Die Nullstellen einer Funktion $f$ sind die $x$-Werte, für die $f(x)=0$ wird.

Substitution

Bei der Substitution wird in einem Term ein Teil (z.B. $x^2$) durch einen neuen Term (z.B. $u$) ersetzt. Hier wird $x^2$ durch $u$ ersetzt.

Resubstitution

Die Resubstitution beschreibt das Rückgängigmachen der Substitution.

$x_{1{,}2,3{,}4}=\pm\sqrt{\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-24}}{2}}$

Die Nullstellen einer Funktion $f$ sind die $x$-Werte, für die $f(x)=0$ wird.

Aus Aufgabe $\mathrm a)$ weißt du, dass die Nullstellen bei $x_{1{,}2,3{,}4}=\pm\sqrt{\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-24}}{2}}$ liegen.

Setze den Term gleich $\sqrt2$ und löse die Gleichung.

$\def\arraystretch{2} \begin{array}{rcl}\pm\sqrt{\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-24}}{2}}&=&\sqrt2&|()^2\\\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-24}}{2}&=&2&|\cdot2\\-b\pm\sqrt{b^2-24}&=&4&|+b\\\pm\sqrt{b^2-24}&=&b+4&|()^2\\b^2-24&=&b^2+8b+16&|-(b^2+16)\\-40&=&8b&|:8\\-5&=&b&\end{array}$

Die Funktion $f_b(x)$ hat für $b=-5$ eine Nullstelle bei $x=\sqrt2$.