathrm x}=\begin{pmatrix}1\\1\\5\end{pmatrix}+\mathrm r\cdot\begin{pmatrix}2\\0\\1\end{pmatrix}+\mathrm s\cdot\begin{pmatrix}-1\\-1\\3\end{pmatrix}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Schnittwinkel zwischen Gerade und Ebene berechnen
$\mathrm g:\;\overrightarrow{\mathrm x}=\begin{pmatrix}2\\2\\1\end{pmatrix}+\mathrm r\cdot\begin{pmatrix}1\\-1\\1\end{pmatrix}$ und $\mathrm E:\;\overrightarrow{\mathrm x}=\begin{pmatrix}1\\1\\5\end{pmatrix}+\mathrm r\cdot\begin{pmatrix}2\\0\\1\end{pmatrix}+\mathrm s\cdot\begin{pmatrix}-1\\-1\\3\end{pmatrix}$
Bestimme zuerst den Normalenvektor der Ebene mit dem Kreuzprodukt:
$\begin{pmatrix}2\\0\\1\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}-1\\-1\\3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\-7\\-2\end{pmatrix}$
Bestimme jetzt den Schnittwinkel zwischen dem Normalenvektor
der Ebene und dem Richtungsvektor der Geraden mithilfe des
Skalarprodukts und der Beträge der Vektoren.
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl}\cos\;(\varphi) &=& \dfrac{\overrightarrow{\mathrm a}\circ\overrightarrow{\mathrm b}}{\left|\overrightarrow{\mathrm a}\right|\cdot\left|\overrightarrow{\mathrm b}\right|}\ =\ \frac{\begin{pmatrix}1\\-7\\-2\end{pmatrix}\circ\begin{pmatrix}1\\-1\\1\end{pmatrix}}{\left|\begin{pmatrix}1\\-7\\-2\end{pmatrix}\right|\cdot\left|\begin{pmatrix}1\\-1\\1\end{pmatrix}\right|} \\ \\ &=& \dfrac{1\cdot1+(-7)\cdot(-1)+(-2)\cdot1}{\sqrt{1^2+(-7)^2+(-2)^2}\cdot\sqrt{1^2+(-1)^2+1^2}} \\ \\ &=& \dfrac{1+7-2}{\sqrt{1+49+4}\cdot\sqrt{1+1+1}} \\ \\ &=& \dfrac6{\sqrt{54}\cdot\sqrt3}\ =\ \dfrac6{3\cdot\sqrt{18}} \end{array}$
Verwende die Umkehrfunktion des Cosinus um den Winkel $\varphi$ zu bestimmen.
$\mathrm{\varphi}\ =\ \mathrm{\arccos}\left(\dfrac{5}{3\cdot\sqrt{14}}\right)\ =\ 61.87^\circ$
Berechne nun den gesuchten Schnittwinkel mit $\mathrm\alpha=90^\circ-\mathrm\varphi$ .
$\mathrm\alpha=90.00^\circ-61.87^\circ=28.13^\circ$
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$\mathrm g:\;\overrightarrow{\mathrm x}=\begin{pmatrix}-9\\-4\\20\end{pmatrix}+\mathrm r\cdot\begin{pmatrix}4\\0\\-6\end{pmatrix}$ und $\mathrm E:\;\begin{pmatrix}3\\1\\-1\end{pmatrix}\circ\overrightarrow{\mathrm x}+6=0$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Schnittwinkel zwischen Gerade und Ebene berechnen
$\mathrm g:\;\overrightarrow{\mathrm x}=\begin{pmatrix}-9\\-4\\20\end{pmatrix}+\mathrm r\cdot\begin{pmatrix}4\\0\\-6\end{pmatrix}$ und $\mathrm E:\;\begin{pmatrix}3\\1\\-1\end{pmatrix}\circ\overrightarrow{\mathrm x}+6\;=0$
Bestimme den Schnittwinkel zwischen dem Normalenvektor
der Ebene und dem Richtungsvektor der Geraden mithilfe des
Skalarprodukts und des Betrags der Vektoren.
