Aufgaben zur Diskussion von Funktionenscharen

Gegeben ist die Funktionenschar $f_{k}$ mit $f_{k} (x) = \frac{kx - 2}{x^{2}}$ .

Das Schaubild zeigt den Graphen für $k = 3$ .

Plot der Funktion für k=3 aus der Kurvenschar

Bestimme die Lage des Wendepunkts in Abhängigkeit vom Parameter $k$ .

Überzeuge dich davon, dass sich für $k = 3$ die in der Abbildung gezeigte Lage des Wendepunktes ergibt.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Wendepunkt

$f_{k} (x) = \frac{kx - 2}{x^{2}}$

Bestimme die Ableitung.

$f_{k}^{'} (x)$	$=$	$\frac{x^{2} \cdot k - (kx - 2) \cdot 2 x}{x^{4}}$
	↓	Kürze ein x und fasse dann Terme im Zähler zusammen.
	$=$	$\frac{xk - 2 (kx - 2)}{x^{3}}$
	$=$	$\frac{4 - kx}{x^{3}}$

Bestimme die 2. Ableitung $f_{k}^{''}$ , indem du $f_{k}^{'}$ ableitest.

$f_{k}^{''} (x)$	$=$	$\frac{x^{3} \cdot (- k) - (4 - kx) \cdot 3 x^{2}}{x^{6}}$
	↓	Kürze $x^{2}$ , multipliziere aus und fasse Terme zusammen.
	$=$	$\frac{2 kx - 12}{x^{4}}$

Setze die 2. Ableitung gleich Null, um Wendepunkte zu finden.

$f_{k}^{''} (x)$	$=$	$0$
$\frac{2 k x - 12}{x^{4}}$	$=$	$0$

$f_{k}^{''}$ ist Null, wenn der Zähler der Funktion Null ist.

$2 k x - 12$	$=$	$0$	$+ 12$
$2 k x$	$=$	$12$	$: 2$
$k x$	$=$	$6$

Nun benötigst du eine Fallunterscheidung, weil du nicht ohne weiteres durch $k$ teilen kannst. $k$ könnte auch Null sein und dann darfst du nicht dadurch teilen.

1. Fall: Für $k = 0$ lautet deine Gleichung am Ende $0 \cdot x = 6$ . Diese Gleichung ist für kein $x \in ℝ$ erfüllt. Also hat $f_{0}$ keine Wendestelle.

2. Fall: Wenn $k \neq 0$ ist, bekommst du nun $x = \frac{6}{k}$ als Ergebnis. $f_{k}$ hat also eine Wendestelle bei $x = \frac{6}{k}$ .

Bestimme, wo die 2. Ableitung größer bzw. kleiner 0 ist, um das Krümmungsverhalten zu ermitteln.

Wenn $k > 0$ ist:

$x < \frac{6}{k} \Rightarrow f_{k}^{^{''}} (x) < 0$

$\Rightarrow f (x)$ rechtsgekrümmt in $] - \infty; \frac{6}{k} [$

$x > \frac{6}{k} \Rightarrow f_{k}^{^{''}} (x) > 0$

$\Rightarrow f (x)$ linksgekrümmt in $] \frac{6}{k}; + \infty [$

Wenn $k < 0$ ist:

$x < \frac{6}{k} \Rightarrow f_{k}^{^{''}} (x) > 0$

$\Rightarrow f (x)$ linksgekrümmt in $] - \infty; \frac{6}{k} [$

$x > \frac{6}{k} \Rightarrow f_{k}^{‘ ‘} (x) < 0$

$\Rightarrow f (x)$ rechtsgekrümmt in $] \frac{6}{k}; + \infty [$

Krümmungsverhalten zusammenfassend

	Anzahl der Wendestellen	rechtsgekrümmt in	linksgekrümmt in
k=0	keine
k>0	eine bei $x = \frac{6}{k}$	$] - \infty; \frac{6}{k} [$	$] \frac{6}{k}; + \infty [$
k<0	eine bei $x = \frac{6}{k}$	$] \frac{6}{k}; + \infty [$	$] - \infty; \frac{6}{k} [$

Überprüfung der Lösung für k=3

Überprüfe, ob der Wendepunkt für $k = 3$ übereinstimmt.

$k = 3 \Rightarrow x = \frac{6}{3} = 2$

Bestimme den y-Wert des Wendepunktes, indem du den x-Wert in f(x) einsetzt

$f_{3} (2) = \frac{3 \cdot 2 - 2}{2^{2}} = \frac{4}{4} = 1$

Gib den Wendepunkt an und überprüfe, ob er mit dem auf dem Bild übereinstimmt

Für $k = 3$ ist der Wendepunkt $(2 | 1)$

$\Rightarrow$ Stimmt mit Bild überein

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