Gegeben: Gesamtkantenlänge einer quadratischen Säule 

Gesucht: Kantenlängen für maximales Volumen

$V=a^2\cdot hV=a^2\backslash cdot\; h$

Stelle die Zielfunktion auf, die maximiert werden soll; in diesem Fall ist das das Volumen einer quadratischen Säule mit der Grundseitenlänge $aa$ und der Höhe $hh$.

$4\cdot a+4\cdot h+4\cdot a=364\backslash cdot\; a+4\backslash cdot\; h+4\backslash cdot\; a=36$

Bestimme die Nebenbedingung, die durch die Gesamtkantenlänge gegeben ist.

$h=9-2ah=9-2a$

Stelle die Nebenbedingung nach $hh$ um.

$V(a)=a^2\cdot (9-2a)V(a)=a^2\backslash cdot\backslash left(9-2a\backslash right)$  mit  $a>0a>0$

Setze die Nebenbedingung in die Zielfunktion ein, um die Extremalfunktion zu erhalten. Beachte dabei, dass a positiv sein muss. Leite die Extremfunktion zweimal ab.

Setze die erste Ableitung gleich Null, berechne die Grundseitenlänge und setze ihn in die zweite Ableitung ein, um zu erkennen, dass es sich tatsächlich um ein Maximum handelt.

$V^{\mathrm{\prime }}(a)=18a-6a^2=a(18-3a)=0V\text{'}(a)=18a-6a^2=a(18-3a)=0$

$a=0a=0$ oder $a=3a=3$

$a=0a=0$ muss nicht weiter untersucht werden, da nur positive Grundseitenlängen betrachtet werden.

Da die zweite Ableitung negativ ist, handelt es sich bei $a=3a=3$ um das gesuchte Maximum.

Gib nun endgültig $aa$ und $hh$ an und berechne das Volumen (nicht verlangt).

$a=3\Rightarrow h=3\Rightarrow V=27a=3\backslash ;\backslash Rightarrow\; h=3\backslash Rightarrow\; V=27$