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl}\cos\;(\varphi) &=& \dfrac{\overrightarrow{\mathrm a}\circ\overrightarrow{\mathrm b}}{\left|\overrightarrow{\mathrm a}\right|\cdot\left|\overrightarrow{\mathrm b}\right|}\ =\ \frac{\begin{pmatrix}4\\0\\-6\end{pmatrix}\circ\begin{pmatrix}3\\1\\-1\end{pmatrix}}{\left|\begin{pmatrix}4\\0\\-6\end{pmatrix}\right|\cdot\left|\begin{pmatrix}3\\1\\-1\end{pmatrix}\right|} \\ \\ &=& \dfrac{4\cdot3+0\cdot1+(-6)\cdot(-1)}{\sqrt{4^2+0^2+(-6)^2}\cdot\sqrt{3^2+1^2+(-1)^2}} \\ \\ &=& \dfrac{12+6}{\sqrt{16+0+36}\cdot\sqrt{9+1+1}} \\ \\ &=& \dfrac{18}{\sqrt{52}\cdot\sqrt{11}}\ =\ \dfrac{18}{2\cdot\sqrt{143}} \end{array}$
Verwende die Umkehrfunktion des Cosinus um den Winkel $\varphi$ zu bestimmen.
$\mathrm{\varphi}=\mathrm{\arccos}\left(\dfrac{18}{2\cdot\sqrt{143}}\right)=41.18^\circ$
Berechne nun den gesuchten Schnittwinkel mit $\mathrm\alpha=90^\circ-\mathrm\varphi$ .
$\mathrm\alpha=90.00^\circ-41.18^\circ= 48.82^\circ$
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$\mathrm g:\;\overrightarrow{\mathrm x}=\begin{pmatrix}2\\-3\\2\end{pmatrix}+\mathrm r\cdot\begin{pmatrix}1\\-1\\3\end{pmatrix}$ und $\mathrm E:\;\overrightarrow{\mathrm x}=\begin{pmatrix}-3\\1\\1\end{pmatrix}+\mathrm r\cdot\begin{pmatrix}1\\-2\\-1\end{pmatrix}+\mathrm s\cdot\begin{pmatrix}0\\-1\\2\end{pmatrix}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Schnittwinkel zwischen Gerade und Ebene berechnen
$\mathrm g:\;\overrightarrow{\mathrm x}=\begin{pmatrix}2\\-3\\2\end{pmatrix}+\mathrm r\cdot\begin{pmatrix}1\\-1\\3\end{pmatrix}$ und $\mathrm E:\;\overrightarrow{\mathrm x}=\begin{pmatrix}-3\\1\\1\end{pmatrix}+\mathrm r\cdot\begin{pmatrix}1\\-2\\-1\end{pmatrix}+\mathrm s\cdot\begin{pmatrix}0\\-1\\2\end{pmatrix}$
Bestimme zuerst den Normalenvektor der Ebene mit dem Kreuzprodukt:
$\begin{pmatrix}1\\-2\\-1\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}0\\-1\\2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-5\\-2\\-1\end{pmatrix}$
Bestimme den Schnittwinkel zwischen dem Normalenvektor
der Ebene und dem Richtungsvektor der Geraden mithilfe des
Skalarprodukts und des Betrags der Vektoren.
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl}\cos\;(\varphi) &=& \dfrac{\overrightarrow{\mathrm a}\circ\overrightarrow{\mathrm b}}{\left|\overrightarrow{\mathrm a}\right|\cdot\left|\overrightarrow{\mathrm b}\right|}\ =\ \frac{\begin{pmatrix}1\\-1\\3\end{pmatrix}\circ\begin{pmatrix}-5\\-2\\-1\end{pmatrix}}{\left|\begin{pmatrix}1\\-1\\3\end{pmatrix}\right|\cdot\left|\begin{pmatrix}-5\\-2\\-1\end{pmatrix}\right|} \\ \\ &=& \dfrac{1\cdot(-5)+(-1)\cdot(-2)+3\cdot(-1)}{\sqrt{1^2+(-1)^2+3^2}\cdot\sqrt{(-5)^2+(-2)^2+(-1)^2}} \\ \\ &=& \dfrac{-5+2-3}{\sqrt{1+1+9}\cdot\sqrt{25+4+1}} \\ \\ &=& \dfrac{-6}{\sqrt{11}\cdot\sqrt{30}}\ =\ \dfrac{-6}{\sqrt{330}} \end{array}$
Verwende die Umkehrfunktion des Cosinus um den Winkel $\varphi$ zu bestimmen.
