Aufgaben zur Diskussion von Funktionenscharen

Gegeben ist die Funktionenschar ${\mathrm f}_\mathrm k$ mit $\displaystyle{\mathrm f}_\mathrm k(\mathrm x)=\frac{\mathrm{kx}-2}{\mathrm x^2}$ .

Das Schaubild zeigt den Graphen für $\mathrm k=3$ .

Plot der Funktion für k=3 aus der Kurvenschar

Bestimme die Lage des Wendepunkts in Abhängigkeit vom Parameter $k$ .

Überzeuge dich davon, dass sich für $\mathrm k=3$ die in der Abbildung gezeigte Lage des Wendepunktes ergibt.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Wendepunkt

${\mathrm f}_\mathrm k(\mathrm x)=\frac{\mathrm{kx}-2}{\mathrm x^2}$

Bestimme die Ableitung.

$\displaystyle f_k'\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle \frac{\mathrm{x}^2\cdot\mathrm{k}-\left(\mathrm{kx}-2\right)\cdot2\mathrm{x}}{\mathrm{x}^4}$
	↓	Kürze ein x und fasse dann Terme im Zähler zusammen.
	$=$	$\displaystyle \frac{\mathrm{xk}-2\left(\mathrm{kx}-2\right)}{\mathrm{x}^3}$
	$=$	$\displaystyle \frac{4-\mathrm{kx}}{\mathrm{x}^3}$

Bestimme die 2. Ableitung $f_{k}^{''}$ , indem du $f_{k}^{'}$ ableitest.

$\displaystyle f_k''\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle \frac{\mathrm{x}^3\cdot\left(-\mathrm{k}\right)-\left(4-\mathrm{kx}\right)\cdot3\mathrm{x}^2}{\mathrm{x}^6}$
	↓	Kürze $\mathrm x^2$ , multipliziere aus und fasse Terme zusammen.
	$=$	$\displaystyle \frac{2\mathrm{kx}-12}{\mathrm{x}^4}$

Setze die 2. Ableitung gleich Null, um Wendepunkte zu finden.

$\displaystyle f_k''\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle 0$
$\displaystyle \dfrac{2kx-12}{x^4}$	$=$	$\displaystyle 0$

$f_{k}^{''}$ ist Null, wenn der Zähler der Funktion Null ist.

$\displaystyle 2kx-12$	$=$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle +12$
$\displaystyle 2kx$	$=$	$\displaystyle 12$	$\displaystyle :2$
$\displaystyle kx$	$=$	$\displaystyle 6$

Nun benötigst du eine Fallunterscheidung, weil du nicht ohne weiteres durch $k$ teilen kannst. $k$ könnte auch Null sein und dann darfst du nicht dadurch teilen.

1. Fall: Für $k = 0$ lautet deine Gleichung am Ende $0\cdot x=6$ . Diese Gleichung ist für kein $x\in \mathbb{R}$ erfüllt. Also hat $f_{0}$ keine Wendestelle.

2. Fall: Wenn $k\neq 0$ ist, bekommst du nun $x=\frac 6k$ als Ergebnis. $f_{k}$ hat also eine Wendestelle bei $x=\frac 6k$ .

Bestimme, wo die 2. Ableitung größer bzw. kleiner 0 ist, um das Krümmungsverhalten zu ermitteln.

Wenn $k > 0$ ist:

$\mathrm x<\frac6{\mathrm k}\;\;\Rightarrow\;\;\mathrm f_\mathrm k^{''}(\mathrm x)<0$

$\Rightarrow\;\mathrm f(\mathrm x)\;$ rechtsgekrümmt in $\rbrack-\infty;\;\frac6{\mathrm k}\lbrack$

$\mathrm x>\frac6{\mathrm k}\;\;\Rightarrow\;\;\mathrm f_\mathrm k^{''}(\mathrm x)>0$

$\Rightarrow\;\mathrm f(\mathrm x)$ linksgekrümmt in $\rbrack\frac6{\mathrm k};+\infty\lbrack$

Wenn $k < 0$ ist:

$\mathrm x<\frac6{\mathrm k}\;\;\Rightarrow\;\;\mathrm f_\mathrm k^{''}(\mathrm x)>0$

$\Rightarrow\;\mathrm f(\mathrm x)$ linksgekrümmt in $\rbrack-\infty; \frac6{\mathrm k}\lbrack$

$\mathrm x>\frac6{\mathrm k}\;\;\Rightarrow\;\;\mathrm f_\mathrm k^{``}(\mathrm x)<0$

$\Rightarrow\;\mathrm f(\mathrm x)$ rechtsgekrümmt in $\rbrack\frac6{\mathrm k};+\infty\lbrack$

Krümmungsverhalten zusammenfassend

	Anzahl der Wendestellen	rechtsgekrümmt in	linksgekrümmt in
k=0	keine
k>0	eine bei $x=\frac 6k$	$]-\infty;\;\frac6k[$	$]\frac6{\mathrm k};+\infty[$
k<0	eine bei $x=\frac 6k$	$]\frac6{\mathrm k};+\infty[$	$]-\infty;\;\frac6{\mathrm k}[$

Überprüfung der Lösung für k=3

Überprüfe, ob der Wendepunkt für $\mathrm k=3$ übereinstimmt.

$\mathrm k=3\;\;\Rightarrow\;\;\mathrm x=\frac63=2\;$

Bestimme den y-Wert des Wendepunktes, indem du den x-Wert in f(x) einsetzt

${\mathrm f}_3(2)=\frac{3\cdot2-2}{2^2}=\frac44=1$

Gib den Wendepunkt an und überprüfe, ob er mit dem auf dem Bild übereinstimmt

Für $\mathrm k=3$ ist der Wendepunkt $\left(2\;\left|\;1\right.\right)$

$\Rightarrow$ Stimmt mit Bild überein

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