$\mathrm{\varphi}=\mathrm{\arccos}\left(\dfrac{-6}{\sqrt{330}}\right)= 109.3^\circ$
Berechne nun den gesuchten Schnittwinkel mit $\mathrm\alpha=90^\circ-\mathrm\varphi$ .
$\mathrm\alpha=90.00^\circ-109.3^\circ= -19.3^\circ$
Der eingeschlossene Winkel beträgt also $19.3^\circ$ . Die Negativität des Ergebnisses oben folgt nur aus der speziellen Wahl der Richtungsvektoren.
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$\mathrm g:\;\overrightarrow{\mathrm x}=\begin{pmatrix}1\\3\\2\end{pmatrix}+\mathrm r\cdot\begin{pmatrix}2\\1\\0\end{pmatrix}$ und $\mathrm E:\;{\mathrm x}_1+{\mathrm x}_2+2\cdot{\mathrm x}_3-11=0$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Schnittwinkel zwischen Gerade und Ebene berechnen
$\mathrm g:\;\overrightarrow{\mathrm x}=\begin{pmatrix}1\\3\\2\end{pmatrix}+\mathrm r\cdot\begin{pmatrix}2\\1\\0\end{pmatrix}$ und $\mathrm E:\;{\mathrm x}_1+{\mathrm x}_2+2\cdot{\mathrm x}_3-11\;=0$
Bestimme den Schnittwinkel zwischen dem Normalenvektor
der Ebene und dem Richtungsvektor der Geraden mithilfe des
Skalarprodukts und des Betrags der Vektoren.
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl}\cos\;(\varphi) &=& \dfrac{\overrightarrow{\mathrm a}\circ\overrightarrow{\mathrm b}}{\left|\overrightarrow{\mathrm a}\right|\cdot\left|\overrightarrow{\mathrm b}\right|}\ =\ \frac{\begin{pmatrix}2\\1\\0\end{pmatrix}\circ\begin{pmatrix}1\\1\\2\end{pmatrix}}{\left|\begin{pmatrix}2\\1\\0\end{pmatrix}\right|\cdot\left|\begin{pmatrix}1\\1\\2\end{pmatrix}\right|} \\ \\ &=& \dfrac{2\cdot1+1\cdot1+0\cdot2}{\sqrt{2^2+1^2+0^2}\cdot\sqrt{1^2+1^2+2^2}} \\ \\ &=& \dfrac{2+1}{\sqrt{4+1+0}\cdot\sqrt{1+1+4}} \\ \\ &=& \dfrac3{\sqrt5\cdot\sqrt6}\ =\ \dfrac3{\sqrt{30}} \end{array}$
Verwende die Umkehrfunktion des Cosinus um den Winkel $\varphi$ zu bestimmen.
$\mathrm{\varphi}=\mathrm{\arccos}\left(\dfrac{3}{\sqrt{30}}\right)= 56.79^\circ$
Berechne nun den gesuchten Schnittwinkel mit $\mathrm\alpha=90^\circ-\mathrm\varphi$ .
$\mathrm\alpha=90.00^\circ-56.79^\circ=33.21^\circ$
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$\mathrm g:\;\overrightarrow{\mathrm x}=\begin{pmatrix}2\\3\\-1\end{pmatrix}+\mathrm r\cdot\begin{pmatrix}2\\-3\\1\end{pmatrix}$ und $\mathrm E:\;\begin{pmatrix}3\\4\\-2\end{pmatrix}\circ\overrightarrow{\mathrm x}-4=0$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Schnittwinkel zwischen Gerade und Ebene berechnen
$\mathrm g:\;\overrightarrow{\mathrm x}=\begin{pmatrix}2\\3\\-1\end{pmatrix}+\mathrm r\cdot\begin{pmatrix}2\\-3\\1\end{pmatrix}$ und $\mathrm E:\;\begin{pmatrix}3\\4\\-2\end{pmatrix}\circ\overrightarrow{\mathrm x}-4\;=0$
Bestimme den Schnittwinkel zwischen dem Normalenvektor
der Ebene und dem Richtungsvektor der Geraden mithilfe des
Skalarprodukts und des Betrags der Vektoren.
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl}\cos\;(\varphi) &=& \dfrac{\overrightarrow{\mathrm a}\circ\overrightarrow{\mathrm b}}{\left|\overrightarrow{\mathrm a}\right|\cdot\left|\overrightarrow{\mathrm b}\right|}\ =\ \frac{\begin{pmatrix}2\\-3\\1\end{pmatrix}\circ\begin{pmatrix}3\\4\\-2\end{pmatrix}}{\left|\begin{pmatrix}2\\-3\\1\end{pmatrix}\right|\cdot\left|\begin{pmatrix}3\\4\\-2\end{pmatrix}\right|} \\ \\ &=& \dfrac{2\cdot3+(-3)\cdot4+1\cdot(-2)}{\sqrt{2^2+(-3)^2+1^2}\cdot\sqrt{3^2+4^2+(-2)^2}} \\ \\ &=& \dfrac{6-12-2}{\sqrt{4+9+1}\cdot\sqrt{9+16+4}} \\ \\ &=& \dfrac{-8}{\sqrt{14}\cdot\sqrt{29}}\ =\ \dfrac{-8}{\sqrt{406}} \end{array}$
Verwende die Umkehrfunktion des Cosinus um den Winkel $\varphi$ zu bestimmen.
$\mathrm{\varphi}=\mathrm{\arccos}\left(\dfrac{-8}{\sqrt{406}}\right)= 113.4^\circ$
Berechne nun den gesuchten Schnittwinkel mit $\mathrm\alpha=90^\circ-\mathrm\varphi$ .
$\mathrm\alpha=90.00^\circ-113.4^\circ= -23.4^\circ$
Der eingeschlossene Winkel beträgt also $23.4^\circ$ . Die Negativität des Ergebnisses oben folgt nur aus der speziellen Wahl der Richtungsvektoren.
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$\mathrm g:\;\overrightarrow{\mathrm x}=\begin{pmatrix}5\\-1\\3\end{pmatrix}+\mathrm r\cdot\begin{pmatrix}7\\-2\\1\end{pmatrix}$ und $\mathrm E:\;{\mathrm x}_1-4\cdot{\mathrm x}_3-5=0$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Schnittwinkel zwischen Gerade und Ebene berechnen
$\mathrm g:\;\overrightarrow{\mathrm x}=\begin{pmatrix}5\\-1\\3\end{pmatrix}+\mathrm r\cdot\begin{pmatrix}7\\-2\\1\end{pmatrix}$ und $\mathrm E:\;{\mathrm x}_1-4\cdot{\mathrm x}_3-5=0$
Bestimme den Schnittwinkel zwischen dem Normalenvektor
der Ebene und dem Richtungsvektor der Geraden mithilfe des
Skalarprodukts und des Betrags der Vektoren.
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl}\cos\;(\varphi) &=& \dfrac{\overrightarrow{\mathrm a}\circ\overrightarrow{\mathrm b}}{\left|\overrightarrow{\mathrm a}\right|\cdot\left|\overrightarrow{\mathrm b}\right|}\ =\ \frac{\begin{pmatrix}7\\-2\\1\end{pmatrix}\circ\begin{pmatrix}1\\0\\-4\end{pmatrix}}{\left|\begin{pmatrix}7\\-2\\1\end{pmatrix}\right|\cdot\left|\begin{pmatrix}1\\0\\-4\end{pmatrix}\right|} \\ \\ &=& \dfrac{7\cdot1+(-2)\cdot0+1\cdot(-4)}{\sqrt{7^2+(-2)^2+1^2}\cdot\sqrt{1^2+0^2+(-4)^2}} \\ \\ &=& \dfrac{7-4}{\sqrt{49+4+1}\cdot\sqrt{1+16}} \\ \\ &=& \dfrac3{\sqrt{54}\cdot\sqrt{17}}\ =\ \dfrac1{\sqrt{102}} \end{array}$
Verwende die Umkehrfunktion des Cosinus um den Winkel $\varphi$ zu bestimmen.
$\mathrm{\varphi}=\mathrm{\arccos}\left(\dfrac{1}{\sqrt{102}}\right)= 84.32^\circ$
Berechne nun den gesuchten Schnittwinkel mit $\mathrm\alpha=90^\circ-\mathrm\varphi$ .
$\mathrm\alpha=90.00^\circ-84.32^\circ= 5.68^\circ$
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